相似原理與量綱分析

1、第五章 相似理論與量綱分析51基本要求本章簡單闡述和實驗有關(guān)的一些理論性的基本知識。其中，包括作為模型實驗理論根據(jù)的相似性原理，闡述原型和模型相互關(guān)系的模型律，以及有助于選擇實驗參數(shù)的量綱分析法。識記幾何相似、運動相似、動力相似的定義，Re、Fr、Eu等相似準(zhǔn)則數(shù)的含義，量綱的定義。領(lǐng)會流動的力學(xué)相似概念，各個相似準(zhǔn)數(shù)的物理意義，量綱分析法的應(yīng)用。應(yīng)用量綱分析法推導(dǎo)物理公式，利用模型律安排模型實驗。重點：相似原理，相似準(zhǔn)則，量綱分析法。難點：量綱分析法，模型律。52基本知識點521相似的基本概念為使模型流動能表現(xiàn)出原型流動的主要現(xiàn)象和特性，并從模型流動上預(yù)測出原型流動的結(jié)果，就必須使兩者在流動

2、上相似，即兩個互為相似流動的對應(yīng)部位上對應(yīng)物理量都有一定的比例關(guān)系。具體來說，兩相似流動應(yīng)滿足幾何相似、運動相似和動力相似。原型流動用下標(biāo)n表示，模型流動用下標(biāo)m表示。1. 幾何相似兩流動的對應(yīng)邊長成同一比例，對應(yīng)角相等。即相應(yīng)有 2. 運動相似兩流動的對應(yīng)點上流體速度矢量成同一比例，即對應(yīng)點上速度大小成同一比例，方向相同。相應(yīng)有 ， 3. 動力相似兩流動的對應(yīng)部位上同名力矢成同一比例，即對應(yīng)的受同名力同時作用在兩流動上，且各同名力方向一致，大小成比例。4. 流動相似的含義幾何相似是運動相似和動力相似的前提與依據(jù)；動力相似是決定二個流動相似的主導(dǎo)因素；運動相似是幾何相似和動力相似的表現(xiàn)；凡相似

3、的流動，必是幾何相似、運動相似和動力相似的流動。522相似準(zhǔn)則描述流體運動和受力關(guān)系的是流體運動微分方程，兩流動要滿足相似條件就必須同時滿足該方程，利用該方程可得到模型流動和原型流動在滿足動力相似時各比例系數(shù)之間的約束關(guān)系即相似準(zhǔn)則。常用的相似準(zhǔn)數(shù)為:1. 雷諾數(shù)Re ，Re數(shù)表征了慣性力與粘滯力作用的對比關(guān)系。2. 弗汝德數(shù)Fr ，F(xiàn)r數(shù)表征慣性力與重力作用的對比關(guān)系。3. 歐拉數(shù)Eu ，Eu數(shù)表征壓力與慣性力作用的對比關(guān)系。4. 斯特勞哈勒數(shù)St ，St數(shù)是時變加速度與位變加速度的比值，標(biāo)志流動的非定常性。523模型律1. 模型律的選擇動力相似可以用相似準(zhǔn)數(shù)表示，若原型和模型流動動力相似，

4、各同名相似準(zhǔn)數(shù)均相等，如果滿足則稱為完全相似。但同時滿足所有相似準(zhǔn)數(shù)都相等，在實際上是很困難的，有時也是不必要的。實際上我們往往只需要考慮主要動力相似，即只要起主導(dǎo)作用的相似準(zhǔn)數(shù)相等即可。要達(dá)到主要動力相似就應(yīng)該根據(jù)所研究或所需解決的原型流動的性質(zhì)來選擇恰當(dāng)?shù)南嗨茰?zhǔn)數(shù)。2. 模型試驗?zāi)Ｐ驮囼灢襟E：選定；求模型的幾何邊界；選模型律；實現(xiàn)相似，計算相應(yīng)物理量。524量綱分析法1. 量綱分析1） 量綱量綱是物理量的單位種類。注意量綱與單位的區(qū)別！基本量綱是具有獨立性的量綱，在流體力學(xué)領(lǐng)域中有三個基本量綱：長度量綱L、時間量綱T和質(zhì)量量綱M。導(dǎo)出量綱由基本量綱組合表示。任一物理量均可由基本量綱的指數(shù)乘

5、積的形式來描述：2） 無量綱量無量綱量指物理量的量綱為1，用表示，實際是一個數(shù)，但與單純的數(shù)不一樣，它是幾個物理量組合而成的綜合物理量。無量綱量可由幾個有量綱量通過乘除組合而成或由同類量的比值組成。無量綱量的優(yōu)點：客觀；不受運動規(guī)模的影響；可進(jìn)行超越函數(shù)的運算。3） 量綱和諧原理量綱和諧性原理又被稱為量綱一致性原理，也叫量綱齊次性原理，指一個物理現(xiàn)象或一個物理過程用一個物理方程表示時，方程中各項的量綱應(yīng)該是一致的。推論：（1）凡正確反映客觀規(guī)律的物理方程，都可表示成由無量綱項組成的無量綱方程。（2）量綱和諧原理規(guī)定了一個物理過程與有關(guān)物理量之間的關(guān)系。2. p定理：對于某個物理現(xiàn)象，如果存在n

6、個變量互為函數(shù)，即。而這些變量中含有m個基本量，則可把這n個變量成（n-m）個無量綱數(shù)的函數(shù)關(guān)系，即可合并n個物理量為（n-m）個無量綱數(shù)。p定理解題步驟如下：1） 確定關(guān)系式：確定所研究流動問題所包含的各個物理量及其關(guān)系式：2） 確定基本量：從n個物理量中選取m個基本物理量作為基本量綱，一般，如A1，A2，A3；3） 確定無量綱變量數(shù)的數(shù)目(n-m)，并寫出其余物理量與基本物理量組成的表達(dá)式：為待定指數(shù)4） 確定無量綱數(shù)：由量綱和諧原理解聯(lián)立指數(shù)方程，求出各項的指數(shù)，從而定出各無量綱參數(shù)。5） 寫出描述物理現(xiàn)象的關(guān)系式：或者53典型例題例51 某水庫以長度比尺做底孔放空模型實驗，今在模型上測

7、得放空時間為12小時，求原型上放空水庫所需的時間?！窘狻?取 ，即 所以 又 所以 討論：弗汝德數(shù)的適用范圍：凡有自由水面并且允許水面上下自由變動的各種流動（重力起主要作用的流動），如堰壩溢流、孔口出流、明渠流動與隧洞流動等。本題中水庫內(nèi)水的出流是重力出流，因此選擇重力相似準(zhǔn)則，即弗汝德數(shù)相等。例52 已知某船體長122 m， 航行速度15 m/s，現(xiàn)用船模在水池中實驗船模長3.05 m。求船模應(yīng)以多大速度運動才能保證與原型相似。若測得船模運動阻力為20 N，實物船所受阻力等于多少?！窘狻?取 ，即 所以 又 所以 例53 有一直徑的輸油管道，輸送運動粘滯系數(shù)為的油，其流量。若在模型中采用直徑

8、為5cm的圓管，求模型中用運動粘滯系數(shù)為的水做試驗時的流量。【解】 選用雷諾數(shù)相似準(zhǔn)則，即又， 討論：雷諾數(shù)的適用范圍：主要是受水流阻力即粘滯力作用的流體流動，凡是有壓流動，重力不影響流速分布，主要受粘滯力的作用，這類流動相似要求雷諾數(shù)相等。另外，處于水下較深的運動潛體，在不至于使水面產(chǎn)生波浪的情況下，也是以雷諾數(shù)相等保證動力相似的。如層流狀態(tài)下的管道、隧洞中的有壓流動和潛體繞流問題等。例54 一建筑物模型在風(fēng)速為5 m/s時，迎風(fēng)面壓強(qiáng)為50 N/m2，背風(fēng)面壓強(qiáng)為30 N/m2，若氣溫不變，風(fēng)速增至15 m/s時，建筑物迎風(fēng)面和背風(fēng)面的壓強(qiáng)各為多少？【解】采用Eu相似準(zhǔn)則， 因為 所以，迎

9、風(fēng)面壓強(qiáng) 背風(fēng)面壓強(qiáng)討論：一般，兩流動的雷諾數(shù)相等，歐拉數(shù)也相等；兩液流的弗勞德數(shù)相等，歐拉數(shù)也相等。只有出現(xiàn)負(fù)壓或存在氣蝕情況的液體，才需考慮歐拉數(shù)相等來保證流動相似。例55 假設(shè)流量Q與管徑D、喉管直徑d、流體密度、壓強(qiáng)差及流體的動力粘滯系數(shù)有關(guān)，試用定理分析文丘里管的流量表達(dá)式?！窘狻?據(jù)題意擬定函數(shù)關(guān)系式：選擇 D，為獨立變量，則可建立3個無量綱數(shù)：對： 1求解上述方程組可得：所以 同理可得 將各數(shù)代入得 討論：從本例題可以看出，利用定理，可以在僅知與物理過程有關(guān)物理量的情況下，求出表達(dá)該物理過程關(guān)系式的基本結(jié)構(gòu)形式。但是用量綱分析法所確定的物理方程中包含待定系數(shù)，這個系數(shù)要通過實驗來

10、確定。而量綱分析法求解中已指定如何用實驗來確定這個系數(shù)。因此，量綱分析法也是流體力學(xué)實驗的理論基礎(chǔ)。例56 試用量綱分析法證明風(fēng)洞運行時所需功率為，式中N為功率，為流體密度，為動力粘性系數(shù)，L為風(fēng)洞的特征長度。【解】 本題共5個變量，選3個基本量綱，則無量綱數(shù)為2。選定、L、 為基本量，則，顯見 所以 54習(xí)題1. 當(dāng)水溫為20，平均速度為4.5 m/s，直徑為0.3 m水平管線某段的壓降為68.95 kN/m2。如果用比例為6的模型管線，以空氣為工作流體，當(dāng)平均流速為30 m/s時，要求在相應(yīng)段產(chǎn)生55.2 kN/m2的壓強(qiáng)降。計算力學(xué)相似所要求的空氣壓強(qiáng)，設(shè)空氣溫度為20。（答案：15 a

11、t）2. 為了確定吸風(fēng)口附近的速度分布，取比例為10作為模型設(shè)計。模型吸風(fēng)口的流速為13 m/s，距風(fēng)口軸線0.2 m處測得流速為0.5 m/s。若實際風(fēng)速為18 m/s，怎樣換算成原型流動的速度？（答案：0.69 m/s）3. 為研究輸水管道上直徑600 mm閥門的阻力特性，采用直徑300 mm的閥門用氣流做模型實驗。已知輸水管道的流量為0.283 m3/s，水的運動粘度，空氣的運動粘度，試求模型的氣流量。（答案：2.26 m3/s）4. 潛艇長50 m，水面航速6 m/s.在水池中作模型試驗，以確定該潛艇在水面航行時的阻力。若船模的幾何尺度是實船的l/50，求船模在水池中的拖曳速度。（答案

12、：0.85 m/s）5. 溢水堰模型設(shè)計比例為20，當(dāng)在模型上測得模型流量為時，水流推力，求實際流量和推力。（答案：537 m3/s；2400 kN）6. 為了研究汽車的性能，在風(fēng)洞中進(jìn)行汽車的模型試驗。已知風(fēng)洞風(fēng)速，測得模型上的阻力。若汽車高，行車速度。試求模型的高度及汽車所受到的阻力。（答案：1 m；1.5 kN）7. 溢流壩泄流模型實驗，模型長度比尺為60，溢流壩的泄流量為500m3s。試求：(1)模型的泄流量； (2)模型的堰上水頭，原型對應(yīng)的堰上水頭是多少？題57圖（答案：；）8. 用油泵抽貯油池中的石油，現(xiàn)需用實驗方法確定最小油位h。已知原型設(shè)備中吸入管直徑，運動粘度，流量，長度比尺，試確定：（1）模型中運動粘度，流量，流速（2）若模型中出現(xiàn)漩渦的最小液柱高度，求（答案：，）9. 假設(shè)自由落體的下落距離s與落體的質(zhì)量m、重力加速度g及下落時間t有關(guān)，試用量綱分析法導(dǎo)出自由落體下落距離的關(guān)系式。 （答案：）10. 一長度為l的物體以速度U在密度為，粘性系數(shù)為的流體中運動，試以量綱分析的方法導(dǎo)出物體所受到的阻力D的無量綱數(shù)的表示式。（答案：）11.