直線圓錐曲線有關(guān)向量的問(wèn)題

1、直線圓錐曲線有關(guān)向量的問(wèn)題高考考什么知識(shí)要點(diǎn)：1直線與圓錐曲線的公共點(diǎn)的情況（1）沒(méi)有公共點(diǎn) 方程組無(wú)解 （2）一個(gè)公共點(diǎn) （3）兩個(gè)公共點(diǎn) 2連結(jié)圓錐曲線上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱(chēng)為圓錐曲線的弦，要能熟練地利用方程的根與系數(shù)關(guān)系來(lái)計(jì)算弦長(zhǎng)，常用的弦長(zhǎng)公式：3以平面向量作為工具，綜合處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度、共線、平行、垂直、射影等問(wèn)題4.幾何與向量綜合時(shí)可能出現(xiàn)的向量?jī)?nèi)容  （3）給出,等于已知是的中點(diǎn); （5） 給出以下情形之一：；存在實(shí)數(shù)；若存在實(shí)數(shù),等于已知三點(diǎn)共線. （6） 給出，等于已知是的定比分點(diǎn)，為定比，即 （7） 給出,等于已知,即是直角,給

2、出,等于已知是鈍角, 給出,等于已知是銳角。 （9）在平行四邊形中，給出，等于已知是菱形; （10） 在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形; （11）在中，給出，等于已知是的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)）；（12） 在中，給出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)）； （13）在中，給出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點(diǎn)）； （16） 在中，給出,等于已知是中邊的中線;高考怎么考主要題型：1三點(diǎn)共線問(wèn)題；2公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題；3弦長(zhǎng)問(wèn)題；4中點(diǎn)問(wèn)題；5定比分點(diǎn)問(wèn)題；6對(duì)稱(chēng)問(wèn)題；

3、7平行與垂直問(wèn)題；8角的問(wèn)題。近幾年平面向量與解析幾何交匯試題考查方向?yàn)椋?）考查學(xué)生對(duì)平面向量知識(shí)的簡(jiǎn)單運(yùn)用，如向量共線、垂直、定比分點(diǎn)。（2）考查學(xué)生把向量作為工具的運(yùn)用能力，如求軌跡方程，圓錐曲線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系。特別提醒：D法和韋達(dá)定理是解決直線和圓錐曲線位置關(guān)系的重要工具。例1過(guò)點(diǎn)P(x,y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若且，則點(diǎn)P的軌跡方程是（ D ）A BC D例2 已知橢圓C1：y21，橢圓C2以C1的長(zhǎng)軸為短軸，且與C1有相同的離心率(1)求橢圓C2的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)

4、，點(diǎn)A，B分別在橢圓C1和C2上，2，求直線AB的方程解：(1)由已知可設(shè)橢圓C2的方程為1(a>2)，其離心率為，故，則a4，故橢圓C2的方程為1.(2)解法一：A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三點(diǎn)共線且點(diǎn)A，B不在y軸上，因此可設(shè)直線AB的方程為ykx.將ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x，將ykx代入1中，得(4k2)x216，所以x，又由2，得x4x，即，解得k±1，故直線AB的方程為yx或yx.解法二：A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三點(diǎn)共線且點(diǎn)A，B不在

5、y軸上，因此可設(shè)直線AB的方程為ykx.將ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x，由2，得x，y，將x，y代入1中，得1，即4k214k2，解得k±1，故直線AB的方程為yx或yx.例4已知A,B為拋物線x2=2py(p>0)上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，2p）（1）求證：A,B,C三點(diǎn)共線； （2）若（）且試求點(diǎn)M的軌跡方程。（1）證明：設(shè)，由得，又 ，即A,B,C三點(diǎn)共線。（2）由（1）知直線AB過(guò)定點(diǎn)C，又由及（）知OMAB，垂足為M，所以點(diǎn)M的軌跡為以O(shè)C為直徑的圓，除去坐標(biāo)原點(diǎn)。即點(diǎn)M的軌跡方程為x2+(y-p)2=p2(x¹0，y¹

6、0)。例6設(shè)F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).（）若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值;（）設(shè)過(guò)定點(diǎn)M(0,2)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，且AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的取值范圍.解：（）解法一： 易知 ，所以，設(shè)，則因?yàn)?，故?dāng)x=0，即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，有最小值-2當(dāng)x=±2，即點(diǎn)P為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，有最大值1解法二：易知，所以，設(shè)，則（以下同解法一）（）顯然直線不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線，聯(lián)立，消去，整理得：由得：或又，又，即 故由、得或自我提升1、平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知A（3，1），B（-1，3），若點(diǎn)C滿足，其中a,b&

7、#206;R，且a+b=1，則點(diǎn)C的軌跡方程為( D )A 3x+2y-11=0 B(x-1)2+(y-2)2=5 C 2x-y=0 D x+2y-5=02、已知是x,y軸正方向的單位向量，設(shè)=, =,且滿足|+|=4.則點(diǎn)P(x,y)的軌跡是.( C )A橢圓B雙曲線C線段D射線52012·許昌一模 設(shè)F1、F2分別是雙曲線x21的左、右焦點(diǎn)若點(diǎn)P在雙曲線上，且·0，則|()A2 B. C4 D25D解析 根據(jù)已知PF1F2是直角三角形，向量2，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出.·0，則|2|2.6已知A、B為拋物線x2=2py (p>0)

8、上兩點(diǎn)，直線AB過(guò)焦點(diǎn)F，A、B在準(zhǔn)線上的射影分別為C、D，則y軸上恒存在一點(diǎn)K，使得；存在實(shí)數(shù)l使得 ；若線段AB中點(diǎn)P在在準(zhǔn)線上的射影為T(mén)，有。中說(shuō)法正確的為_(kāi)7.已知橢圓，過(guò)P(1,0)作直線 l，使得l與該橢圓交于A,B兩點(diǎn)，l與y軸的交點(diǎn)為Q，且，求直線 l的方程。解：直線l過(guò)P(1,0)，故可設(shè)方程為y=k(x-1)， 因?yàn)?，所?AB的中點(diǎn)與 PQ的中點(diǎn)重合.由得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0 所以，又xP+xQ=1 故得，所求的直線方程為。82012·瑞安質(zhì)檢 設(shè)橢圓M：1(a>)的右焦點(diǎn)為F1，直線l：x與x軸交于點(diǎn)A，若20(其中O為坐標(biāo)原

9、點(diǎn))(1)求橢圓M的方程；(2)設(shè)P是橢圓M上的任意一點(diǎn)，EF為圓N：x2(y2)21的任意一條直徑(E，F(xiàn)為直徑的兩個(gè)端點(diǎn))，求·的最大值解：(1)由題設(shè)知，A，F(xiàn)1，由20，得2.解得a26.所以橢圓M的方程為1.(2)解法1：設(shè)圓N：x2(y2)21的圓心為N，則·()·()()·()2221.設(shè)P(x0，y0)是橢圓M上一點(diǎn)，則1，所以2x(y02)22(y01)212.因?yàn)閥0，所以當(dāng)y01時(shí)，2取得最大值12.所以·的最大值為11.解法2：設(shè)點(diǎn)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，P(x0，y0)，所以可得·(x1x0)(x2x0)(y1y0)(y2y0)(x1x0)(x1x0)(y1y0)(4y1y0)xxyy4y14y0xy4y0(xy4y1)因?yàn)辄c(diǎn)E在圓N上，所以x(y12)21，即xy4y13.又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓M上，所以1，即x63y.所以·2y4y092(y01)211.因?yàn)閥0，所以當(dāng)y01時(shí)，(·)min11.9.設(shè)橢圓C：的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A作垂直于AF的直線交橢圓C于另外一點(diǎn)P，交x軸正半軸于點(diǎn)Q， 且 （1）求橢圓C的離心率；APQFOxy （2）若過(guò)A、Q、F三點(diǎn)的圓恰