基本不等式完整版(非常全面)

1、基本不等式專題輔導(dǎo)、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1、基本不等式原始形式（1）若 a,b R，則 a2 b2 _2ab2亠2（2）若 a,b R，則 ab 冬？22、基本不等式一般形式（均值不等式）若 a,b R*，則 a b _2 ab3、基本不等式的兩個(gè)重要變形（1）若 a,b R*，則 S ab2（2）若 a,b R*，則 ab 空 口I 2丿總結(jié)：當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，它們的和有最小值;6、柯西不等式(1 )若 a,b,c,d R，則(a2 b2(c2 d2) 一(ac bd )2(2) 若 a1,a2,a3,b1,b2,b R，則有：2 2 2 2 2 2 2 (da?a3 )(柑b2b3 ) _ (

2、a a?b2 asb?)(3) 設(shè)a1,a2,，a*與b1,b2,bn是兩組實(shí)數(shù)，則有2 2 2 2 2 2 2 (印 a2 亠 亠a. )(b b 亠 亠 h ) _(aib, - a2p 亠 亠and)二、題型分析題型一：利用基本不等式證明不等式1、設(shè)a,b均為正數(shù)，證明不等式：. ab二 一X1a b當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，它們的積有最小值;特別說明：以上不等式中，當(dāng)且僅當(dāng)a二b時(shí)取=”4、求最值的條件：“一正，二定，三相等”5、常用結(jié)論1(1) 若x 0，則x 2 (當(dāng)且僅當(dāng)x =1時(shí)取“=”)x1(2) 若x：0,則x2 (當(dāng)且僅當(dāng)x - -1時(shí)取“=”)x(3) 若ab 0 ,則_

3、 b _2 (當(dāng)且僅當(dāng)a二b時(shí)取“=”)b a(4) 若 a,b R，則 ab _()2 _a b22(5) 若 a,b R*，則 ab_ ab"!+12V 2a b特別說明：以上不等式中，當(dāng)且僅當(dāng)a二b時(shí)取=2、已知a,b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：a2 b2 c2ab bc ca2 2 2 13、已知a b 1，求證：a b c -34、已知a,b, R ，且a b 1 ，求證：(1_a)(1 _b)(1 _c) _8a b c5、已知a,b, R ,且a b c =1 ,求證4 丄 1 1 1一 8a b c6、（ 2013年新課 標(biāo)H卷數(shù)學(xué)（理）選修4 5:不等式選 講設(shè)a

4、,b,c均為正數(shù),且a b c = 1,證明：1(i) ab be ca 乞；(32 . 2 2n)a_+L+£_ 汀b c a題型二：利用不等式求函數(shù)值域1、求下列函數(shù)的值域2 1（1） y =3x 2（2） y = x（4 - x）2x21(3) y = x (x 0) x7、（ 2013年江蘇卷（數(shù)學(xué)） 選修4 5 :不等式選講已知 a -b 0，求證:2a3 b3 _ 2ab2 -a2b題型三：利用不等式求最值（一）（湊項(xiàng)）41、已知x 2，求函數(shù)y = 2x -4的最小值;2x 4變式1 :已知x 2，求函數(shù)八冇的最小值;變式1：當(dāng)Ls： 時(shí)，求y =4x（82x）的最大值

5、;變式1 :已知x 2，求函數(shù)八冇的最小值;變式1 :已知x 2，求函數(shù)八冇的最小值;變式2：已知X ： 2，求函數(shù)=2x42x -4的最大值;變式1 :已知x 2，求函數(shù)八冇的最小值;變式1 :已知x 2，求函數(shù)八冇的最小值;y = 4x(3 - 2x)的最大值。3變式2：設(shè)0 ：: X ,求函數(shù)2變式1 :已知x 2，求函數(shù)八冇的最小值;變式1 :已知x 2，求函數(shù)八冇的最小值;2、若 0 ： x ： 2，求 y = . x（6 - 3x）的最大值;5A練習(xí)：1、已知x ,求函數(shù)y =4x -2 - 的最小值;44x -5變式1 :已知x 2，求函數(shù)八冇的最小值;變式1 :已知x 2，求函

6、數(shù)八冇的最小值;2、已知x，求函數(shù) y =4x_2 1 的最大值;44x5變式1 :已知x 2，求函數(shù)八冇的最小值;變式1 :已知x 2，求函數(shù)八冇的最小值;變式：若0 ： x ： 4，求y =：Jx（8 - 2x）的最大值;變式1 :已知x 2，求函數(shù)八冇的最小值;變式1 :已知x 2，求函數(shù)八冇的最小值;題型四：利用不等式求最值（二）（湊系數(shù)）1、當(dāng)L/時(shí)，求y =x（8 -2x）的最大值;3、求函數(shù) y = 2X-1 +臂5 2x（ £ x龍'）的最大值;2 2變式1 :已知x 2，求函數(shù)八冇的最小值;（提示：平方，利用基本不等式）1 1變式1:已知a,b .0, a

7、2b = 2，求t=-的最小值;a b變式：求函數(shù)yx_3一乂弓”專）的最大值;2 8變式2：已知x, y 0,1，求xy的最小值;x y1 1變式3：已知x, y 0，且9，求x y的最小值。x y19變式4：已知x, y 0 ,且=4，求x y的最小值;x y題型五：巧用“1”的代換求最值問題1 11、已知a, b 0, a 21，求t的最小值;a b法一：變式5:1 1(1) 若x, y . 0且2xy=1，求 的最小值；x y(2) 若a,b,x, y R 且a=i,求 x y 的最小值;x y變式:求函數(shù)y =.(x -1)的值域;2、求函數(shù)y匚2的最大值；(提示：換元法)2x +

8、5變式6：已知正項(xiàng)等比數(shù)列 滿足：a? = a6 2a5，若14存在兩項(xiàng)am,an，使得.aman =4a1，求的最小值;m nt' x +1變式：求函數(shù)“刁的最大值;題型六：分離換元法求最值(了解)2x2 +7x +101、求函數(shù)y(x = -1)的值域;x +1題型七：基本不等式的綜合應(yīng)用1、已知log2 a log2 b -1，求3a 9b的最小值2、（2009天津）已知a,b .0,求11 .2 ab的最小值;a b變式1：已知a,b 0 ,滿足a a b 3，求ab范圍;變式1： （2010四川）如果a - b 0 ,求關(guān)于a,b的表達(dá)2 1 1式a的最小值；ab a（a -

9、b）變式2： （ 2010山東）已知x, y . 0，求xy最大值；（提示：通分或三角換元）變式 3： （2011 浙江）已知 x, y 0， x2 y2 x1，求xy最大值；變式2：（ 2012湖北武漢診斷）已知，當(dāng) a .0, a = 1時(shí)， 函數(shù)y =loga（x-1） V的圖像恒過定點(diǎn) A，若點(diǎn)A在直 線mx - y n =0上，求4m - 2n的最小值；3、已知 x, y 0， x 2y 2xy =8，求 x 2y 最小值;4、（ 2013年山東（理）設(shè)正實(shí)數(shù)x, y, z滿足x23xy 4y2z = 0,則當(dāng)翌取得最大值z(mì)» 21 2，+時(shí)，的最大值為（）x y z911

10、n2、已知x . y . z . 0且恒成立,X_y y_z X_Z如果N ，求n的最大值；（參考：4）（提示：分離參數(shù)，換元法）A . 0 B. 1 C.- D 34（提示：代入換元，利用基本不等式以及函數(shù)求最值）992變式：設(shè)x, y, z是正數(shù)，滿足x_2y，3z=0，求y的XZ最小值；9914變式：已知a,b 0滿則=2，若a b _c恒成立,a b求c的取值范圍；99題型八：利用基本不等式求參數(shù)范圍1 a1、（ 2012沈陽檢測）已知x, y0,且（x y）（） _9x y題型九：利用柯西不等式求最值1、二維柯西不等式99恒成立，求正實(shí)數(shù) a的最小值;此時(shí)a b(a, b, c, d

11、 - R,當(dāng)且僅當(dāng)；即ad =bc時(shí)等號(hào)成立)c d若 a,b,c,d R，則(a2 b2)(c2 d2) _(ac bd)22、二維形式的柯西不等式的變式Ja2 +b2 ”*：c2 +d2 > ac +bda b(a,b, c, d R,當(dāng)且僅當(dāng)；即ad二be時(shí)等號(hào)成立)c d(2) . a2 b2 . c2 d2 亠 ac| "|bda b(a,b,c, d R,當(dāng)且僅當(dāng)；即ad二be時(shí)等號(hào)成立)c d(3) (a b)(c d) _ ( . ac . bd )2a b(a, b, c, d -0,當(dāng)且僅當(dāng)；即ad =bc時(shí)等號(hào)成立)c d3、二維形式的柯西不等式的向量形式

12、a P < a P(當(dāng)且僅當(dāng)卞-0,或存在實(shí)數(shù)k,使a =k時(shí),等號(hào)成立)4、三維柯西不等式若 ci,a2,a3,ti,b2,b R，則有：佝2 a22 a32)(1b12 b22 Q2) - (a1b1 azb? aA)2(ai,bR,當(dāng)且僅當(dāng)業(yè)=魚=魚時(shí)等號(hào)成立)bib2b35、一般n維柯西不等式設(shè)dQ,an與d©, ,bn是兩組實(shí)數(shù)，則有:(a,bR,當(dāng)且僅當(dāng)色二蘭二色時(shí)等號(hào)成立)b b2bn題型分析題型一：利用柯西不等式一般形式求最值1、設(shè) x, y,z 二 R，若 x2 y24，則 x-2y 2z 的最小值為時(shí)，(x, y, z)=析：(x -2y 2z)2 乞(x2

13、 y2 z2)12 (2)2 22=4 9 = 36 x2y - 2z最小值為一6x y z-6- 21-221(-2)23-24-4xP，"3，zP2、設(shè) x, y, z R , 2x - y - 2z = 6，求 x2 y2 z2 的最 小值m，并求此時(shí)x, y,z之值。A424Ans : m =4;(x,y,z) =(- J3 333、設(shè) x, y,z R , 2x 3y z = 3，求 x2 (y 1)2 z2之最小值為 ，此時(shí) y =(析:2x _3y z = 3= 2x _3(y _1) z = 0 )(a12 +a22 4 an2) (b2 +b22 +bn2)蘭佝b +a2b2 +anh)24、（201