兩條直線的夾角

1、兩條直線的夾角(2)教學(xué)目標(biāo)理解直線夾角公式的推導(dǎo)，能正確使用夾角公式求兩條直線的夾角進(jìn)一步理解運(yùn)用平行、垂直、夾角等概念求直線方程的一般方法通過兩條直線夾角公式的推導(dǎo)，形成運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想解決問題的能力教學(xué)重點(diǎn)理解兩條直線夾角公式的推導(dǎo)，會(huì)求兩條直線的夾角教學(xué)難點(diǎn)理解兩條直線夾角公式的推導(dǎo)，會(huì)求兩條直線的夾角教學(xué)方法師生互動(dòng)教學(xué)過程設(shè)計(jì)說明引入1 引例：判斷以下各組直線的位置關(guān)系，如 交點(diǎn)的坐標(biāo)課本 p16例1.1I,:3x4y120,|2 :7x，2|1:3x4y120,l2 :x 33|1:3x4y120,l2:6x 8解：參考課本p1617說明復(fù)習(xí)判斷兩直線的平行、重合、相

2、交 的交點(diǎn)坐標(biāo)的方法由此引出新的課題.思考并答復(fù)以下問題1 對(duì)于上述1、2這樣，當(dāng)兩條直線相 來描述兩條直線的相對(duì)位置呢？教具演示：兩條直線相交，使其中一條直線纟 生觀察這兩條直線的關(guān)系解答：兩條直線的夾角2 .回憶舊知：在初中平面幾何中“兩直線夾角" 解答：角是有公共端點(diǎn)的兩條射線所組成的 幾何圖形如右圖說明在復(fù)習(xí)舊知的根底上引人新課 果相交，那么求出12y 10 ；;* 5 0.,以及求相交直線目交時(shí)，用什么“量"帝定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，讓學(xué)的定義是什么？DB概念分析關(guān)于兩直線的夾角1、概念形成兩條直線的夾角如右圖，兩條直線相交，一共構(gòu)成幾個(gè)角？它們有什么關(guān)系？ 怎樣定義兩條直線的

3、夾角呢？平面上兩條直線l1和l2相交構(gòu)成四個(gè)角，它們是兩組互補(bǔ)的對(duì)頂角，因?yàn)橄鄬?duì)而言，銳角比較簡(jiǎn)單我們規(guī)疋兩條相交直線所成的銳角或/直角為兩條直線的夾角如果兩條直線平行或重合， 規(guī)定它們的夾角為 0因此,兩條直線的夾角的取值范圍是0, ，而兩條相交直線夾角的取值范圍2是o,2現(xiàn)在我們可以用夾角來描述兩直線的相對(duì)位置關(guān)系，當(dāng)給出兩條直線的方程時(shí)，它們的相對(duì)位置就確定了，它們的夾角也隨之 確定，那么，如何根據(jù)直線方程求兩直線的夾角呢？說明為什么規(guī)定銳角或直角為兩直線的夾角，說明其合理性;提出問題，給學(xué)生造成認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生探索欲2、夾角公式的推導(dǎo)分析：直線的方向一一方向向量一一斜率一一傾斜角一一

4、夾角之間的關(guān)系由于直線的方向是由直線的方向向量或者斜率決定的, 下面我們借助于這兩條直線的方向向量來求得兩直線的夾角 .說明引導(dǎo)學(xué)生畫圖分析， 尋找夾角、傾斜角、方向向量之間的關(guān)系.通過類比，尋求思路設(shè)兩條直線a1,b1不全為零12 : a?x by C2 0 a2,b2不全為零設(shè)11與12的夾角為 ，h與12的一方向向量分別為 di與d2，其夾角為，且d1 =(bi, ai), d2當(dāng) 0,時(shí)，那么2那么，如圖乙所示.于得：cos |cos | |di °2. | |di| |d2|即為直線li與12的夾角公式.(b2, a2)，如圖甲所示;當(dāng)$ 時(shí),|玄忌bi b2 |/ 2I

5、22飛 ai bia2 b2特別地,當(dāng)且僅當(dāng)aia2bib20時(shí),1i與12的夾角為一,即2 .*li與12垂直.也就是說：li I2di垂直d2ni垂直gaia2 bib20(其中m ,壓分別為li與匚的一個(gè)法向量)而由aia2b|b2 0 ,易得當(dāng) b0,b20時(shí)，有a- 21,即當(dāng)兩條直線的斜率都存在時(shí)，h與12垂直的充要bl b2條件是k1k21,其中k1, k2分別為直線11與12的斜率說明培養(yǎng)學(xué)生周密分析，嚴(yán)格論證的能力由于直線的夾角與兩個(gè)向里的夾角有區(qū)別，前者的氾圍是 0,一 .后者的氾圍是20,因此必須考慮兩種情況0,與(一，; 允許學(xué)2 2生從斜率的角度考慮，但是不作為本課的

6、重點(diǎn)，可留做課后探討例題講解例1:回到引例求以下各組直線的夾角：1l1 :3x 4y 120， l2 :7x 12y 10 ；2I1 :3x 4y 12 0， I2 : x 3；解：設(shè)h與12的夾角為，那么由兩條直線的夾角公式得(1)|3 7 4 ( 12) |27屈(1) cos_,占2 42 J72 12296527 祈93 arccos即為所求；965|3 1 (4) 0|33(2) cost °° 一，arccoA 即為所求.V34 <1055說明解決本課開頭提出的問題 ，本環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)目的是使學(xué)生熟 悉夾角公式的初步應(yīng)用；鼓勵(lì)學(xué)生一題多解，對(duì)于小題(2),由于

7、直線12的斜率不存在，還可以數(shù)形結(jié)合(圖略)，求得11的傾斜角3 3、arctan-,得出l1與丨2的夾角為一 arctan 4 24a1例 2:假設(shè)直線 l1 : yx 一與 12: 2x (a 1)y10互相33垂直，求實(shí)數(shù)a的值補(bǔ)充解：先把直線11的方程化為一般形式11 : ax 3y 1 0 3兩直線垂直，2a 3(a 1) 0，a為所求.5說明通過練習(xí)強(qiáng)調(diào)兩條直線垂直的充要條件，指出公式適合的前提條件是把直線的方程化成一般式方程，以便確定系數(shù).例3 :直線l過點(diǎn)P( 4,1)，且與直線 m:3x y 10的夾角為310,arccos，求直線l的方程(補(bǔ)充)10解：方法一設(shè)l的方程為a

8、(x 4) b(y 1)0其中n (a,b)為l的一法向量，那么也0,即<a2 b2£32( 1)2103ja2 b2 |3a b|化簡(jiǎn)為b(3a 4b)0解方程，得b 0, 3a4b當(dāng)b 0時(shí)，那么a 0,此時(shí)方程為x4當(dāng)3a4b 0時(shí)，方程為4(x4)3(y 1)0 ，即4x 3y 190綜上，丨的方程是x4或4x 3y 190.方法二設(shè)點(diǎn)斜式，按直線 丨的斜率是否存在分兩類討論 假設(shè)直線丨的斜率不存在，那么過點(diǎn)P( 4,1)直線l的方程為x4，設(shè)它與直線 m: 3x y 1 0的夾角 ，那么|31( 1)0|3尿3質(zhì)cos ,arcco，J3212V12 021010滿足

9、題意.假設(shè)直線丨的斜率存在，那么設(shè)直線丨的方程為y 1 k(x 4),即kx y 4k 10 ,設(shè)它與直線m: 3x y 10的夾角，那么那么|3k11麵，即Jk2 ( 1)'32 ( 1)2103Jk21|3k 1| ,解得k 4 ,所以直線1的方程為34y 1(x 4),化簡(jiǎn)得 4x 3y 190,3由可知，丨的方程是x 4或4x 3y 190.說明啟發(fā)學(xué)生探討“求過某定點(diǎn)P，且與直線夾角為的直線方程這類根本問題的處理方法；一般地，求直線方程時(shí)，往往采用待定系數(shù)法：先設(shè)出的直線方程，再利用直線的夾角公式列式， 求解；分析思路，啟發(fā)學(xué)生一題多解.假設(shè)設(shè)點(diǎn)斜式，學(xué)生可能只 求出一條直線

10、，啟發(fā)學(xué)生從平面幾何分析，應(yīng)有兩條直線.但為什么有的學(xué)生求到只有一條呢？讓學(xué)生在矛盾中頓悟：需要按斜率是否 存在分兩類討論，而且利用直線的夾角公式時(shí)，都必須先化為直線 方程的一般形式.例3類同于教材中的例 4,教材中例4給出的夾 角為特殊值一，本例為arccos '，目的讓學(xué)生熟悉反二角的表示.310例 4： ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)為 A(2,1), B(6,1), C(5,5)(1)求 ABC中 A的大小;(2)求 A的平分線所在直線的方程.補(bǔ)充解：1方法一：直線AB的方程為：y 1，直線AC的方程為：4x 3y 50,設(shè)它們的夾角為，又 A為銳角，所以 A=，33那么cos A -,

11、A arccos-即為所求；5544方法二：數(shù)形結(jié)合，因?yàn)閗AB 0,k AC - ,A arctan即為33所求.2方法一：設(shè)角平分線所在直線方程 a(x 2) b(y 1)0，即ax by 2a b 0.由角平分線與兩邊 AB, AC成等角，運(yùn)用 夾角公式得1 2b| 2 豐 3b25|b| |4a 3b |,Ja2 b25£a2 b2解得a 2b或 2a b ,由題意，舍a 2b所以角平分線的方程為：x 2y 0.方法二：數(shù)形結(jié)合,利用半角公式先求角平分線所在直線的斜率A11為k tan 2或一(舍 2)，k ,又它過點(diǎn)2, 1，222所以，角平分線的方程為：x 2y 0說明穩(wěn)

12、固提高.因?yàn)榇祟}中，直線AB的方程為：y 1,因此采 用方法二更簡(jiǎn)潔些.但是方法一卻是解決此類問題的根本方法.小題1，求三角形的內(nèi)角，一般先求過 A的兩條邊所在直線方 程，由夾角公式可求得.需要注意夾角公式所得的角是三角形內(nèi)角或 其補(bǔ)角；小題2，注意結(jié)合圖形，正確取舍課堂練習(xí) 11.3 2-1,3練習(xí)1.本節(jié)課研究了兩條直線的夾角，推導(dǎo)出兩條直線的夾角公式的方法，要理解、體會(huì)其中的思想方法；2 .會(huì)用兩條直線垂直的充要條件解決與垂直有關(guān)的冋題；課堂3 .熟練運(yùn)用夾角公式求兩條直線的夾角.注意不垂直的兩條相小結(jié)交直線的夾角為銳角；4.進(jìn)一步討論了求直線方程的方法：運(yùn)用待定系數(shù)法時(shí)，可設(shè)直線方程為

13、點(diǎn)法向式、或點(diǎn)斜式方程，而在用點(diǎn)斜式方程時(shí)，需要分類討論.1、書面作業(yè):練習(xí)11.32-2,4習(xí)題 11.3 A 組-10,11,122、思考題：光線沿直線l 1： 2x y 20照射到直線l2： x 2y 20上后反射，求反射線所在直線l3的方程.解由2x v 20，得反射點(diǎn)的坐標(biāo)為(2, 2心x 2y 20)1設(shè)l3的方程為a(x 2) b(v 2)0h10X其中n(a,b)為一法向量，a,b不同時(shí)為零由反射原理,直線丨1與丨2的夾角等于丨2與13的夾角得作業(yè)2 2a 2bOOk或 d doOk舍去V5 545 Ja2 b2Cl厶 W4,舍去a 2b (否那么與丨1重合)，所以a-b,得l3的方程為112x 11y26 0.3 .思考題：在y軸的正半軸上