直線的傾斜角與斜率經(jīng)典例題(學生版

1、直線的傾斜角與斜率 講義一引入直線的傾斜角的概念:當直線l與x軸相交時, 取x軸作為基準, x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角.特別地,當直線l與x軸平行或重合時, 規(guī)定= 0°.問: 傾斜角的取值范圍是什么? 0°180°.當直線l與x軸垂直時, = 90°.因為平面直角坐標系內(nèi)的每一條直線都有確定的傾斜程度, 引入直線的傾斜角之后, 我們就可以用傾斜角來表示平面直角坐標系內(nèi)的每一條直線的傾斜程度.如圖, 直線abc, 那么它們的傾斜角相等嗎? 答案是肯定的.所以一個傾斜角不能確定一條直線.確定平面直角坐標系內(nèi)的一條直線位置的幾何要

2、素: 一個點P和一個傾斜角.(二)直線的斜率:一條直線的傾斜角(90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是 k = tan當直線l與x軸平行或重合時, =0°, k = tan0°=0;當直線l與x軸垂直時, = 90°, k 不存在.由此可知, 一條直線l的傾斜角一定存在,但是斜率k不一定存在.例如, =45°時, k = tan45°= 1; =135°時, k = tan135°= tan(180° 45°) = - tan45°= - 1.學習了斜率之后

3、, 我們又可以用斜率來表示直線的傾斜程度. (三) 直線的斜率公式:給定兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,如何用兩點的坐標來表示直線P1P2的斜率?可用計算機作動畫演示: 直線P1P2的四種情況, 并引導學生如何作輔助線,共同完成斜率公式的推導.(略)斜率公式: 對于上面的斜率公式要注意下面四點：(1) 當x1=x2時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角= 90°, 直線與x軸垂直；(2)k與P1、P2的順序無關(guān), 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同時交換, 但分子與分母不能交換; (3)斜率k可以不通過傾斜角而直接由直線上兩點的坐標求得;(4

4、) 當 y1=y2時, 斜率k = 0, 直線的傾斜角=0°，直線與x軸平行或重合. (5)求直線的傾斜角可以由直線上兩點的坐標先求斜率而得到 (四)例題:例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直線AB, BC, CA的斜率, 并判斷它們的傾斜角是鈍角還是銳角.(用計算機作直線, 圖略).例2 在平面直角坐標系中, 畫出經(jīng)過原點且斜率分別為1, -1, 2, 及-3的直線a, b, c, l.二、題型歸納：【訓練1】已知直線的傾斜角，求直線的斜率：（1） （2） （3） （4） （5） 【訓練2】根據(jù)斜率求傾斜角：（1）當【訓練3】已知直線的傾斜角是直

5、線的2倍，且，求直線的斜率?！居柧?】（1）若直線的傾斜角取值范圍為則斜率的取值范圍是_ _；（2）若直線的斜率的取值范圍是，則其傾斜角的取值范圍是_ _ _。【訓練5】已知直線過兩點，求直線的斜率和傾斜角?！居柧?】設點,點在y軸上，若直線的傾斜角為，求點的坐標?！居柧?】若三點共線，求實數(shù)m的值?！居柧?】已知點（，），（，），過P(0，)的直線與線段總有公共點，求直線l的斜率的范圍?！咀兪健恳阎狝（-1，3），B（2，2），直線l：（2m+1）x+(m-1)y-3m=0與線段AB總有公共點，求m取值范圍yx三、強化訓練：1、若圖中的直線的斜率分別為，則的大小關(guān)系是_。2、已知直線的斜率的

6、絕對值為，則直線的傾斜角為 。3、已知直線的傾斜角為，且，則此直線的斜率為 。4、若過點的直線的傾斜角為鈍角，則實數(shù)a的取值范圍是 。5、已知直線的傾斜角為，且，則直線斜率的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 6、若直線AB的斜率為2，將直線繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后，所得直線的斜率是 （ ）A. B. C.3 D. 7、直線的斜率為（），則直線的傾斜角的取值范圍是 （ ）A. B. C. D. 8、已知兩點，若直線的斜率分別為，求的坐標。類型一：傾斜角與斜率的關(guān)系1已知直線的傾斜角的變化范圍為，求該直線斜率的變化范圍；【變式】直線的傾斜角的范圍是( )A B C D類型二：斜率定義2已知A

7、BC為正三角形，頂點A在x軸上，A在邊BC的右側(cè)，BAC的平分線在x軸上，求邊AB與AC所在直線的斜率. 【變式1】如圖，直線的斜率分別為，則( )ABCD類型三：斜率公式的應用3求經(jīng)過點，直線的斜率并判斷傾斜角為銳角還是鈍角【變式1】過兩點，的直線的傾斜角為，求的值【變式2】為何值時，經(jīng)過兩點(-，6)，(1，)的直線的斜率是124已知三點A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一條直線上，求實數(shù)a的值【變式1】已知，三點，這三點是否在同一條直線上，為什么？【變式2】已知直線的斜率，是這條直線上的三個點，求和的值兩條直線的位置關(guān)系考試目標 主詞填空1.兩直線平行的充要條件.已知兩直線

8、分別為：l1：y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2，則l1l2k1=k2且b1b2.2.兩直線垂直的充要條件.已知兩直線分別為：l1：y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2，則l1l2k1·k2=-1.3.兩條直線的夾角.設直線l1的斜率為k1，l2的斜率為k2，l1到l2的角為，l1與l2的夾角為，則tan，tan.4.點到直線的距離.點P0(x0，y0)到直線Ax+By+C=0的距離d=.5.兩平行線間的距離.兩平行線l1：Ax+By+C1=0與l2：Ax+By+C2=0(C1C2)之間的距離d=6.對稱問題.(1)P(x，y)關(guān)于Q(a，b)的對稱點為 (2a-x，2b-

9、y).(2)P(x0，y0)關(guān)于直線Ax+By+C=0的對稱點是.題型示例 點津歸納【例1】 已知兩直線l1：x+m2y+6=0， l2：(m-2)x+3my+2m=0，當m為何值時，l1與l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合.【例2】 求經(jīng)過點P(2，3)且被兩條平行線3x+4y-7=0及3x+4y+3=0截得的線段長為的直線方程.【例3】 一條光線經(jīng)過點P(2，3)，射在直線l：x+y+1=0上，反射后穿過點Q(1，1).(1)求光線的入射線方程；(2)求這條光線從P到Q的長度.【例4】 已知三條直線l1：2x-y+a=0(a>0)，直線l2：-4x+2y+1=0和直線l3：x+

10、y-1=0，且l1與l2的距離是.(1)求a的值；(2)求l3到l1的角；(3)能否找到一點P，使得P點同時滿足下列三個條件：P是第一象限的點；P點到l1的距離是P點l2的距離的；P點到l1的距離與P到l3的距離之比是；若能，求P點坐標；若不能，說明理由.對應訓練 分階提升一、基礎(chǔ)夯實1.如果直線ax+2y+2=0與直線3x-y-2=0平行，那么系數(shù)a= ( )A.-3 B. 6 C.- D. 2.點(0，5)到直線y=2x的距離是 ( )A. B. C. D.3.已知直線2x+y-2=0和mx-y+1=0的夾角為，那么m值為( ) A.-或-3 B.或3 C.或3 D.或-34.若直線l1：

11、y=kx+k+2與l2：y=-2x+4交點在第一象限內(nèi)，則實數(shù)k的取值范圍是( )A. (-，+) B.(-，2) C.(- ，2) D.(-，- )(2，+)5.兩條直線A1x+B1y+C1=0，及A2x+B2y+C2=0垂直的充要條件是( )A. A1A2+B1B2=0 B.A1A2=B1B2 C.=-1 D. =16.如果直線ax-y+2=0與直線3x-y-b=0關(guān)于直線x-y=0對稱，那么，a、b值為( )A.a=，b=6 B. a=，b=-6 C. a=3，b=-2 D. a=3，b=67.過兩直線y=-x+和y=3x的交點，并與原點相距為1的直線有( )A. 0條 B. 2條 C.

12、 1條 D. 3條8.對0<|<的角，兩直線l1：x-y·sin=cos與l2：x·cos+y=1的交點為( )A.在單位圓上 B.在單位圓外 C在單位圓內(nèi)，但不是圓心 D.是單位圓的圓心9.已知A(-3，8)和B(2，2)，在x軸上有一點M，使得|AM|+|BM|最短，那么點M的坐標是( )A.(-1，0) B.(1，0) C.(，0) D.(0， )10.設直線l1：x·sin+y·+6=0， l2：x+y·=0，則直線l1與l2的位置關(guān)系是( )A.平行 B.垂直 C.平行或重合 D.相交但不垂直二、思維激活11.直線l1：2

13、x-5y+20=0，l2：mx-2y-10=0與兩坐標軸圍成的四邊形有外接圓，則實數(shù)m的值等于 .12.直線ax+4y-2=0與直線2x-5y+c=0垂直相交于點(1，m)，則a= c= m= . 13.兩條平行直線分別過點A(6，2)和B(-3，-1)，各自繞A，B旋轉(zhuǎn)，若這兩條平行線距離最大時，兩直線方程分別是 .14.p，q滿足2p-q+1=0，則直線px+2y+q=0必過定點 .三、能力提高15.已知直線l與點A(3，3)和B(5，2)的距離相等，且過兩直線l1：3x-y-1=0和l2：x+y-3=0的交點，求直線l的方程.16.直線l過點(1，0)，且被兩平行線3x+y-6=0和3x

14、+y+3=0所截得的線段長為9，求直線l的方程.17.求函數(shù)y=的最小值.18.已知點A(4，1)，B(0，4)，試在直線l：3x-y-1=0上找一點P，使|PA|-|PB|的絕對值最大，并求出這個最大值.例1 已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 試判斷直線BA與PQ的位置關(guān)系, 并證明你的結(jié)論.例2 已知四邊形ABCD的四個頂點分別為A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 試判斷四邊形ABCD的形狀,并給出證明. (借助計算機作圖, 通過觀察猜想: 四邊形ABCD是平行四邊形,再通過計算加以驗證)解同上.例3 已知A(-6,0)

15、, B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 試判斷直線AB與PQ的位置關(guān)系.例4已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 試判斷三角形ABC的形狀. 分析: 借助計算機作圖, 通過觀察猜想: 三角形ABC是直角三角形, 其中ABBC, 再通過計算加以驗證. 二、典例剖析 題型一 直線平行問題例1:下列說法中正確的有( )若兩條直線斜率相等,則兩直線平行.若l1l2,則k1=k2.若兩直線中有一條直線的斜率不存在,另一條直線的斜率存在,則兩直線相交.若兩條直線的斜率都不存在,則兩直線平行.規(guī)律技巧:判定兩條直線的位置關(guān)系時,一定要考慮特殊情況,如兩直線重合,斜率不存在等.一

16、般情況都成立,只有一種特殊情況不成立,則該命題就是假命題.變式訓練1:已知過點A(-2,m)和B(m,4)的直線與斜率為-2的直線平行,則m的值為( )A.-8 B.0 C.2 D.10 題型二 直線垂直問題例2:已知直線l1的斜率k1= ,直線l2經(jīng)過點A(3a,-2),B(0,a2+1),且l1l2,求實數(shù)a的值.變式訓練2:已知四點A(5,3),B(10,6),C(3,-4),D(-6,11).求證:ABCD.題型三 平行與垂直的綜合應用例3:已知長方形ABCD的三個頂點的坐標分別為A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四個頂點D的坐標.易錯探究例4:已知直線l1經(jīng)過點A(3,a

17、),B(a-2,3),直線l2經(jīng)過點C(2,3),D(-1,a-2),若l1l2,求a的值.類型四：兩直線平行與垂直5四邊形的頂點為，試判斷四邊形的形狀 【變式1】已知四邊形的頂點為，求證：四邊形為矩形【變式2】已知，三點，求點，使直線，且【變式3】若直線與直線互相垂直，則實數(shù)=_1.已知直線l過點(m,1)，(m1，tan1)，則 ()A一定是直線l的傾斜角 B一定不是直線l的傾斜角C不一定是直線l的傾斜角 D180°一定是直線l的傾斜角2如圖，直線l經(jīng)過二、三、四象限，l的傾斜角為，斜率為k，則 ()Aksin>0Bkcos>0 Cksin0Dkcos0題組二直線的斜

18、率及應用3.若一個直角三角形的三條邊所在直線的斜率分別為k1，k2，k3，且k1<k2<k3，則下列說法中一定正確的是()Ak1k21 Bk2k31 Ck1<0 Dk204已知a>0，若平面內(nèi)三點A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共線，則a_.5已知兩點A(1，5)，B(3，2)，若直線l的傾斜角是直線AB傾斜角的一半，則l的斜率是_題組三兩條直線的平行與垂直6已知兩條直線l1：axbyc0，直線l2：mxnyp0，則anbm是直線l1l2的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件7已知直線a2xy20與直線bx(a21)y10互相垂直，則|ab|的最小值為 ()A5 B