第07講__旋轉(zhuǎn)變換(含解答)

1、九年級數(shù)學(xué)競賽專題第七講 旋轉(zhuǎn)變換一、填空題1、如圖1，ABC中，M為BC中點(diǎn)，D、E分別在AB、AC上，DMME，則BD+CE_DE（用“”“；2120；345；425+12；略解：1 延長DM到F，使MF=DM，連結(jié)EF、CF（如圖）易證BDMCFM（SAS）所以BD=CF易證DEMFEM（SAS）所以DE=FE在ECF中，EC+FCEF所以BD+ECDE2 將ABP繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，使AB與AC重合，P落到P點(diǎn)（如圖），則有A PCAPB所以A P=AP=2， PC=PB=2且PAC=PAB，所以PAP=BAC=60所以AP P是等邊三角形，所以PP=2，P+ PC=16=P C所以

2、PPC=90，所以PPC=60所以APC=APP+PPC=1203在ABC外作DBA=C，且DB=QC，連結(jié)DP，DA（如圖，即將AQC繞點(diǎn)A放心轉(zhuǎn)90）所以DBP=2C=90所以DP=DB+BP=QC+BP=PQ所以DP=PQ易證ABDAC（SAS）所以DA=QA，1=2所以ADPAPQ（SSS）所以1+3=PAQ因?yàn)?+3+PAQ=90所以1+3+PAQ=90所以PAQ=454設(shè)PB=3，PA=4，PC=5，將PBC繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60至BDA（如圖），則ADBCPB因?yàn)镈BA=PBC，DB=PB=3，AD=CP=5所以DBP=ABC=60所以DBP是等邊三角形所以A P+DP=4+3=2

3、5=AD所以APD=90，所以APB=150延長AP，作BEAP于E（如圖）則BPE=30，所以BE=BP=，所以PE=，所以AE=4+所以=25+12二、1略證：連結(jié)AD（如圖）易證AEPF是矩形，所以AE=FP因?yàn)锳B=AC，BAC=90，D為BC中點(diǎn)，所以AD=BC，1=2=45=3所以EAD=FCD=135，CPF=45=3，所以CF=PF=AE，所以ADECDF（SAS）所以DE=DF此題也可證BDEADF（BE=AF，B=FAD，BD=AD）2略證：易證DAQ=CDP又因?yàn)锳D=DC，ADC=DCB=90所以ADQDCP（ASA）所DQ=CP由正方形懷質(zhì)可知OD=OC，ODQ=OC

4、P=45所以DOQCOP（SAS）所以1=2所以2+3=1+3=90所以O(shè)POQ此題實(shí)際上將正方形繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，旋轉(zhuǎn)后Q點(diǎn)即落在P點(diǎn)處3略解：連結(jié)DE、DF（如圖）因?yàn)镈、E、F是各邊中點(diǎn)，所以DE平行且等于AC，DF平行且等于BC因?yàn)锳B=BC=CA所以A=B=C=60所以DE=DF，EDF=DFA=C=60因?yàn)榈冗匘HG所以DG=DH，HDG=60=EDF，所以EDF-FDG=HDG-FDG，即1=2所以DEGDFH（SAS）所以FH=EG4略解：延長BC到F，使CF，連結(jié)（如圖）所以BF=BC+CF=BC+DE=1因?yàn)锽E=AC，DEB=ACF=90，DE=CF，所以BDEAFC

5、（SAS）所以AF=BD=，B=1所以AF=BF因?yàn)锽+2=90所以1+2=90所以ABC=305略解：如圖因?yàn)榈冗匒BC和等邊DCE所以ACB=DCE=ABC=ECD=60AC=BC，EC=DC所以1=2，ACEBCD（SAS）所以AEC=BDC=60+3所以AEB=360-AEC-CED-BED =360-（60+3）-60-BED =360-120-（3+BED） =360-120-（180-BED） =360-120-（180-40） =1006略解：將AOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60至ADC的位置，連結(jié)OD（如圖），則有AOBADC，所以AD=AO，CD=BO，ADC=AOB=110易證A

6、OD為等邊三角形，所以O(shè)D=OA，所以O(shè)CD就是以O(shè)A、OB、OC為邊組成的三角形因?yàn)锳OB=110，BOC=120，所以AOC=130所以COD=AOC - AOD=70，ODC=ADC-ADO=AOB-AOD=50所以O(shè)CD=180-COD-ODC=60所以，以O(shè)A、OB、OC為邊組成的三角形三內(nèi)角度數(shù)分別為50，60，707略解：延長CB到G，使BG=DF，連結(jié)AG（如圖）又因?yàn)锳D=AB，D=ABG=90所以ADFABG（SAS）所以5=G，1=3因?yàn)?=2，所以2=3所以2+4=3+4，即FAB=EAG因?yàn)镃DAB，所以5=FAB=EAG所以EAG=G所以AE=EB+BG=EB+DF

7、8略解：延長CB到G，使GB=DF，連結(jié)AG（如圖）又因?yàn)锳B=AD，ABG=D=90所以ABGADF（SAS）所以3=2，AG=AF因?yàn)锽AD=90，EAF=45所以1+2=45所以1+3=45=EAF又因?yàn)锳E=AE，所以AGEAFE（SAS）所以GB+BE=EF，所以DF+BE=EF因?yàn)锳EFAGE所以所以又所以9略解：延長DM到F，使MF=DM，連結(jié)CF、EF（如圖）又因?yàn)镸E=ME，DME=FME=90所以DMEFME所以DE=FE因?yàn)锽M=CM，BMD=CMF，DM=FM所以BDMCFM所以B=1，BD=FC因?yàn)锽+2=90所以1+2=90所以所以所以DE=10略解：延長AC到E，使CE=BM，連結(jié)DE（如圖）因?yàn)锽D=DC，BDC=120所以CBD=BCD=30因?yàn)锳BC=ACB=60所以ABD=ACD=DCE=90所以BMDCDE所以BDM=CDE因