直線圓錐曲線有關向量的問題

1、直線圓錐曲線有關向量的問題高考考什么知識要點：1直線與圓錐曲線的公共點的情況（1）沒有公共點 方程組無解 （2）一個公共點 （3）兩個公共點 2連結圓錐曲線上兩個點的線段稱為圓錐曲線的弦，要能熟練地利用方程的根與系數(shù)關系來計算弦長，常用的弦長公式：3以平面向量作為工具，綜合處理有關長度、角度、共線、平行、垂直、射影等問題4.幾何與向量綜合時可能出現(xiàn)的向量內容  （3）給出,等于已知是的中點; （5） 給出以下情形之一：；存在實數(shù)；若存在實數(shù),等于已知三點共線. （6） 給出，等于已知是的定比分點，為定比，即 （7） 給出,等于已知,即是直角,給

2、出,等于已知是鈍角, 給出,等于已知是銳角。 （9）在平行四邊形中，給出，等于已知是菱形; （10） 在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形; （11）在中，給出，等于已知是的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點）；（12） 在中，給出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點）； （13）在中，給出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點）； （16） 在中，給出,等于已知是中邊的中線;高考怎么考主要題型：1三點共線問題；2公共點個數(shù)問題；3弦長問題；4中點問題；5定比分點問題；6對稱問題；

3、7平行與垂直問題；8角的問題。近幾年平面向量與解析幾何交匯試題考查方向為（1）考查學生對平面向量知識的簡單運用，如向量共線、垂直、定比分點。（2）考查學生把向量作為工具的運用能力，如求軌跡方程，圓錐曲線的定義，標準方程和幾何性質，直線與圓錐曲線的位置關系。特別提醒：D法和韋達定理是解決直線和圓錐曲線位置關系的重要工具。例1過點P(x,y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A,B兩點，點Q與點P關于y軸對稱，O為坐標原點，若且，則點P的軌跡方程是（ D ）A BC D例2 已知橢圓C1：y21，橢圓C2以C1的長軸為短軸，且與C1有相同的離心率(1)求橢圓C2的方程；(2)設O為坐標原點

4、，點A，B分別在橢圓C1和C2上，2，求直線AB的方程解：(1)由已知可設橢圓C2的方程為1(a>2)，其離心率為，故，則a4，故橢圓C2的方程為1.(2)解法一：A，B兩點的坐標分別記為(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三點共線且點A，B不在y軸上，因此可設直線AB的方程為ykx.將ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x，將ykx代入1中，得(4k2)x216，所以x，又由2，得x4x，即，解得k±1，故直線AB的方程為yx或yx.解法二：A，B兩點的坐標分別記為(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三點共線且點A，B不在

5、y軸上，因此可設直線AB的方程為ykx.將ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x，由2，得x，y，將x，y代入1中，得1，即4k214k2，解得k±1，故直線AB的方程為yx或yx.例4已知A,B為拋物線x2=2py(p>0)上異于原點的兩點，點C坐標為（0，2p）（1）求證：A,B,C三點共線； （2）若（）且試求點M的軌跡方程。（1）證明：設，由得，又 ，即A,B,C三點共線。（2）由（1）知直線AB過定點C，又由及（）知OMAB，垂足為M，所以點M的軌跡為以OC為直徑的圓，除去坐標原點。即點M的軌跡方程為x2+(y-p)2=p2(x¹0，y¹

6、0)。例6設F1、F2分別是橢圓的左、右焦點.（）若P是該橢圓上的一個動點，求的最大值和最小值;（）設過定點M(0,2)的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，且AOB為銳角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍.解：（）解法一： 易知 ，所以，設，則因為，故當x=0，即點P為橢圓短軸端點時，有最小值-2當x=±2，即點P為橢圓長軸端點時，有最大值1解法二：易知，所以，設，則（以下同解法一）（）顯然直線不滿足題設條件，可設直線，聯(lián)立，消去，整理得：由得：或又，又，即 故由、得或自我提升1、平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知A（3，1），B（-1，3），若點C滿足，其中a,b&

7、#206;R，且a+b=1，則點C的軌跡方程為( D )A 3x+2y-11=0 B(x-1)2+(y-2)2=5 C 2x-y=0 D x+2y-5=02、已知是x,y軸正方向的單位向量，設=, =,且滿足|+|=4.則點P(x,y)的軌跡是.( C )A橢圓B雙曲線C線段D射線52012·許昌一模 設F1、F2分別是雙曲線x21的左、右焦點若點P在雙曲線上，且·0，則|()A2 B. C4 D25D解析 根據(jù)已知PF1F2是直角三角形，向量2，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出.·0，則|2|2.6已知A、B為拋物線x2=2py (p>0)

8、上兩點，直線AB過焦點F，A、B在準線上的射影分別為C、D，則y軸上恒存在一點K，使得；存在實數(shù)l使得 ；若線段AB中點P在在準線上的射影為T，有。中說法正確的為_7.已知橢圓，過P(1,0)作直線 l，使得l與該橢圓交于A,B兩點，l與y軸的交點為Q，且，求直線 l的方程。解：直線l過P(1,0)，故可設方程為y=k(x-1)， 因為，所以 AB的中點與 PQ的中點重合.由得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0 所以，又xP+xQ=1 故得，所求的直線方程為。82012·瑞安質檢 設橢圓M：1(a>)的右焦點為F1，直線l：x與x軸交于點A，若20(其中O為坐標原

9、點)(1)求橢圓M的方程；(2)設P是橢圓M上的任意一點，EF為圓N：x2(y2)21的任意一條直徑(E，F(xiàn)為直徑的兩個端點)，求·的最大值解：(1)由題設知，A，F(xiàn)1，由20，得2.解得a26.所以橢圓M的方程為1.(2)解法1：設圓N：x2(y2)21的圓心為N，則·()·()()·()2221.設P(x0，y0)是橢圓M上一點，則1，所以2x(y02)22(y01)212.因為y0，所以當y01時，2取得最大值12.所以·的最大值為11.解法2：設點E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，P(x0，y0)，所以可得·(x1x0)(x2x0)(y1y0)(y2y0)(x1x0)(x1x0)(y1y0)(4y1y0)xxyy4y14y0xy4y0(xy4y1)因為點E在圓N上，所以x(y12)21，即xy4y13.又因為點P在橢圓M上，所以1，即x63y.所以·2y4y092(y01)211.因為y0，所以當y01時，(·)min11.9.設橢圓C：的左焦點為F，上頂點為A，過點A作垂直于AF的直線交橢圓C于另外一點P，交x軸正半軸于點Q， 且 （1）求橢圓C的離心率；APQFOxy （2）若過A、Q、F三點的圓恰