第7講-周期信號的傅立葉級數(shù)分解

1、 2/2/.cos).(2TTndttntfTadttntfTbTTn.sin).(22/2/1 2/2/0).(12TTdttfTa直流分量：一個周期內(nèi)的平均直流分量：一個周期內(nèi)的平均)sincos(2)(10tnbtnaatfnnn 12T x xy yT T 2 A A例例1:一周期矩形脈沖信號一周期矩形脈沖信號,高度為高度為A,周期周期T,其此信號的傅其此信號的傅立葉級數(shù)立葉級數(shù)解解:TAdttfTaTT 2/2/0)(12 2/2/cos)(2TTntdtntfTa 2/2/cos2 tdtnAT2/)2/sin(2 nnTA 2/2/sin)(2TTntdtntfTb=0)2/(2

2、 nsaTAx xy yT T 2 A AT 2 )cos)2(21()(1tnnSaTAtfn 三角形式：三角形式：例例2:一周期矩沖信號一周期矩沖信號,高度為高度為A,周期周期T,其此信號的傅立葉級數(shù)其此信號的傅立葉級數(shù) 5 . 0004/122tdta 5 . 00205 . 00)(ttttf5 . 00)cos(2T2dttntan bababavduuvudv分部積分分部積分 5 . 00)sin(4)sin(4dttnntnn25 . 002)(1)cos()sin()(4 nntnn 5 . 00)sin(2T2dttntbn nn )cos( x xy yT T 2 A AT

3、 2 三角形式：三角形式：)2/(2nsaTAansin(x)/x 取樣信號取樣信號(sample)2/(2nsaTAan)2/(2 nsaTA 2/2/cos)(2TTntdtntfTa結(jié)論：結(jié)論：(此結(jié)論具有一般性此結(jié)論具有一般性)1 收斂性收斂性:n增加增加,an,bn總體趨勢減小的?？傮w趨勢減小的。2 Gibbs現(xiàn)象：現(xiàn)象：n增加，間斷點的誤差還是很大增加，間斷點的誤差還是很大 二二 狄利赫利條件：狄利赫利條件：任意一周期信號只要滿足狄利赫利條件，可展開任意一周期信號只要滿足狄利赫利條件，可展開成正交函數(shù)線性組合的無窮級數(shù)：成正交函數(shù)線性組合的無窮級數(shù)： 狄利赫利條件：狄利赫利條件：在

4、一個周期內(nèi)只有有限個間斷點；在一個周期內(nèi)只有有限個間斷點；在一個周期內(nèi)有有限個極值點；在一個周期內(nèi)有有限個極值點；在一個周期內(nèi)函數(shù)絕對可積，即在一個周期內(nèi)函數(shù)絕對可積，即一般工程信號都可以滿足此條件一般工程信號都可以滿足此條件 dttfTtt. )(00tjnnnenAtf )()(三三 傅立葉級數(shù)的指數(shù)形式傅立葉級數(shù)的指數(shù)形式dtetfTATTtjnn 22)(1是是完完備備正正交交集集 ,2,1,0ntjne從信號分解求解系數(shù)從信號分解求解系數(shù): 2222*22*)(1)(TTtjnTTtjntjnTTtjnndtetfTdteedtetfA歐拉公式：歐拉公式： sincosjej )si

5、ncos(2)(10tnbtnaatfnnn T 2 歐拉公式：歐拉公式： sincosjej )sincos(2)(10tnbtnaatfnnn )22(210jeebeeaatjntjnntjntjnnn )22(210tjnnntjnnnnejbaejbaa ) 0()(21 njbaAnnn)(21nnnjbaA 2)0(0aA 三角系數(shù)和指數(shù)系數(shù)關(guān)系三角系數(shù)和指數(shù)系數(shù)關(guān)系:共軛共軛引入了負頻率引入了負頻率tjnnnenAtf )()(dtetfTATTtjnn 22)(1)sincos(2)(10tnbtnaatfnnn T 2 x xy yT T 2 A A例例1:一周期矩形脈沖信

6、號一周期矩形脈沖信號,高度為高度為A,周期周期T,其此信號的傅其此信號的傅立葉級數(shù)立葉級數(shù)解解:TAdttfTaTT 22012/)(na2/)2/sin(2 nnTA0nbx xy yT T 2 A AT 2 )cos)2(21()(1tnnSaTAtfn 三角形式：三角形式：信號合成信號合成tjnnnenSaTAtf )2()( 指數(shù)形式：指數(shù)形式：四四 函數(shù)奇偶與諧波分量的關(guān)系函數(shù)奇偶與諧波分量的關(guān)系x xy yT T 2 A A1 偶函數(shù)偶函數(shù) 只有直流和只有直流和 an相，相，bn=0思考：思考：f(t)為實偶函數(shù)，其指數(shù)形式傅立葉級數(shù)系數(shù)是什么數(shù)？為實偶函數(shù)，其指數(shù)形式傅立葉級數(shù)系

7、數(shù)是什么數(shù)？TtnnnTAtfn 2),cos2/)2/sin(21()(1 2 奇函數(shù)奇函數(shù) 只有只有bn,直流和直流和an為零為零E/2-E/2T1/2-T1/2f(t)T 0.)3sin312sin21(sin)(111tttEtf思考：思考：f(t)為實奇函數(shù)，其指數(shù)形式傅立葉級數(shù)系數(shù)是什么數(shù)？為實奇函數(shù)，其指數(shù)形式傅立葉級數(shù)系數(shù)是什么數(shù)？T1/2-T1/20t)2()(1Ttftf 3 奇諧函數(shù)奇諧函數(shù) ：01212 kkbaT1/2-T1/20t)2()(1Ttftf 實質(zhì)：實質(zhì)：T=T1/2,=2 1偶函數(shù)偶函數(shù)偶，奇諧函數(shù)偶，奇諧函數(shù)奇，奇諧函數(shù)奇，奇諧函數(shù)x xy yT/4T/40 0-T/4-T/4A Ax xy yT/4T/40 0-T/4-T/4A Ax xy yT/4T/40 0-T/4-T/4A AA 直流、正弦及余弦項直流、正弦及余弦項 B 只有直流、正弦項只有直流、正弦項 C 只有直流、只有直流、 余弦項余弦項 D 只有直流、奇次余弦項只有直流、奇次余弦項E 只有直流、奇次正弦項只有直流、奇次正弦項 -31-11t235例：如圖所示的信號中，含有諧波分量為例：如圖所示的信號