歷年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試幾何題匯總

1、 歷年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試幾何題匯總 2007聯(lián)賽二試 類(lèi)似九點(diǎn)圓如圖，在銳角ABC中，ABAC，AD是邊BC上的高，P是線段AD內(nèi)一點(diǎn)。過(guò)P作PEAC，垂足為E，作PFAB，垂足為F。、分別是BDF、CDE的外心。求證：、E、F四點(diǎn)共圓的充要條件為P是ABC的垂心。（官方解答） ABDCEFP證明：連BP、CP、E、EF、F。因?yàn)镻DBC，PFAB，則B、D、P、F四點(diǎn)共圓，且BP為該圓的直徑。又因?yàn)槭荁DF的外心，故在BP上且是BP的中點(diǎn)。同理可證，C、D、P、E四點(diǎn)共圓，且是CP的中點(diǎn)。于是，平行于BC，則P=PCB。因?yàn)锳F*AB = AP*AD = AE*AC ，所以B、C、E、F四

2、點(diǎn)共圓。充分性：設(shè)P是ABC的垂心，由于PEAC，PFAB，所以B、P、E四點(diǎn)共線，C、P、F四點(diǎn)共線，F(xiàn) =FCB =FEB = FE，故、E、F四點(diǎn)共圓必要性：設(shè)、E、F四點(diǎn)共圓，則E + EF = 注意到P=PCB=ACB - ACP ，又因?yàn)槭侵苯荂EP的斜邊中點(diǎn)，也就是CEP的外心，所以PE=2ACP。因?yàn)槭侵苯荁FP的斜邊中點(diǎn)，也就是BFP的外心，從而PF= - BF= - ABP 因?yàn)锽、C、E、F四點(diǎn)共圓，所以AFE =ACB，PFE = - ACB于是，由E + EF = 得：（ACB - ACP+ 2ACP）+ ( - ABP + - ACB) = ，即ABP =ACP。又

3、因?yàn)锳BAC，ADBC，故BDAC，過(guò)A作ABC的外接圓的切線L。又以A為圓心，AC為半徑作圓分別交線段AB于D；交直線L于E、F。證明：直線DE、DF分別通過(guò)ABC的內(nèi)心與一個(gè)旁心。（官方解答）證明：（1）先證DE通過(guò)ABC的內(nèi)心。連結(jié)DC、 DE，作BAC的平分線，交DC于G，交DE于I。又AD=AC，則GAC與GAD全等，即有IAC=IAD=DAC又D、C、E在以A為圓心的圓上，則DAC=IEC故IAC=IEC，即A、I、C、E四點(diǎn)共圓。于是，ACI=AEI又F、D、E在以A為圓心的圓上，則AEI =FAD又因?yàn)橄嗲杏蠪AD=ACB，故ACI=ACB所以，I為內(nèi)心。(2) DF通過(guò)ABC

4、的一個(gè)旁心。設(shè)FD 與AI的所在直線交于，連B， BI。則BI =，而B(niǎo)D=ADF，又AD=AF，則ADF=AFD=，又因?yàn)橄嗲杏蠥BC=CAE，故BI =BD，即I、D、B、四點(diǎn)共圓。于是，I B=ID=，又因?yàn)锳BC的平分線與其外角平分線互相垂直，故B為其外角平分線。所以，為ABC的BC邊外的旁心。2004聯(lián)賽二試在銳角三角形ABC中，AB上的高CE與AC上的高BD相交于點(diǎn)H，以DE為直徑的圓分別交AB、AC于F、G兩點(diǎn)，F(xiàn)G與AH相交于點(diǎn)K，已知BC25，BD=20，BE7，求AK的長(zhǎng)。解：在直角BCE中，BC=25，BE=7，則CE=24；同理，在直角BCD中，BC=25，BD=20，

5、則CD=15。sinA = sin(B+C) = sinBcosC+cosBsinC =*+*= 于是，AC=30，則AD=15。同理，AB=25，則AE=18。注意到：AB=BC，則A=C由于CDB=CEB=，C、D、E、B四點(diǎn)共圓，則C=AED。于是，A =AED，則DE=AD。連FD，則DFAE，于是AF=AE=9，則AG=。由于=+，即AF*AGsinA=AF*AKsinFAK+AG*AKsinGAK其中，sinFAK=sinBCE=，sinGAK =sinCBD=將數(shù)據(jù)代進(jìn)去，計(jì)算得：AK=（這里實(shí)際上使用了張角公式，而官方解答注意到GF與BC平行的關(guān)系）2003 聯(lián)賽二試簡(jiǎn)證：連A

6、B，注意到：AQP=DAQ+QDA=PBC+ABC=ABP于是，P、A、Q、B四點(diǎn)共圓。那么，PAB=PQB即 PAC+BAC = BDC+DBQ 又因?yàn)?BAC =BDC ，所以PAC =DBQ2002 聯(lián)賽二試如圖，在ABC中，A=，ABAC，點(diǎn)O是外心。兩條高BE、CF交于H點(diǎn)。點(diǎn)M、N分別在線段BH、HF上，且滿足BM=CN。求 的值。 機(jī)械解法：設(shè)外接圓半徑為R，引理1： = = = 2R (銳角三角形)引理2：=+ 引理1的證明：BH=2RcosB，同理有：AH=2RcosA， CH=2RcosC。引理2的證明：設(shè)滿足=+ ，則=+*=(+)*(-) = OC- OB = 0 ，所

7、以ABC同理，BAC，所以與H重合。題目的證明：圖中H在三角形內(nèi)部，可以判斷ABC為銳角三角形。A=，ABAC，則CB。于是可設(shè)B=-，C=+，其中00于是，直線BC為y=(x - n) ，直線DF為y=(x - m) ，于是交點(diǎn)G為=( - n) =( - m) （1） = = =同理，直線CD為y=(x - n) ，直線BF為y=(x - m) ，于是交點(diǎn)E為=( - m) =( - n) （2）（直接對(duì)調(diào)m與n的位置得出計(jì)算結(jié)果） = = =故= - ，所以GAC = EAC1998聯(lián)賽二試如圖，O、I分別為ABC外心和內(nèi)心，AD是BC邊上的高，I在線段OD上，求證：ABC的外接圓半徑等

8、于BC邊上的旁切圓半徑。 注：ABC的BC邊上的旁切圓是與邊AB、AC的延長(zhǎng)線以及邊BC都相切的圓。純幾何證法：BC邊上的旁切圓半徑：= 2S = a*AD 作INAB，垂足為N，則b+c a = 2AN 故=要證明=R，即證明： = 連AI并延長(zhǎng)交處接圓于K，連結(jié)KO、KB。則K、M分別為弧BC及弦BC的中點(diǎn)且OKBC于是OKAD，又KI=KB，則 = = = 故只要證明： = ，亦即 = 而a = 2BM,故只要證明： = 由于NAI=MBK=，ANI與BMK相似，所以上式成立。故=R1997聯(lián)賽二試證明：充分性。設(shè)S、N、T三點(diǎn)共線。在S、T所作的兩公切線相交于K，則KS=KT，且K在圓

9、和圓的根軸MN上。設(shè)ST交KO于D，由OS=OT及KS=KT有：。又，那么與相似，即有。又, 所以，即O、D、N、M四點(diǎn)共圓。故，即。 必要性。設(shè)。類(lèi)似地，設(shè)在S、T所作的兩公切線相交于K，則KS=KT，且K在圓和圓的根軸MN上。設(shè)ST分別交KO、KM于D、，則，又，故O、D、M四點(diǎn)共圓，于是 。又，故，即與N重合，因此S、N、T共線。1996聯(lián)賽二試梅氏定理證法：D延長(zhǎng)PA與BC交于點(diǎn)D。PGE截ACD，由梅氏定理有：* = 1由于CE、CG均為圓的切線，則CE = CG 于是，* = 1 (1)同理，PHF截ABD，由梅氏定理有：* = 1由于BH、BF均為圓的切線，則BH = BF于是，

10、* = 1 (2)由（1）和（2）得： = ，亦即 = （3）連結(jié)A、A、G、H，則 GA=GAB =HA， 、A、三點(diǎn)共線。又AG= =AH，所以AG與AH相似。于是有 = (4)由（3）和（4）得：=連結(jié)E、F,則EEF ，F(xiàn)EF ，E平行于F。又因?yàn)?，所以AD平行于E。故PABC。1995聯(lián)賽二試分析：這個(gè)問(wèn)題需要倒過(guò)來(lái)想，從結(jié)論出發(fā)。首先要加強(qiáng)對(duì)MQ平行于NP的理解，連結(jié)MP，將會(huì)發(fā)現(xiàn)證題目標(biāo)轉(zhuǎn)化為： AMQ=CPN，于是，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求證：AMQ與CPN相似，考慮到A=C，也就是求證：AM*CN=AQ*CP。這樣，只要考慮對(duì)稱(chēng)的左邊的“AM*CN”，再將其轉(zhuǎn)化為“公共的量”即可。19

11、94 聯(lián)賽二試設(shè)ABC的外接圓O半徑為R，內(nèi)心為I，B=，A C，A的外角平分線交圓O于E，證明：（1） IO = AE ；（2） 2R IO + IA + IC (1+)R .機(jī)械證法：引理：IA = 4Rsinsin，IC = 4Rsinsin，內(nèi)切圓半徑 r = 4Rsinsinsin引理的證明：在ACI中，應(yīng)用正弦定理：= ，其中b=2RsinB， 故IA=4Rsinsin，IC=4Rsinsin，于是，r=AIsin=4Rsinsinsin 題目的證明：（1）B=，A C，于是可設(shè)A=-，C=+，其中0，那么ABE=，AE = 2Rsin。由引理知：r = 2Rsinsin = R（

12、cos-） 由Euler定理知：IO = R(R-2r) = 2R（1-cos）= 4Rsin 故IO = AE = 2Rsin（2）由引理知：IA = 2Rsin ，IC = 2Rsin 故 IO + IA + IC = 2R（sin+ sin+ sin）= 2R（sin+cos） = 2Rsin(+) 因?yàn)?，則+，所以sinsin(+)sin2RsinIO + IA + IC2Rsin 即 2R IO + IA + IC bc0)，則 令 ，那么，即 同理 ， 令 ，則相切時(shí)，有x=r，從而t=0，G=0,(1)式成立。相交時(shí)，0xr ，于是 t0 于是通過(guò)兩端平方及 t0 ，可驗(yàn)證：即

13、 Gr ，于是 t0 ，同樣可驗(yàn)證 G0 ，（3）式成立。1992 聯(lián)賽二試設(shè)A1A2A3A4為O的內(nèi)接四邊形，H1，H2，H3，H4依次為A2A3A4，A1A3A4，A1A2A4，A1A2A3的垂心，求證：H1，H2，H3，H4四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，并定出該圓的圓心位置引理：設(shè)O、H分別為ABC的外心、垂心，則 = + + 引理的證明：設(shè)滿足=+，則=+*=(+)*(-) = OC- OB = 0 ，所以ABC同理，BAC，所以與H重合。題目的證明：由引理有： = + + ， = + + = - = - = 于是，為平行四邊形，對(duì)角線與互相平分。設(shè)它們的交點(diǎn)為P，則P=P ，P=P同理，與互相平

14、分，則交點(diǎn)為的中點(diǎn)P。同理，與互相平分于點(diǎn)P。即 P=P ，P=P于是和（i=1，2，3，4）關(guān)于點(diǎn)P是中心對(duì)稱(chēng)的。因?yàn)?、共圓，所以、四點(diǎn)也共圓，其圓心是點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)P的中心對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。 連OP，延長(zhǎng)OP到使P=OP，則是、四點(diǎn)所決定的圓的圓心。1991 聯(lián)賽二試設(shè)凸四邊形ABCD的面積為1，求證在它的邊上（包括頂點(diǎn)）或內(nèi)部可以找到四個(gè)點(diǎn)，使得以其中任意三點(diǎn)為頂點(diǎn)所構(gòu)成的四個(gè)三角形的面積均大于。官方證明：考慮四個(gè)三角形，的面積，不妨設(shè)最小，分四種情況討論：(1) ，這時(shí)，顯然A、B、C、D四點(diǎn)即為所求。(2) ，設(shè)G為的重心。因 ，故 于是，G、B、C、D四點(diǎn)即為所求。(3) =，則=，其余兩個(gè)三角

15、形的面積均大于。由于 AC，A的一個(gè)外角的平分線交ABC的外圓于點(diǎn)E，過(guò)E作EFAB，垂足為F。求證：2AF=AB-AC。證明：在FB上取FG=AF，連EG、EC、EB，于是AEG為等腰三角形，EG=EA又3=180-EGA=180-EAG=180-5=4，1=2于是EGB 與EAC全等BG=AC， AB-AC=AG=2AF1988聯(lián)賽二試在ABC中，P、Q、R將其周長(zhǎng)三等分，且P、Q在AB邊上。求證： 證明：由于P、Q在AB邊上，則有：。以邊PQ=為底，要使其面積達(dá)到最小值，就是要使PQ邊上的高，即點(diǎn)R到AB邊的距離達(dá)到最小。由于對(duì)稱(chēng)性的關(guān)系，不妨設(shè)點(diǎn)R在邊BC上。當(dāng)線段PQ向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)

16、R在BC邊上向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)。當(dāng)點(diǎn)P與A重合時(shí)，面積最小。此時(shí)有：BR=-BQ=-(c-)= = * = * = * = * 因?yàn)閎+ca，所以2；因?yàn)閍+bc，所以1。故面積最小時(shí)， 故任何情況下均有： 1985聯(lián)賽二試在中角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若角A，B，C的大小成等比數(shù)列，且，求角B ABCD解：如圖，作的外接圓。由于0，即ba，弧AC大于弧BC。于是，可以在弧AC上取一點(diǎn)D，使得弧AD等于弧BC，即 AD=BC=a 。連DA,DB，DC。那么，弧BAD等于弧ABC，即BD=AC=b 。應(yīng)用托勒密定理有： 又題設(shè)，故CD=a 于是，弧AD、弧CD、弧BC均相等，則 那么， 又題設(shè)，即 故1983 聯(lián)賽二試在四邊形ABCD中，ABD、BCD、ABC的面積比是341，點(diǎn)M、N分別在AC、CD上滿足AMAC=CNCD，并且B、M、N三點(diǎn)共線求證：M與N分別是AC與CD的中點(diǎn)注意：這里用表示三角形的面積引理：（面積的定比分點(diǎn)公式）設(shè)線段CD不與直線AB相交，N在線段CD上并且CN=CD，則 ABN =ABD +(1-)ABC 引理的證明：記四邊形ABCD的面積為S。則 ABN =S