高復(fù)數(shù)學(xué)數(shù)列等差數(shù)列等差數(shù)列前n項(xiàng)和

1、第四章第四章 數(shù)列（一）數(shù)列（一）講師：胡燕芳講師：胡燕芳課堂紀(jì)律：課堂紀(jì)律：1. 手機(jī)關(guān)機(jī)或者調(diào)成靜音手機(jī)關(guān)機(jī)或者調(diào)成靜音 2. 準(zhǔn)備好草稿紙準(zhǔn)備好草稿紙3.課前課前10分鐘，自覺看課本上節(jié)內(nèi)容及本分鐘，自覺看課本上節(jié)內(nèi)容及本 節(jié)課知識(shí)點(diǎn)節(jié)課知識(shí)點(diǎn) 4.有問題請(qǐng)舉手發(fā)言有問題請(qǐng)舉手發(fā)言等等 差差 數(shù)數(shù) 列列1 .數(shù)列：按一定的次序排成的一列數(shù)叫做數(shù)列數(shù)列。2.寫出下列數(shù)列的通項(xiàng)公式：（1）2，4，6，8（2）1，4，9，16，25，36 an=2nan=n2觀察與思考 ：下面的幾個(gè)數(shù)列相鄰兩項(xiàng)有什么共同點(diǎn)：(1) 5，5，5，5，5，5，(2) 4，5，6，7，8，9，10.(3) 2，0，

2、-2，-4，-6，定義：如果一個(gè)數(shù)列從第定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的 差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。等差數(shù)列。這個(gè)這個(gè)常數(shù)常數(shù)叫做叫做等差數(shù)列等差數(shù)列的的公差公差，公差公差通常用字母通常用字母d d表示。表示。公差公差 d=0公差公差 d=1 公差公差 d= -2練習(xí)1：判斷下列數(shù)列是否是等差數(shù)列判斷下列數(shù)列是否是等差數(shù)列? ? 如果是等差數(shù)列，說出公差是多少如果是等差數(shù)列，說出公差是多少? ?（1）1，2，4，6，8（2）2，4，6，8（3）1，-1，1，-1（4 4）0, 0, 0, 0,0, 0,

3、 0, 0,（5）1，1/2，1/3，1/4（6）-5，-4，-3（7） 1， 2，4，7，11（不是不是）（ 是是 ）d=2 （不是不是）（ 是是 ）d=0 （ 是是 ） （不是不是）（ 是是 ）d=1 （不是不是）練習(xí)練習(xí)2：填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，組成等差數(shù)列填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，組成等差數(shù)列（1） 1，0 , ，-2（2）_，2，4（3）_,3 ,5 ,_（4）1 ,_, 3-10171問題：如果在問題：如果在a與與b中間插入一個(gè)數(shù)中間插入一個(gè)數(shù)A，使，使a ，A，b 成等差數(shù)列數(shù)列，那么成等差數(shù)列數(shù)列，那么A應(yīng)滿足什么條件？應(yīng)滿足什么條件？ 由三個(gè)數(shù)由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可組成的等差數(shù)列可以

4、看成最簡單的等差數(shù)列，這時(shí)，以看成最簡單的等差數(shù)列，這時(shí)，A叫做叫做a與與b的的等差中項(xiàng)等差中項(xiàng).成等差數(shù)列，bAa)2(2AbabaA或A是是a與與b的等差中項(xiàng)的等差中項(xiàng).數(shù)列：數(shù)列：1，3，5，7，9，11，135是是3和和7的等差中項(xiàng)，的等差中項(xiàng)，1和和9的等差中項(xiàng)；的等差中項(xiàng)；9是是7和和11的等差中項(xiàng)，的等差中項(xiàng)，5和和13的等差中項(xiàng)的等差中項(xiàng). 不難發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)等差數(shù)列中，從第不難發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外）項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng).通項(xiàng)公式的推導(dǎo)通項(xiàng)公式的推導(dǎo)daa12d

5、addadaa3)2(1134daddadaa4)3(1145dnaan) 1(1因?yàn)?是等差數(shù)列，它的公差為d.所以有 na解：由此可知由此可知12ad32aad1()add=已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列 的首項(xiàng)是的首項(xiàng)是 ,公差是公差是 . 寫出寫出 、 ,并試著推導(dǎo)出并試著推導(dǎo)出 . na1adna3a2a當(dāng) 時(shí)，等式兩邊都等于 ， 公式成立。nN 1a1n 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d例題例題,20,385,81nda49)3()120(820 adnaan) 1(1（1）求等差數(shù)列）求等差數(shù)列8，5，2，的第的第20項(xiàng)。項(xiàng)。解：解：因此，因此，)4() 1(5401n解得解

6、得100n答：這個(gè)數(shù)列的第答：這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng)是項(xiàng)是-401.dnaan) 1(1（2） 401是不是是不是等差數(shù)列等差數(shù)列 -5，-9，-13，的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？解：解：,401, 4) 5(9, 51nada例題例題等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 a an n = a = a1 1+(n-1)d +(n-1)d 中中 ，a an n , a , a1 1 , n ,d , n ,d 這四個(gè)變量這四個(gè)變量 ， 知道其中三個(gè)知道其中三個(gè)量就可以求余下的一個(gè)量就可以求余下的一個(gè) 量量. .總結(jié)：總結(jié)：51410aad1211131aad解得解得12a 3d

7、 解：解：na51210,31aa 在等差數(shù)列在等差數(shù)列 中，中， , 求求 首項(xiàng)首項(xiàng) 與公差與公差 . 1ad例題例題1. 求等差數(shù)列求等差數(shù)列2，9，16，的第的第10項(xiàng)；項(xiàng)；2. 求等差數(shù)列求等差數(shù)列0，-7/2，-7的第的第n項(xiàng)；項(xiàng)；例題例題a10=2+(10-1)7=652727)27(*) 1(0nnan ，3、在等差數(shù)列、在等差數(shù)列 中，已知中，已知na76a 40a , 1a d ，6-2求：求： （1）（2）na ；（3）10是不是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)？是不是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是說明如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是說明理由。理由。-2n+84、等差數(shù)列、等差數(shù)列1，

8、-1，-3，-5 ，-89，它的它的項(xiàng)數(shù)是項(xiàng)數(shù)是5、在等差數(shù)列在等差數(shù)列 中中,2645,6,aaa 則則1a na-8466、等差數(shù)列、等差數(shù)列 中，中，nak 4113,9kaa aa則則 13 1、等差數(shù)列的概念、等差數(shù)列的概念：2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：或或 a an n , a , a1 1 , n ,d , n ,d 這四個(gè)變量這四個(gè)變量 ， 知道其中三知道其中三個(gè)量就可以求余下的一個(gè)個(gè)量就可以求余下的一個(gè) 量量. .小結(jié)：小結(jié)：an=a1+(n-1)dan-an-1=d (d2,nN*)an+1-an=d (nN*)等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和1.1

9、.等差數(shù)列的內(nèi)涵特征是什么？等差數(shù)列的內(nèi)涵特征是什么？ 如何用如何用遞推公式描述？遞推公式描述？從第從第2 2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)于同一個(gè)常數(shù)常數(shù). .或或an-1an+12 an( (n2).2).an-an-1=d (d2,nN*)思考：思考：200200多年前，高斯的算術(shù)老師提出多年前，高斯的算術(shù)老師提出了下面的問題：了下面的問題： 1 12 23 3100100？據(jù)說高斯很快就算出了正確答案據(jù)說高斯很快就算出了正確答案, ,你知道你知道他是如何計(jì)算的嗎他是如何計(jì)算的嗎? ?(1(1100)100)(2(299)99)(50(5051)51

10、)10110150505050.5050.思考：思考：高斯的算法實(shí)際上解決了求等差高斯的算法實(shí)際上解決了求等差數(shù)列數(shù)列1 1，2 2，3 3，n n，前前100100項(xiàng)的和的項(xiàng)的和的問題，利用這個(gè)算法，問題，利用這個(gè)算法，1 12 23 3n n等于什么？等于什么？2) 1( nn思考：思考：上述算法叫做上述算法叫做倒序相加法倒序相加法. .一般地，一般地，設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n，即即 ，利用，利用倒序相加法如何求倒序相加法如何求S Sn n？所得結(jié)果如何？所得結(jié)果如何？nnaaaS.212)(1nnaanS思考：思考： 就是等差數(shù)列就是等差數(shù)列

11、的前的前n n項(xiàng)和公式，用文字語言如何表述這項(xiàng)和公式，用文字語言如何表述這個(gè)公式？個(gè)公式？等差數(shù)列前等差數(shù)列前n n項(xiàng)和等于項(xiàng)和等于首項(xiàng)首項(xiàng)與與末項(xiàng)末項(xiàng)的和的的和的一半一半與與項(xiàng)數(shù)的積項(xiàng)數(shù)的積. .2)(1nnaanS推導(dǎo)：推導(dǎo)：2)(1nnaanSan=a1+(n-1)d2) 1(2)(11dnnnaaanSnn結(jié)論：結(jié)論：an與與Sn之間的關(guān)系：之間的關(guān)系：an=Sn-Sn-1 (n2)an=S1 (n=2)例例1 1 在等差數(shù)列在等差數(shù)列 an 中，中，已知已知a3+a5=40 ，求求S7.140240*72)(7717aaS 例例: : 已知一個(gè)等差數(shù)列已知一個(gè)等差數(shù)列aan n 的前

12、的前1010項(xiàng)項(xiàng)的和是的和是310310，前，前2020項(xiàng)的和是項(xiàng)的和是12201220，求這，求這個(gè)等差數(shù)列的前個(gè)等差數(shù)列的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和. .Sn=3n2+n練習(xí)：練習(xí)：1. 數(shù)列 的通項(xiàng)公式是 ；2. 數(shù)列 的通項(xiàng)公式是 ；,.111,91,71,51,31, 1.729124318112719131，121nannna313.已知數(shù)列已知數(shù)列an是等差數(shù)列，是等差數(shù)列，a3=2，a6=11，求：，求： (1)該等差數(shù)列的公差該等差數(shù)列的公差d； (2)該等差數(shù)列的通向公式該等差數(shù)列的通向公式an及及a10的值；的值； (3)該等差數(shù)列的前該等差數(shù)列的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn及及S5.d=3 ；an=3n-7 ，a10=23； S5=10