電磁場(chǎng)與電磁波中七個(gè)矢量的散旋和邊界條件分析

1、電磁場(chǎng)與電磁波中七個(gè)矢量的散度、旋度和邊界條件分析電磁場(chǎng)與電磁波中共涉及到了七個(gè)矢量，它們是電場(chǎng)強(qiáng)度矢量，電位移矢量，磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量，磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量，極化強(qiáng)度，磁化強(qiáng)度和電流密度矢量。亥姆霍茲定理指出，任一矢量場(chǎng)由它的散度、旋度和邊界條件唯一地確定，分析總結(jié)它們的散度、旋度和邊界條件將有助于我們加深對(duì)電磁場(chǎng)與電磁波的基本矢量的認(rèn)識(shí)。下面將就這七個(gè)矢量的散度和旋度進(jìn)行分析：1.電場(chǎng)強(qiáng)度的散度：由高斯定理可知電場(chǎng)強(qiáng)度的散度:，這是在真空中的情況，為閉合面包圍的自由電荷密度。當(dāng)有電介質(zhì)存在時(shí)，將高斯定理定理推廣為，是極化電荷體密度。的旋度：由電荷激發(fā)的電場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)，旋度為零，由變化磁場(chǎng)激發(fā)的電場(chǎng)是有旋

2、場(chǎng)，一般來說，空間電場(chǎng)是庫(kù)倫電場(chǎng)和感應(yīng)電場(chǎng)的疊加， 根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和安培環(huán)路定理可求得在真空中的電場(chǎng)強(qiáng)度旋度為: ，表明靜電場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)。在時(shí)變的電磁場(chǎng)中：，表明時(shí)變磁場(chǎng)產(chǎn)生時(shí)變電場(chǎng)。的邊界條件：通過積分形式的麥克斯韋第二方程，可以得到電場(chǎng)強(qiáng)度的邊界方程：，設(shè)分界面的法向單位矢量為，切向單位矢量為。上式表明電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量是連續(xù)的。2. 電位移矢量的散度：由帶入電場(chǎng)強(qiáng)度的散度公式中，得到電位移矢量的散度表達(dá)式：。式中為閉合面包圍的自由電荷體密度，這個(gè)式子表明電解質(zhì)內(nèi)任一點(diǎn)的電位移矢量的散度等于該點(diǎn)的自由電荷體密度。的旋度：對(duì)于各向同性介質(zhì)，有，因此電位移矢量的旋度為的邊界條件：通過積分

3、形式的麥克斯韋第四方程可以得到的邊界條件：，為分界面上存在的自由電荷面密度，這個(gè)式子表明電位移矢量的法向分量在分界面上是不連續(xù)的。對(duì)于各向同性的介質(zhì)，由于，且由于電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量是連續(xù)的，又分界面上兩種介質(zhì)的介電常數(shù)大小是不確定的，因此電位移矢量的切向分量連續(xù)與否也是不確定的。3. 磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量的散度：由磁通連續(xù)性原理得到恒定磁場(chǎng)的散度：，結(jié)果表明磁感應(yīng)強(qiáng)度的散度恒為零，自然界中無(wú)孤立磁荷存在。的旋度：由安培環(huán)路定理可得到真空中磁感應(yīng)強(qiáng)度的旋度為：，結(jié)果表明恒定磁場(chǎng)是有旋場(chǎng)，恒定電流是產(chǎn)生恒定磁場(chǎng)的漩渦源。當(dāng)有磁介質(zhì)存在時(shí)，上式變?yōu)椋瑸閭鲗?dǎo)電流密度，為磁化電流密度，既考慮磁化電流也是產(chǎn)生磁

4、場(chǎng)的漩渦源。的邊界條件：通過積分形式的麥克斯韋第三方程可以得到磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量的邊界條件：，表明磁感應(yīng)強(qiáng)度的法向分量在分界面上式連續(xù)的。4.磁場(chǎng)強(qiáng)度的散度：對(duì)于各向同性的磁介質(zhì)來說，。因?yàn)?，所以有：。的旋度：由于，根?jù)上邊磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量的旋度表達(dá)式得：。表明磁介質(zhì)中某點(diǎn)的磁場(chǎng)強(qiáng)度的旋度等于該點(diǎn)的傳導(dǎo)電流。存在時(shí)變的電磁場(chǎng)時(shí)，表明表明磁場(chǎng)的旋度源是傳導(dǎo)電流和時(shí)變的位移電流之和。的邊界條件：由麥克斯韋方程組的第一方程的積分形式得到磁場(chǎng)強(qiáng)度的邊界條為：，為分界面上存在的自由面電流，表明磁場(chǎng)強(qiáng)度在穿過存在面電流的分界面時(shí)，切向分量是不連續(xù)的。同理，由于分界面的磁介質(zhì)大小不確定，而且，則在垂直分界面方向上

5、連續(xù)性是不確定的。5.極化強(qiáng)度的散度：在電介質(zhì)中的任意閉合曲面上取一個(gè)面積元，其法向單位矢量為，近似認(rèn)為上的不變。在電解質(zhì)極化時(shí)，設(shè)每個(gè)分子的正負(fù)電荷的平均相對(duì)位移為，則分子電偶極矩為。以為底，為斜高構(gòu)成一個(gè)體積元。設(shè)電解質(zhì)單位體積中的分子數(shù)為，穿出面積元的正電荷為。從閉合面穿出的正電荷為。留在閉合面內(nèi)的極化電荷量為。因?yàn)殚]合面是任意取的，故限定的體積內(nèi)的極化電荷體密度應(yīng)為:，則的散度是，是體積內(nèi)的極化電荷體密度。的旋度：對(duì)于各向同性的線性介質(zhì)，有，是合成電場(chǎng)強(qiáng)度，是由自由電荷產(chǎn)生的外電場(chǎng)和極化電荷產(chǎn)生的附加電場(chǎng)的疊加。由于兩種電場(chǎng)的旋度都為零，因此有。的邊界條件：電解質(zhì)表面上的極化電荷面密度

6、為，在分界面上的邊界條件有，是分界面上的極化電荷面密度，上式表明極化強(qiáng)度的法向分量是不連續(xù)的。6.磁化強(qiáng)度的散度：對(duì)于各向同性和線性介質(zhì)，由上邊的，可以知道。的旋度：由磁介質(zhì)中的任一個(gè)由邊界回路限定的曲面，穿過整個(gè)曲面的磁化電流為，將磁化電流表示為磁化電流密度的積分，即，比較上面兩個(gè)式子得到：。的邊界條件：磁介質(zhì)表面上的磁化電流面密度表達(dá)式為：，為磁介質(zhì)表面法向的單位矢量。則通過上面的表達(dá)式可推導(dǎo)出的邊界條件是：。這表明磁化強(qiáng)度在分界面切線方向不連續(xù)。7. 電流密度矢量的散度：根據(jù)電荷守恒定律，單位時(shí)間內(nèi)從閉合面內(nèi)流出的電荷量應(yīng)等于閉合面所限定的體積內(nèi)的電荷減少量，即，設(shè)定閉合面所限定的體積不隨時(shí)間變化，將全導(dǎo)數(shù)寫成偏導(dǎo)數(shù)，變?yōu)椋海瑧?yīng)用散度定理。得到，從而得到：。的