空間解析幾何與向量代數(shù)06345

1、第七章 空間解析幾何與向量代數(shù)教學(xué)目的： 1、理解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及其表示。 2、掌握向量的運(yùn)算（線(xiàn)性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積、混合積），掌握兩個(gè)向量垂直和平行的條件。3、 理解單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式，熟練掌握用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算的方法。4、 掌握平面方程和直線(xiàn)方程及其求法。5、 會(huì)求平面與平面、平面與直線(xiàn)、直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的夾角，并會(huì)利用平面、直線(xiàn)的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等）解決有關(guān)問(wèn)題。6、 會(huì)求點(diǎn)到直線(xiàn)以及點(diǎn)到平面的距離。7、 理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其圖形，會(huì)求以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線(xiàn)平行于坐標(biāo)軸的柱面方程。8、 了解空

2、間曲線(xiàn)的參數(shù)方程和一般方程。9、 了解空間曲線(xiàn)在坐標(biāo)平面上的投影，并會(huì)求其方程。教學(xué)重點(diǎn)： 1、向量的線(xiàn)性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積的概念、向量運(yùn)算及坐標(biāo)運(yùn)算； 2、兩個(gè)向量垂直和平行的條件； 3、平面方程和直線(xiàn)方程； 4、平面與平面、平面與直線(xiàn)、直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的相互位置關(guān)系的判定條件； 5、點(diǎn)到直線(xiàn)以及點(diǎn)到平面的距離； 6、常用二次曲面的方程及其圖形； 7、旋轉(zhuǎn)曲面及母線(xiàn)平行于坐標(biāo)軸的柱面方程； 8、空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程和一般方程。教學(xué)難點(diǎn)： 1、向量積的向量運(yùn)算及坐標(biāo)運(yùn)算； 2、平面方程和直線(xiàn)方程及其求法； 3、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離； 4、二次曲面圖形； 5、旋轉(zhuǎn)曲面的方程；§7. 1 向量及

3、其線(xiàn)性運(yùn)算一、向量概念向量:在研究力學(xué)、物理學(xué)以及其他應(yīng)用科學(xué)時(shí),常會(huì)遇到這樣一類(lèi)量,它們既有大小,又有方向.例如力、力矩、位移、速度、加速度等,這一類(lèi)量叫做向量.在數(shù)學(xué)上,用一條有方向的線(xiàn)段(稱(chēng)為有向線(xiàn)段)來(lái)表示向量.有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度表示向量的大小,有向線(xiàn)段的方向表示向量的方向.向量的符號(hào):以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線(xiàn)段所表示的向量記作. 向量可用粗體字母表示,也可用上加箭頭書(shū)寫(xiě)體字母表示,例如,a、r、v、F或、.自由向量:由于一切向量的共性是它們都有大小和方向,所以在數(shù)學(xué)上我們只研究與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量,并稱(chēng)這種向量為自由向量,簡(jiǎn)稱(chēng)向量.因此,如果向量a和b的大小相等,且方向相同,則說(shuō)向量a和

4、b是相等的,記為a =b.相等的向量經(jīng)過(guò)平移后可以完全重合.向量的模:向量的大小叫做向量的模.向量a、的模分別記為|a|、.單位向量:模等于1的向量叫做單位向量.零向量:模等于0的向量叫做零向量,記作0或.零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合,它的方向可以看作是任意的.向量的平行:兩個(gè)非零向量如果它們的方向相同或相反,就稱(chēng)這兩個(gè)向量平行.向量a與b平行,記作a / b.零向量認(rèn)為是與任何向量都平行.當(dāng)兩個(gè)平行向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí),它們的終點(diǎn)和公共的起點(diǎn)在一條直線(xiàn)上.因此,兩向量平行又稱(chēng)兩向量共線(xiàn).類(lèi)似還有共面的概念.設(shè)有k(k³3)個(gè)向量,當(dāng)把它們的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí),如果k個(gè)終點(diǎn)和公共起點(diǎn)在一個(gè)

5、平面上,就稱(chēng)這k個(gè)向量共面.二、向量的線(xiàn)性運(yùn)算 1向量的加法向量的加法:設(shè)有兩個(gè)向量a與b,平移向量使b的起點(diǎn)與a的終點(diǎn)重合,此時(shí)從a的起點(diǎn)到b的終點(diǎn)的向量c稱(chēng)為向量a與b的和,記作a+b,即c=a+b .三角形法則: 上述作出兩向量之和的方法叫做向量加法的三角形法則.平行四邊形法則: 當(dāng)向量a與b不平行時(shí),平移向量使a與b的起點(diǎn)重合, 以a、b為鄰邊作一平行四邊形,從公共起點(diǎn)到對(duì)角的向量等于向量a與b的和a+b.A B C A B C D 向量的加法的運(yùn)算規(guī)律:(1)交換律a+b=b+a;(2)結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c).由于向量的加法符合交換律與結(jié)合律,故n個(gè)向量a1,a2,&#

6、215;××,an(n³3)相加可寫(xiě)成a1+a2+×××+an,并按向量相加的三角形法則,可得n個(gè)向量相加的法則如下:使前一向量的終點(diǎn)作為次一向量的起點(diǎn),相繼作向量a1,a2,×××,an,再以第一向量的起點(diǎn)為起點(diǎn),最后一向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)作一向量,這個(gè)向量即為所求的和.負(fù)向量:設(shè)a為一向量,與a的模相同而方向相反的向量叫做a的負(fù)向量,記為-a.向量的減法:我們規(guī)定兩個(gè)向量b與a的差為b-a=b+(-a).即把向量-a加到向量b上,便得b與a的差b-a.特別地,當(dāng)b=a時(shí),有a-a=a+(-a)=0.- -

7、 - 顯然,任給向量及點(diǎn)O,有,因此,若把向量a與b移到同一起點(diǎn)O,則從a的終點(diǎn)A向b的終點(diǎn)B所引向量便是向量b與a的差b-a.三角不等式: 由三角形兩邊之和大于第三邊的原理,有|a+b|£|a|+|b|及|a-b|£|a|+|b|,其中等號(hào)在b與a同向或反向時(shí)成立. 2向量與數(shù)的乘法 向量與數(shù)的乘法的定義: 向量a與實(shí)數(shù)l的乘積記作la,規(guī)定la是一個(gè)向量,它的模|la|=|l|a|,它的方向當(dāng)l>0時(shí)與a相同,當(dāng)l<0時(shí)與a相反. 當(dāng)l=0時(shí),|la|=0,即la為零向量,這時(shí)它的方向可以是任意的. 特別地,當(dāng)l=±1時(shí),有1a=a,(-1)a=-

8、a.運(yùn)算規(guī)律:(1)結(jié)合律l(ma)=m(la)=(lm)a；(2)分配律 (l+m)a=la+ma；l(a+b)=la+lb.例1.在平行四邊形ABCD中,設(shè)=a,=b.試用a和b表示向量、,其中M是平行四邊形對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn). 解 由于平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分,所以A B C D M a+b,即-(a+b),于是(a+b).因?yàn)?所以(a+b).又因-a+b,所以(b-a).由于,所以(a-b).例1在平行四邊形ABCD中,設(shè),.試用a和b表示向量、,其中M是平行四邊形對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn).A B C D M 解 由于平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分,所以,于是;.因?yàn)? 所以;向量的單位化:設(shè)a

9、5;0,則向量是與a同方向的單位向量,記為ea.于是a=|a|ea.向量的單位化:設(shè)a¹0,則向量是與a同方向的單位向量,記為ea.于是a = | a | ea.定理1 設(shè)向量a¹0,那么,向量b平行于a的充分必要條件是:存在唯一的實(shí)數(shù)l,使b=la.證明: 條件的充分性是顯然的,下面證明條件的必要性.設(shè)b/a.取,當(dāng)b與a同向時(shí)l取正值,當(dāng)b與a反向時(shí)l取負(fù)值,即b=la.這是因?yàn)榇藭r(shí)b與la同向,且 |la|=|l|a|. 再證明數(shù)l的唯一性.設(shè)b=la,又設(shè)b=ma,兩式相減,便得(l-m)a=0,即|l-m|a|=0.因|a|¹0,故|l-m|=0,即l=

10、m. 給定一個(gè)點(diǎn)及一個(gè)單位向量就確定了一條數(shù)軸. 設(shè)點(diǎn)O及單位向量i確定了數(shù)軸Ox,對(duì)于軸上任一點(diǎn)P, 對(duì)應(yīng)一個(gè)向量, 由/i, 根據(jù)定理1, 必有唯一的實(shí)數(shù)x, 使=xi(實(shí)數(shù)x叫做軸上有向線(xiàn)段的值), 并知與實(shí)數(shù)x一一對(duì)應(yīng). 于是 點(diǎn)P«向量= xi«實(shí)數(shù)x,從而軸上的點(diǎn)P與實(shí)數(shù)x有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系. 據(jù)此, 定義實(shí)數(shù)x為軸上點(diǎn)P的坐標(biāo). 由此可知, 軸上點(diǎn)P的坐標(biāo)為x的充分必要條件是= xi.三、空間直角坐標(biāo)系 在空間取定一點(diǎn)O和三個(gè)兩兩垂直的單位向量i、j、k, 就確定了三條都以O(shè)為原點(diǎn)的兩兩垂直的數(shù)軸,依次記為x軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸),統(tǒng)稱(chēng)為坐標(biāo)軸.

11、它們構(gòu)成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系,稱(chēng)為Oxyz坐標(biāo)系. 注: (1)通常三個(gè)數(shù)軸應(yīng)具有相同的長(zhǎng)度單位;(2)通常把x 軸和y軸配置在水平面上,而z軸則是鉛垂線(xiàn);(3)數(shù)軸的的正向通常符合右手規(guī)則. 坐標(biāo)面: 在空間直角坐標(biāo)系中, 任意兩個(gè)坐標(biāo)軸可以確定一個(gè)平面,這種平面稱(chēng)為坐標(biāo)面.x軸及y軸所確定的坐標(biāo)面叫做xOy面,另兩個(gè)坐標(biāo)面是yOz面和zOx面. 卦限: 三個(gè)坐標(biāo)面把空間分成八個(gè)部分,每一部分叫做卦限,含有三個(gè)正半軸的卦限叫做第一卦限,它位于xOy面的上方.在xOy面的上方,按逆時(shí)針?lè)较蚺帕兄诙韵?、第三卦限和第四卦?在xOy面的下方,與第一卦限對(duì)應(yīng)的是第五卦限,按逆時(shí)針?lè)较蜻€排列著第六卦

12、限、第七卦限和第八卦限.八個(gè)卦限分別用字母I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII表示. 向量的坐標(biāo)分解式: 任給向量r,對(duì)應(yīng)有點(diǎn)M,使.以O(shè)M為對(duì)角線(xiàn)、三條坐標(biāo)軸為棱作長(zhǎng)方體,有,設(shè),則.上式稱(chēng)為向量r的坐標(biāo)分解式,xi、yj、zk稱(chēng)為向量r沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量.顯然,給定向量r,就確定了點(diǎn)M及,三個(gè)分向量,進(jìn)而確定了x、y、z三個(gè)有序數(shù);反之,給定三個(gè)有序數(shù)x、y、z也就確定了向量r與點(diǎn)M.于是點(diǎn)M、向量r與三個(gè)有序x、y、z之間有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.據(jù)此,定義:有序數(shù)x、y、z稱(chēng)為向量r(在坐標(biāo)系Oxyz)中的坐標(biāo),記作r=(x,y,z);有序數(shù)x、y、z也稱(chēng)為點(diǎn)M(在坐標(biāo)系O

13、xyz)的坐標(biāo),記為M(x,y,z).向量稱(chēng)為點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)O的向徑.上述定義表明,一個(gè)點(diǎn)與該點(diǎn)的向徑有相同的坐標(biāo).記號(hào)(x,y,z)既表示點(diǎn)M,又表示向量.坐標(biāo)面上和坐標(biāo)軸上的點(diǎn), 其坐標(biāo)各有一定的特征. 例如: 點(diǎn)M在yOz面上, 則x=0; 同相, 在zOx面上的點(diǎn),y=0; 在xOy面上的點(diǎn),z=0. 如果點(diǎn)M在x軸上, 則y=z=0; 同樣在y軸上,有z=x=0; 在z軸上 的點(diǎn), 有x=y=0. 如果點(diǎn)M為原點(diǎn), 則x=y=z=0.四、利用坐標(biāo)作向量的線(xiàn)性運(yùn)算設(shè)a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz)即 a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,則 a+b=(

14、axi+ayj+azk)+(bxi+byj+bzk)=(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k=(ax+bx,ay+by,az+bz).a-b=(axi+ayj+azk)-(bxi+byj+bzk)=(ax-bx)i+(ay-by)j+(az-bz)k=(ax-bx,ay-by,az-bz).la=l(axi+ayj+azk) =(lax)i+(lay)j+(laz)k=(lax,lay,laz).利用向量的坐標(biāo)判斷兩個(gè)向量的平行:設(shè)a=(ax,ay,az)¹0,b=(bx,by,bz),向量b/aÛb=la,即b/aÛ(bx,by,bz)=l(ax,

15、ay,az),于是. 例2求解以向量為未知元的線(xiàn)性方程組,其中a=(2, 1, 2),b=(-1, 1,-2).解 如同解二元一次線(xiàn)性方程組, 可得x=2a-3b,y=3a-5b.以a、b的坐標(biāo)表示式代入, 即得x=2(2,1,2)-3(-1,1,-2)=(7,-1,10),y=3(2,1,2)-5(-1,1,-2)=(11,-2,16).例3 已知兩點(diǎn)A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)以及實(shí)數(shù)l¹-1,在直線(xiàn)AB上求一點(diǎn)M, 使.解由于,因此,從而.,這就是點(diǎn)M的坐標(biāo).另解 設(shè)所求點(diǎn)為M (x,y,z),則,.依題意有,即 (x-x1,y-y1,z-z1)=l(x2-x

16、,y2-y,z2-z) (x,y,z)-(x1,y1,z1)=l(x2,y2,z2)-l(x,y,z),.點(diǎn)M叫做有向線(xiàn)段的定比分點(diǎn).當(dāng)l=1,點(diǎn)M的有向線(xiàn)段的中點(diǎn),其坐標(biāo)為,. 五、向量的模、方向角、投影1向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式 設(shè)向量r=(x,y,z), 作, 則,按勾股定理可得,設(shè),有 |OP|=|x|,|OQ|=|y|,|OR|=|z|,于是得向量模的坐標(biāo)表示式.設(shè)有點(diǎn)A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2), 則=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1),于是點(diǎn)A與點(diǎn)B間的距離為. 例4 求證以M1(4, 3, 1)、M2 (7,

17、1, 2)、M3 (5, 2, 3)三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一個(gè)等腰三角形.解因?yàn)?| M1M2|2 =(7-4)2+(1-3)2+(2-1)2 =14, | M2M3|2 =(5-7)2+(2-1)2+(3-2)2 =6, | M1M3|2 =(5-4)2+(2-3)2+(3-1)2 =6,所以|M2 M3|=|M1M3|,即DM1 M2 M3為等腰三角形.例5 在z軸上求與兩點(diǎn)A(-4, 1, 7)和B(3, 5,-2)等距離的點(diǎn).解設(shè)所求的點(diǎn)為M(0, 0,z),依題意有|MA|2=|MB|2,即 (0+4)2+(0-1)2+(z-7)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.解之得,

18、所以,所求的點(diǎn)為.例6 已知兩點(diǎn)A(4, 0, 5)和B(7, 1, 3),求與方向相同的單位向量e.解因?yàn)?所以. 2方向角與方向余弦當(dāng)把兩個(gè)非零向量a與b的起點(diǎn)放到同一點(diǎn)時(shí),兩個(gè)向量之間的不超過(guò)p的夾角稱(chēng)為向量a與b的夾角,記作或.如果向量a與b中有一個(gè)是零向量,規(guī)定它們的夾角可以在0與p之間任意取值.類(lèi)似地,可以規(guī)定向量與一軸的夾角或空間兩軸的夾角.非零向量r與三條坐標(biāo)軸的夾角a、b、g稱(chēng)為向量r的方向角.向量的方向余弦:設(shè)r=(x,y,z),則x=|r|cosa,y=|r|cosb,z=|r|cosg. cosa、cosb、cosg稱(chēng)為向量r的方向余弦.,.從而.上式表明,以向量r的方

19、向余弦為坐標(biāo)的向量就是與r同方向的單位向量er.因此cos2a+cos2b+cos2g=1.例3設(shè)已知兩點(diǎn))和B(1, 3, 0),計(jì)算向量的模、方向余弦和方向角.解;,;,. 3向量在軸上的投影設(shè)點(diǎn)O及單位向量e確定u軸.任給向量r,作,再過(guò)點(diǎn)M作與u軸垂直的平面交u軸于點(diǎn)M¢(點(diǎn)M¢叫作點(diǎn)M在u軸上的投影),則向量稱(chēng)為向量r在u軸上的分向量.設(shè),則數(shù)l稱(chēng)為向量r在u軸上的投影,記作Prjur或(r)u.按此定義,向量a在直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)ax,ay,az就是a在三條坐標(biāo)軸上的投影,即ax=Prjxa,ay=Prjya,az=Prjza.投影的性質(zhì):性質(zhì)1 (a)

20、u=|a|cos j (即Prjua=|a|cos j),其中j為向量與u軸的夾角;性質(zhì)2 (a+b)u=(a)u+(b)u (即Prju(a+b)= Prjua+Prjub);性質(zhì)3 (la)u=l(a)u (即Prju(la)=lPrjua); §7. 2數(shù)量積 向量積 一、兩向量的數(shù)量積數(shù)量積的物理背景: 設(shè)一物體在常力F作用下沿直線(xiàn)從點(diǎn)M1移動(dòng)到點(diǎn)M2. 以s表示位移. 由物理學(xué)知道, 力F所作的功為 W = |F| |s| cosq, 其中q 為F與s的夾角. 數(shù)量積: 對(duì)于兩個(gè)向量a和b, 它們的模 |a|、|b| 及它們的夾角q 的余弦的乘積稱(chēng)為向量a和b的數(shù)量積, 記

21、作a×b, 即a·b=|a|b| cosq. 數(shù)量積與投影: 由于|b| cosq=|b|cos(a, b), 當(dāng)a¹0時(shí), |b| cos(a, b) 是向量b在向量a的方向上的投影, 于是a·b = |a| Prjab. 同理, 當(dāng)b¹0時(shí), a·b = |b| Prjba. 數(shù)量積的性質(zhì): (1) a·a = |a| 2. (2) 對(duì)于兩個(gè)非零向量a、b, 如果a·b =0, 則ab; 反之, 如果ab, 則a·b =0. 如果認(rèn)為零向量與任何向量都垂直, 則ab Û a·b =

22、0. 數(shù)量積的運(yùn)算律: (1)交換律: a·b =b·a; (2)分配律: (a+b)×c=a×c+b×c. (3) (la)·b =a·(lb) =l(a·b), (la)·(mb) =lm(a·b), l、m為數(shù). (2)的證明:分配律(a+b)×c=a×c+b×c的證明: 因?yàn)楫?dāng)c=0時(shí), 上式顯然成立; 當(dāng)c¹0時(shí), 有(a+b)×c=|c|Prjc(a+b)=|c|(Prjca+Prjcb)=|c|Prjca+|c|Prjcb=a

23、15;c+b×c.例1 試用向量證明三角形的余弦定理.證: 設(shè)在A(yíng)BC中, BCA=q (圖7-24), |BC|=a, |CA|=b, |AB|=c,要證c 2=a 2+b 2-2 ab cos q .記=a, =b, =c, 則有 c=a-b,從而 |c|2=c×c=(a-b)(a-b)=a×a+b×b-2a×b=|a|2+|b|2-2|a|b|cos(a,b),即c 2=a 2+b 2-2 ab cos q . 數(shù)量積的坐標(biāo)表示: 設(shè)a=(ax,ay,az ), b=(bx,by,bz ), 則a·b=axbx+ayby+azb

24、z .提示: 按數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律可得a·b =( ax i +ay j +az k)·(bx i +by j +bz k)=axbxi·i +ax by i·j +ax bz i·k+aybxj ·i +ay by j ·j +ay bz j·k+azbxk·i +az by k·j +az bz k·k= axbx+ ay by+ az bz . 兩向量夾角的余弦的坐標(biāo)表示: 設(shè)q=(a, b), 則當(dāng)a¹0、b¹0時(shí), 有. 提示:a·b=|a|b|c

25、osq. 例2 已知三點(diǎn)M (1, 1, 1)、A (2, 2, 1)和B (2, 1, 2), 求ÐAMB. 解 從M到A的向量記為a,從M到B的向量記為b,則ÐAMB就是向量a與b的夾角. a=1, 1, 0, b=1, 0, 1. 因?yàn)閍×b=1´1+1´0+0´1=1, , . 所以. 從而. 例3設(shè)液體流過(guò)平面S 上面積為A的一個(gè)區(qū)域, 液體在這區(qū)域上各點(diǎn)處的流速均為（常向量)v. 設(shè)n為垂直于S的單位向量（圖7-25(a)）,計(jì)算單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)這區(qū)域流向n所指一方的液體的質(zhì)量P(液體的密度為). 解 單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)這區(qū)域的

26、液體組成一個(gè)底面積為A、斜高為| v |的斜柱體(圖7-25(b).這柱體的斜高與底面的垂線(xiàn)的夾角就是v 與n的夾角q , 所以這柱體的高為|v |cosq, 體積為 A|v |cos q=A v ·n.從而, 單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)這區(qū)域流向n所指一方的液體的質(zhì)量為P=rAv ·n.二、兩向量的向量積 在研究物體轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題時(shí), 不但要考慮這物體所受的力, 還要分析這些力所產(chǎn)生的力矩. 設(shè)O為一根杠桿L的支點(diǎn).有一個(gè)力F作用于這杠桿上P點(diǎn)處. F與的夾角為q. 由力學(xué)規(guī)定, 力F對(duì)支點(diǎn)O的力矩是一向量M, 它的模, 而M的方向垂直于與F所決定的平面, M的指向是的按右手規(guī)則從以不超過(guò)

27、p的角轉(zhuǎn)向F來(lái)確定的. 向量積: 設(shè)向量c是由兩個(gè)向量a與b按下列方式定出: c的模 |c|=|a|b|sin q, 其中q 為a與b間的夾角; c的方向垂直于a與b所決定的平面, c的指向按右手規(guī)則從a轉(zhuǎn)向b來(lái)確定. 那么, 向量c叫做向量a與b的向量積, 記作a´b, 即c =a´b. 根據(jù)向量積的定義,力矩M等于與F的向量積, 即. 向量積的性質(zhì): (1)a´a =0; (2) 對(duì)于兩個(gè)非零向量a、b, 如果a´b = 0, 則a/b; 反之, 如果a/b, 則a´b =0. 如果認(rèn)為零向量與任何向量都平行, 則a/b Û a&

28、#180;b = 0. 數(shù)量積的運(yùn)算律: (1) 交換律a´b = -b´a; (2) 分配律: (a+b)´c = a´c + b´c. (3)(la)´b = a´(lb) = l(a´b) (l為數(shù)). 數(shù)量積的坐標(biāo)表示: 設(shè)a = ax i +ay j +az k, b = bx i +by j +bz k. 按向量積的運(yùn)算規(guī)律可得a´b = ( ax i +ay j +az k) ´ ( bx i +by j +bz k)= axbxi´i +ax by i´j +

29、ax bz i´k+aybxj´i +ay by j´j +ay bz j´k+azbxk´i +az by k´j +az bz k´k. 由于i´i = j´j = k´k = 0, i´j = k, j´k =i, k´i = j, 所以a´b = ( ay bz- az by) i + ( azbx- ax bz) j + ( ax by- aybx) k. 為了邦助記憶, 利用三階行列式符號(hào), 上式可寫(xiě)成=aybzi+azbxj+axbyk-ay

30、bxk-axbz j-azbyi= ( ay bz- az by) i + ( azbx- ax bz) j + ( ax by- aybx) k. . 例4 設(shè)a=(2, 1,-1),b=(1,-1, 2), 計(jì)算a´b. 解 =2i-j-2k-k-4j-i=i-5j -3k. 例5 已知三角形ABC的頂點(diǎn)分別是A (1, 2, 3)、B (3, 4, 5)、C (2, 4, 7), 求三角形ABC的面積. 解 根據(jù)向量積的定義, 可知三角形ABC的面積. 由于=(2, 2, 2), =(1, 2, 4), 因此 =4i-6j+2k.于是. 例6 設(shè)剛體以等角速度w繞l 軸旋轉(zhuǎn),

31、計(jì)算剛體上一點(diǎn)M的線(xiàn)速度. 解 剛體繞l 軸旋轉(zhuǎn)時(shí), 我們可以用在l 軸上的一個(gè)向量w表示角速度, 它的大小等于角速度的大小, 它的方向由右手規(guī)則定出: 即以右手握住l軸, 當(dāng)右手的四個(gè)手指的轉(zhuǎn)向與剛體的旋轉(zhuǎn)方向一致時(shí), 大姆指的指向就是w的方向. 設(shè)點(diǎn)M到旋轉(zhuǎn)軸l的距離為a, 再在l軸上任取一點(diǎn)O作向量r =, 并以q 表示w與r的夾角, 那么a = |r| sinq. 設(shè)線(xiàn)速度為v, 那么由物理學(xué)上線(xiàn)速度與角速度間的關(guān)系可知, v的大小為 |v| =| w|a= |w| |r| sinq; v的方向垂直于通過(guò)M點(diǎn)與l軸的平面, 即v垂直于w與r, 又v的指向是使w、r、v符合右手規(guī)則. 因

32、此有v = w´r. ;§7. 3 曲面及其方程 一、曲面方程的概念 在空間解析幾何中,任何曲面都可以看作點(diǎn)的幾何軌跡.在這樣的意義下,如果曲面S與三元方程F(x,y,z)=0有下述關(guān)系: (1) 曲面S上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿(mǎn)足方程F(x,y,z)=0; (2) 不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿(mǎn)足方程F(x,y,z)=0,那么,方程F(x,y,z)=0就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方程F(x,y,z)=0的圖形. 常見(jiàn)的曲面的方程: 例1 建立球心在點(diǎn)M0(x0,y0,z0)、半徑為R的球面的方程. 解 設(shè)M(x,y,z)是球面上的任一點(diǎn),那么|M0M|=R. 即 ,或 (x-

33、x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2. 這就是球面上的點(diǎn)的坐標(biāo)所滿(mǎn)足的方程.而不在球面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿(mǎn)足這個(gè)方程.所以 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2. 就是球心在點(diǎn)M0(x0,y0,z0)、半徑為R的球面的方程. 特殊地,球心在原點(diǎn)O(0, 0, 0)、半徑為R的球面的方程為x2+y2+z2=R2. 例2 設(shè)有點(diǎn)A(1, 2, 3)和B(2,-1, 4),求線(xiàn)段AB的垂直平分面的方程. 解由題意知道,所求的平面就是與A和B等距離的點(diǎn)的幾何軌跡.設(shè)M(x,y,z)為所求平面上的任一點(diǎn),則有|AM|=|BM|,即 . 等式兩邊平方,然后化簡(jiǎn)得2x-6y+2z-7

34、=0. 這就是所求平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)所滿(mǎn)足的方程,而不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿(mǎn)足這個(gè)方程,所以這個(gè)方程就是所求平面的方程. 研究曲面的兩個(gè)基本問(wèn)題: (1) 已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí),建立這曲面的方程; (2) 已知坐標(biāo)x、y和z間的一個(gè)方程時(shí),研究這方程所表示的曲面的形狀. 例3 方程x2+y2+z2-2x+4y=0表示怎樣的曲面？解 通過(guò)配方,原方程可以改寫(xiě)成 (x-1)2+(y+2)2+z2=5. 這是一個(gè)球面方程,球心在點(diǎn)M0(1,-2, 0)、半徑為. 一般地,設(shè)有三元二次方程Ax2+Ay2+Az2+Dx+Ey+Fz+G=0,這個(gè)方程的特點(diǎn)是缺xy,yz,zx各項(xiàng),而且平方項(xiàng)系數(shù)

35、相同,只要將方程經(jīng)過(guò)配方就可以化成方程(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2. 的形式,它的圖形就是一個(gè)球面. 二、旋轉(zhuǎn)曲面 以一條平面曲線(xiàn)繞其平面上的一條直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面,這條定直線(xiàn)叫做旋轉(zhuǎn)曲面的軸. 設(shè)在yOz坐標(biāo)面上有一已知曲線(xiàn)C,它的方程為f (y,z) =0,把這曲線(xiàn)繞z軸旋轉(zhuǎn)一周,就得到一個(gè)以z軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面.它的方程可以求得如下: 設(shè)M(x,y,z)為曲面上任一點(diǎn),它是曲線(xiàn)C上點(diǎn)M1(0,y1,z1)繞z軸旋轉(zhuǎn)而得到的.因此有如下關(guān)系等式,從而得 ,這就是所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 在曲線(xiàn)C的方程f(y,z)=0中將y改成,便得曲線(xiàn)C繞z 軸旋轉(zhuǎn)所成的

36、旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 同理,曲線(xiàn)C繞y 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為. 例4 直線(xiàn)L繞另一條與L相交的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周,所得旋轉(zhuǎn)曲面叫做圓錐面.兩直線(xiàn)的交點(diǎn)叫做圓錐面的頂點(diǎn),兩直線(xiàn)的夾角a()叫做圓錐面的半頂角.試建立頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O,旋轉(zhuǎn)軸為z軸,半頂角為a的圓錐面的方程. 解 在yOz坐標(biāo)面內(nèi),直線(xiàn)L的方程為 z=ycot a,將方程z=ycota中的y改成,就得到所要求的圓錐面的方程,或 z2=a2 (x2+y2),其中a=cot a. 例5.將zOx坐標(biāo)面上的雙曲線(xiàn)分別繞x軸和z軸旋轉(zhuǎn)一周,求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 解 繞x軸旋轉(zhuǎn)所在的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為;繞z軸旋轉(zhuǎn)所在的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為. 這

37、兩種曲面分別叫做雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面和單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面. 三、柱面 例6 方程x2+y2=R2表示怎樣的曲面？ 解 方程x2+y2=R2在xOy面上表示圓心在原點(diǎn)O、半徑為R的圓.在空間直角坐標(biāo)系中,這方程不含豎坐標(biāo)z, 即不論空間點(diǎn)的豎坐標(biāo)z怎樣,只要它的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y能滿(mǎn)足這方程,那么這些點(diǎn)就在這曲面上.也就是說(shuō),過(guò)xOy面上的圓x2+y2=R2,且平行于z軸的直線(xiàn)一定在x2+y2=R2表示的曲面上.所以這個(gè)曲面可以看成是由平行于z軸的直線(xiàn)l 沿xOy面上的圓x2+y2=R2移動(dòng)而形成的.這曲面叫做圓柱面,xOy面上的圓x2+y2=R2叫做它的準(zhǔn)線(xiàn),這平行于z軸的直線(xiàn)l 叫做它的母線(xiàn). 例6

38、方程x2+y2=R2表示怎樣的曲面？ 解 在空間直角坐標(biāo)系中,過(guò)xOy面上的圓x2+y2=R2作平行于z軸的直線(xiàn)l,則直線(xiàn)l上的點(diǎn)都滿(mǎn)足方程x2+y2=R2,因此直線(xiàn)l一定在x2+y2=R2表示的曲面上.所以這個(gè)曲面可以看成是由平行于z軸的直線(xiàn)l 沿xOy面上的圓x2+y2=R2移動(dòng)而形成的.這曲面叫做圓柱面,xOy面上的圓x2+y2=R2叫做它的準(zhǔn)線(xiàn),這平行于z軸的直線(xiàn)l 叫做它的母線(xiàn). 柱面: 平行于定直線(xiàn)并沿定曲線(xiàn)C移動(dòng)的直線(xiàn)L形成的軌跡叫做柱面,定曲線(xiàn)C叫做柱面的準(zhǔn)線(xiàn),動(dòng)直線(xiàn)L叫做柱面的母線(xiàn). 上面我們看到,不含z的方程x2+y2=R2在空間直角坐標(biāo)系中表示圓柱面,它的母線(xiàn)平行于z軸,

39、它的準(zhǔn)線(xiàn)是xOy面上的圓x2+y2=R2. 一般地,只含x、y而缺z的方程F(x,y)=0,在空間直角坐標(biāo)系中表示母線(xiàn)平行于z 軸的柱面,其準(zhǔn)線(xiàn)是xOy面上的曲線(xiàn)C: F(x,y)=0. 例如,方程y2=2x表示母線(xiàn)平行于z軸的柱面,它的準(zhǔn)線(xiàn)是xOy 面上的拋物線(xiàn)y2 =2x,該柱面叫做拋物柱面. 又如,方程 x-y=0表示母線(xiàn)平行于z軸的柱面,其準(zhǔn)線(xiàn)是xOy面的直線(xiàn) x-y=0,所以它是過(guò)z 軸的平面. 類(lèi)似地,只含x、z而缺y的方程G(x,z)=0和只含y、z而缺x的方程H(y,z)=0分別表示母線(xiàn)平行于y軸和x軸的柱面. 例如,方程 x-z=0表示母線(xiàn)平行于y軸的柱面,其準(zhǔn)線(xiàn)是zOx面上

40、的直線(xiàn) x-z=0. 所以它是過(guò)y軸的平面. 四、二次曲面 與平面解析幾何中規(guī)定的二次曲線(xiàn)相類(lèi)似,我們把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面.把平面叫做一次曲面. 怎樣了解三元方程F(x,y,z)=0所表示的曲面的形狀呢? 方法之一是用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截,考察其交線(xiàn)的形狀,然后加以綜合,從而了解曲面的立體形狀.這種方法叫做截痕法.研究曲面的另一種方程是伸縮變形法:設(shè)S是一個(gè)曲面,其方程為F(x,y,z)=0,S ¢是將曲面S沿x軸方向伸縮l倍所得的曲面.顯然,若(x,y,z)ÎS,則(lx,y,z)ÎS¢若(x,y,z)ÎS&

41、#162;,則.因此,對(duì)于任意的(x,y,z)ÎS¢,有,即是曲面S¢的方程.例如，把圓錐面沿y軸方向伸縮倍,所得曲面的方程為,即. (1)橢圓錐面由方程所表示的曲面稱(chēng)為橢圓錐面. 圓錐曲面在y軸方向伸縮而得的曲面.把圓錐面沿y軸方向伸縮倍,所得曲面稱(chēng)為橢圓錐面.以垂直于z軸的平面z=t截此曲面,當(dāng)t=0時(shí)得一點(diǎn)(0, 0, 0);當(dāng)t¹0時(shí),得平面z=t上的橢圓.當(dāng)t變化時(shí),上式表示一族長(zhǎng)短軸比例不變的橢圓,當(dāng)|t|從大到小并變?yōu)?時(shí),這族橢圓從大到小并縮為一點(diǎn).綜合上述討論,可得橢圓錐面的形狀如圖. (2)橢球面由方程所表示的曲面稱(chēng)為橢球面.球面在x

42、軸、y軸或z軸方向伸縮而得的曲面.把x2+y2+z2=a2沿z軸方向伸縮倍,得旋轉(zhuǎn)橢球面;再沿y軸方向伸縮倍,即得橢球面.(3)單葉雙曲面由方程所表示的曲面稱(chēng)為單葉雙曲面.把zOx面上的雙曲線(xiàn)繞z軸旋轉(zhuǎn), 得旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面; 再沿y軸方向伸縮倍, 即得單葉雙曲面.(4)雙葉雙曲面由方程所表示的曲面稱(chēng)為雙葉雙曲面. 把zOx面上的雙曲線(xiàn)繞x軸旋轉(zhuǎn), 得旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面; 再沿y軸方向伸縮倍, 即得雙葉雙曲面.(5)橢圓拋物面由方程所表示的曲面稱(chēng)為橢圓拋物面. 把zOx面上的拋物線(xiàn)繞z軸旋轉(zhuǎn), 所得曲面叫做旋轉(zhuǎn)拋物面, 再沿y軸方向伸縮倍, 所得曲面叫做橢圓拋物面(6)雙曲拋物面.由方程所表示的曲面

43、稱(chēng)為雙曲拋物面. 雙曲拋物面又稱(chēng)馬鞍面. 用平面x=t截此曲面, 所得截痕l為平面x=t上的拋物線(xiàn),此拋物線(xiàn)開(kāi)口朝下, 其項(xiàng)點(diǎn)坐標(biāo)為. 當(dāng)t變化時(shí),l的形狀不變, 位置只作平移, 而l的項(xiàng)點(diǎn)的軌跡L為平面y=0上的拋物線(xiàn).因此, 以l為母線(xiàn),L為準(zhǔn)線(xiàn), 母線(xiàn)l的項(xiàng)點(diǎn)在準(zhǔn)線(xiàn)L上滑動(dòng), 且母線(xiàn)作平行移動(dòng), 這樣得到的曲面便是雙曲拋物面. 還有三種二次曲面是以三種二次曲線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)的柱面:,依次稱(chēng)為橢圓柱面、雙曲柱面、拋物柱面. §7. 4 空間曲線(xiàn)及其方程一、空間曲線(xiàn)的一般方程空間曲線(xiàn)可以看作兩個(gè)曲面的交線(xiàn).設(shè)F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0是兩個(gè)曲面方程,它們的交線(xiàn)為C.因?yàn)榍€(xiàn)

44、C上的任何點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)同時(shí)滿(mǎn)足這兩個(gè)方程,所以應(yīng)滿(mǎn)足方程組.反過(guò)來(lái),如果點(diǎn)M不在曲線(xiàn)C上,那么它不可能同時(shí)在兩個(gè)曲面上,所以它的坐標(biāo)不滿(mǎn)足方程組. 因此,曲線(xiàn)C可以用上述方程組來(lái)表示.上述方程組叫做空間曲線(xiàn)C的一般方程.例1 方程組表示怎樣的曲線(xiàn)? 解 方程組中第一個(gè)方程表示母線(xiàn)平行于z軸的圓柱面,其準(zhǔn)線(xiàn)是xOy面上的圓,圓心在原點(diǎn)O,半行為1.方程組中第二個(gè)方程表示一個(gè)母線(xiàn)平行于y軸的柱面,由于它的準(zhǔn)線(xiàn)是zOx面上的直線(xiàn),因此它是一個(gè)平面.方程組就表示上述平面與圓柱面的交線(xiàn).例2 方程組表示怎樣的曲線(xiàn)? 解 方程組中第一個(gè)方程表示球心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,半行為a的上半球面.第二個(gè)方程表示母線(xiàn)平行于z

45、軸的圓柱面,它的準(zhǔn)線(xiàn)是xOy面上的圓,這圓的圓心在點(diǎn),半行為.方程組就表示上述半球面與圓柱面的交線(xiàn).例2¢方程組表示怎樣的曲線(xiàn)? 解 方程組中第一個(gè)方程表示球心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,半行為2a的上半球面.第二個(gè)方程表示母線(xiàn)平行于z軸的圓柱面,它的準(zhǔn)線(xiàn)是xOy面上的圓,這圓的圓心在點(diǎn)(a,0) ,半行為a.方程組就表示上述半球面與圓柱面的交線(xiàn).二、空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程空間曲線(xiàn)C的方程除了一般方程之外,也可以用參數(shù)形式表示,只要將C上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x、y、z表示為參數(shù)t的函數(shù): .當(dāng)給定t=t1時(shí),就得到C上的一個(gè)點(diǎn)(x1,y1,z1);隨著t的變動(dòng)便得曲線(xiàn)C上的全部點(diǎn).方程組(2)叫做空間曲線(xiàn)的參數(shù)

46、方程.例3 如果空間一點(diǎn)M在圓柱面x2+y2=a2 上以角速度w繞z軸旋轉(zhuǎn),同時(shí)又以線(xiàn)速度v沿平行于z軸的正方向上升(其中w、v都是常數(shù)),那么點(diǎn)M構(gòu)成的圖形叫做螺旋線(xiàn).試建立其參數(shù)方程.解 取時(shí)間t為參數(shù).設(shè)當(dāng)t=0時(shí),動(dòng)點(diǎn)位于x軸上的一點(diǎn)A(a, 0, 0)處.經(jīng)過(guò)時(shí)間t,動(dòng)點(diǎn)由A運(yùn)動(dòng)到M(x,y,z)(圖7-44).記M在xOy面上的投影為M¢,M¢的坐標(biāo)為x,y,0.由于動(dòng)點(diǎn)在圓柱面上以角速度w 繞 z軸旋轉(zhuǎn),所以經(jīng)過(guò)時(shí)間t,AOM¢= w t.從而 x=|OM¢|cosAOM¢=acos w t, y=|OM¢|sinAOM

47、¢=asin w t,由于動(dòng)點(diǎn)同時(shí)以線(xiàn)速度v沿平行于 z軸的正方向上升,所以 z=MM¢=vt .因此螺旋線(xiàn)的參數(shù)方程為,也可以用其他變量作參數(shù);例如令q=wt,則螺旋線(xiàn)的參數(shù)方程可寫(xiě)為,其中,而參數(shù)為q . *曲面的參數(shù)方程 曲面的參數(shù)方程通常是含兩個(gè)參數(shù)的方程, 形如. 例如空間曲線(xiàn)G (a£t£b),繞z軸旋轉(zhuǎn), 所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為(a£t£b,0£q£2p).(4)這是因?yàn)? 固定一個(gè)t, 得G上一點(diǎn)M1(j(t),y(t),w(t), 點(diǎn)M1繞z軸旋轉(zhuǎn), 得空間的一個(gè)圓, 該圓在平面z=w(t)上, 其

48、半徑為點(diǎn)M1到z軸的距離, 因此, 固定t的方程(4)就是該圓的參數(shù)方程. 再令t在a,b內(nèi)變動(dòng), 方程(4)便是旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 例如直線(xiàn)繞z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為.(上式消t和q, 得曲面的直角坐標(biāo)方程為) 又如球面x2+y2+z2=a2可看成zOx面上的半圓周(0£j£p)繞z軸旋轉(zhuǎn)所得, 故球面方程為(0£j£p,0£q£2p).三、空間曲線(xiàn)在坐標(biāo)面上的投影以曲線(xiàn)C為準(zhǔn)線(xiàn)、母線(xiàn)平行于z軸的柱面叫做曲線(xiàn)C關(guān)于xOy面的投影柱面,投影柱面與xOy面的交線(xiàn)叫做空間曲線(xiàn)C在xOy面上的投影曲線(xiàn),或簡(jiǎn)稱(chēng)投影(類(lèi)似地可以定義曲線(xiàn)C在其

49、它坐標(biāo)面上的投影).設(shè)空間曲線(xiàn)C的一般方程為.設(shè)方程組消去變量z后所得的方程 H(x,y)=0 ,這就是曲線(xiàn)C關(guān)于xOy面的投影柱面.這是因?yàn)? 一方面方程H(x,y)=0表示一個(gè)母線(xiàn)平行于z軸的柱面,另一方面方程H(x,y)=0是由方程組消去變量z后所得的方程,因此當(dāng)x、y、z滿(mǎn)足方程組時(shí),前兩個(gè)數(shù)x、y必定滿(mǎn)足方程H(x,y)=0 ,這就說(shuō)明曲線(xiàn)C上的所有點(diǎn)都在方程H(x,y)=0所表示的曲面上,即曲線(xiàn)C在方程H(x,y)=0表示的柱面上.所以方程H(x,y)=0表示的柱面就是曲線(xiàn)C關(guān)于xOy面的投影柱面.曲線(xiàn)C在xOy面上的投影曲線(xiàn)的方程為: .討論: 曲線(xiàn)C關(guān)于yOz 面和zOx面的投

50、影柱面的方程是什么?曲線(xiàn)C在yOz 面和zOx面上的投影曲線(xiàn)的方程是什么? 例4 已知兩球面的方程為x2+y2+z2=1, (5)和x2+(y-1)2+(z-1)2=1, (6)求它們的交線(xiàn)C在xOy面上的投影方程.解 先將方程x2+(y-1)2+(z-1)2=1化為x2+y2+z2-2y-2z=1,然后與方程x2+y2+z2=1相減得 y+z=1.將 z=1-y代入x2+y2+z2=1 得x2+2y2-2y=0.這就是交線(xiàn)C關(guān)于xOy面的投影柱面方程.兩球面的交線(xiàn)C在xOy面上的投影方程為.例5 求由上半球面和錐面所圍成立體在xOy面上的投影.解 由方程和消去z得到x2+y2=1.這是一個(gè)母

51、線(xiàn)平行于z軸的圓柱面,容易看出,這恰好是半球面與錐面的交線(xiàn)C關(guān)于xOy面的投影柱面,因此交線(xiàn)C在xOy面上的投影曲線(xiàn)為.這是xOy面上的一個(gè)圓,于是所求立體在xOy面上的投影,就是該圓在xOy面上所圍的部分:x2+y2£1.:§7. 5 平面及其方程 一、平面的點(diǎn)法式方程法線(xiàn)向量:如果一非零向量垂直于一平面,這向量就叫做該平面的法線(xiàn)向量.容易知道,平面上的任一向量均與該平面的法線(xiàn)向量垂直.唯一確定平面的條件: 當(dāng)平面P上一點(diǎn)M0 (x0,y0,z0)和它的一個(gè)法線(xiàn)向量n=(A,B,C)為已知時(shí),平面P的位置就完全確定了.平面方程的建立: 設(shè)M (x,y,z)是平面P上的任一

52、點(diǎn).那么向量必與平面P的法線(xiàn)向量n垂直,即它們的數(shù)量積等于零: .由于 n =(A,B,C),所以 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.這就是平面P上任一點(diǎn)M的坐標(biāo)x,y,z所滿(mǎn)足的方程. 反過(guò)來(lái),如果M (x,y,z)不在平面P上,那么向量與法線(xiàn)向量n不垂直,從而.,即不在平面P上的點(diǎn)M的坐標(biāo)x,y,z不滿(mǎn)足此方程. 由此可知,方程A(x-x0)+B(y-y0)+C(z- z0)=0就是平面P的方程.而平面P就是平面方程的圖形.由于方程A(x-x0)+B(y-y0)+C(z- z0)=0是由平面P上的一點(diǎn)M0(x0,y0,z0)及它的一個(gè)法線(xiàn)向量n =(A,B,C)確定的,所

53、以此方程叫做平面的點(diǎn)法式方程. 例1求過(guò)點(diǎn)(2,-3,0)且以n=(1,-2, 3)為法線(xiàn)向量的平面的方程. 解根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程,得所求平面的方程為 (x-2)-2(y+3)+3z=0,即x-2y+3z-8=0.例2求過(guò)三點(diǎn)M1(2,-1, 4)、M2(-1, 3,-2)和M3(0, 2, 3)的平面的方程.解我們可以用作為平面的法線(xiàn)向量n.因?yàn)?所以.根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程,得所求平面的方程為 14(x-2)+9(y+1)-(z -4)=0,即14x+9y- z-15=0.二、平面的一般方程 由于平面的點(diǎn)法式方程是x,y,z的一次方程,而任一平面都可以用它上面的一點(diǎn)及它的法線(xiàn)向量來(lái)確定,所

54、以任一平面都可以用三元一次方程來(lái)表示 . 反過(guò)來(lái),設(shè)有三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0.我們?nèi)稳M(mǎn)足該方程的一組數(shù)x0,y0,z0,即 Ax0+By0+Cz0 +D=0.把上述兩等式相減,得 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0,這正是通過(guò)點(diǎn)M0(x0,y0,z0)且以n=(A,B,C)為法線(xiàn)向量的平面方程.由于方程 Ax+By+Cz+D=0.與方程 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0同解,所以任一三元一次方程Ax+By+Cz+D=0的圖形總是一個(gè)平面.方程Ax+By+Cz+D=0稱(chēng)為平面的一般方程,其中x,y,z的系數(shù)就是該平面的一個(gè)法線(xiàn)向量n的坐標(biāo),即

55、n=(A,B,C). 例如,方程3x-4y+z-9=0表示一個(gè)平面,n=(3,-4, 1)是這平面的一個(gè)法線(xiàn)向量. 討論: 考察下列特殊的平面方程,指出法線(xiàn)向量與坐標(biāo)面、坐標(biāo)軸的關(guān)系,平面通過(guò)的特殊點(diǎn)或線(xiàn). Ax+By+Cz=0; By+Cz+D=0, Ax+Cz+D=0, Ax+By+D=0; Cz+D=0, Ax+D=0, By+D=0.提示: D=0,平面過(guò)原點(diǎn).n=(0,B,C),法線(xiàn)向量垂直于x軸,平面平行于x軸.n=(A, 0,C),法線(xiàn)向量垂直于y軸,平面平行于y軸.n=(A,B, 0),法線(xiàn)向量垂直于z軸,平面平行于z軸.n=(0, 0,C),法線(xiàn)向量垂直于x軸和y軸,平面平行于xOy平面.n=(A,0, 0),法線(xiàn)向量垂直于y軸和z軸,平面平行于yOz平