廣義集合論和泛有序?qū)φ摰囊恍┞?lián)系和區(qū)別

1、廣義集合論和泛有序?qū)φ摰囊恍┞?lián)系和區(qū)別 馮向軍2006/1/21感謝張學(xué)文老先生給我一個寶貴的機(jī)會，讓我有可能把一些根本性的問題向廣大奇跡讀者和作者講清楚。這些問題以前零零散散向張老個人交代過。但不系統(tǒng)，不全面?，F(xiàn)在我把這些議題概括為一個總標(biāo)題，那就是<<廣義集合論和泛有序?qū)φ摰囊恍┞?lián)系和區(qū)別>>我從今天起，就開講這一專題，我保證將對張老的三個問題在學(xué)術(shù)上作出自己的回答。我將不占用新的文章版面，只在此地不斷補(bǔ)充完善我的論點，除非在必要時對提問作一次總回答。(一)什么是張學(xué)文廣義集合(2003年正式發(fā)表)1？什么是基本型的馮向軍泛有序?qū)?2005以電子公告EB形式發(fā)表)2

2、？什么是擴(kuò)展型的馮向軍泛有序?qū)Γ?.1什么是 張學(xué)文廣義集合？按<<組成論>>的定義"有了個體概念（地位相同）和標(biāo)志概念（每個個體都有確定值但各個個體可以不同），很容易引入廣義集合概念。一個集體（客觀事物、研究對象、系統(tǒng)、體系、總體）如果1. 可以分成多個（>0）地位相同的個體（成員、粒子）；2. 就一定（可能多個）標(biāo)志而言，每個個體都有唯一的標(biāo)志值；這個集體稱為廣義集合。"1.2 廣義集合的個體概念和標(biāo)志概念張學(xué)文先生在<<組成論>>中說“我們把總體（客觀事物、研究對象、體系、系

3、統(tǒng)）從某個角度（側(cè)面）分成若干個地位（身份、形態(tài)、特性）相同的部分，其每個部分都稱為個體。廣義集合概念中強(qiáng)調(diào)了個體的個數(shù)，也就認(rèn)為廣義集合內(nèi)的個體個數(shù)就是正整數(shù)。如果研究的是有限的客觀事物組成的廣義集合，那么它包含的個體的總個數(shù)N應(yīng)當(dāng)是個有限值（不是無限大）。即我們通常把問題看作離散問題（數(shù)字化）。以后常用N表示廣義集合內(nèi)的個體總量。標(biāo)志是對總體（如學(xué)生們）內(nèi)的每個個體都具有的某個側(cè)面、特征、指標(biāo)（如身高）的描述。300萬學(xué)生（以后稱為廣義集合）參加高考，我們把語文成績視為標(biāo)志（描述了考生的一個側(cè)面）。而每個個體（考生）就某某標(biāo)志的具體取值（就語文成績而言得了85分）稱為標(biāo)志值。每個考生的成績

4、可能不相等，這說明標(biāo)志值有能力描述各個個體之間的差異性。標(biāo)志的“值”稱為標(biāo)志值，也可以把標(biāo)志統(tǒng)稱為標(biāo)志變量而把標(biāo)志值看成是變量的取值。標(biāo)志可以是有單位（量剛）的數(shù)值變量例如攝氏溫度、長度米等連續(xù)變量（在概率論中稱為隨機(jī)變量）也可以是不能直接用數(shù)表示的字符串（計算機(jī)編程語言）變量，如在人的血型的標(biāo)志僅取離散的A，B，O，AB 這四個（血型）標(biāo)志值就是。如果一個廣義集合的標(biāo)志是有量剛的數(shù)值變量，那么廣義集合內(nèi)的所有的個體的量剛和單位應(yīng)當(dāng)是相同的。例如，不能一個個體是個體（學(xué)生）的身高1.6米，而另一個是個體（學(xué)生）的體重36千克；單位相同就是不同的個體要用相同的單位去計量它的標(biāo)志值。如果

5、一個廣義集合的標(biāo)志僅能用字符（字符串）表示時沒有上面這些約束，但是它要求一個廣義集合內(nèi)的各個個體同“種”而標(biāo)志值不同“屬”。這里的“種”和“屬”是借用生物分類中的語言，種的地位高，而屬則低一級（在電腦語言中“種”類似于目錄而“屬”類似于子目錄）。它們的含義是一個廣義集合內(nèi)的所有個體要同“種”而各個不同的標(biāo)志值表示的是不同的“屬”。例如把很多個水果看成一個廣義集合時，每個個體都是“水果”（同種），而標(biāo)志值僅可能是 “蘋果”或者“桃子”等等這些水果的“屬”（不同類別）。對于數(shù)值變量還有連續(xù)與離散之分。數(shù)學(xué)中已經(jīng)有了一些離散變量與連續(xù)變量互相變換的技術(shù)，在必要時也都可以利用。但是這里的概念

6、介紹以離散變量為主線?！?.3 什么樣的東西不能用張學(xué)文廣義集合來描述？很簡單，如果一個整體，不完全可分割為“地位相等”的個體，那么這個整體就不能完全用張學(xué)文廣義集合來描述。例如:人的是什么？可將人分割為“地位相等”的“個體”嗎？ 例如可分解為純精神 和純?nèi)怏w嗎？大家把一種純?nèi)怏w和一種純精神機(jī)械組合起來看看，看看是不是會造出一個活人來？一切不能明確分割成“地位相等”的“個體”的存在，都不能完全被張學(xué)文廣義集合所描述。誠如張學(xué)文先生所言：“ 廣義集合是描述客觀事物的一個通用簡化模型，它是描述客觀事物的組成問題的一副很合適的有色眼鏡：它排斥了客觀事物中某些更

7、復(fù)雜的問題，但是也突出了客觀事物中某些基本問題。”提出泛有序?qū)φ摰哪康恼菫榱藷o限逼近客觀世界的真實而復(fù)雜的情況。所以泛有序?qū)φ撎幪庴w現(xiàn)了與張學(xué)文廣義集合論的聯(lián)系性和互補(bǔ)性。1.4 什么是泛有序?qū)Χx 無條件等價對于任意給定的存在E1、E2，如果 在任何條件下， E1包含E2；E2包含E1， 那么稱存在 E1和E2無條件等價，并將這種無條件等價關(guān)系記為：E1 = E2定義 條件互內(nèi)對于任意給定的存在E1、E2，如果在條件C1下有 E1包含E2，而在不同的條件C2下又有E2包含E1， 那

8、么稱 E1和E2條件互內(nèi)，并將這種條件互內(nèi)記成E1<-> E2定義 泛有序?qū)Ψ河行驅(qū)κ且怀橄蠼Y(jié)構(gòu)(A，B)，對于這種抽象結(jié)構(gòu)定義了無條件等價關(guān)系：(A，B) = (C， D)， 當(dāng)且僅當(dāng)有無條件等價關(guān)系A(chǔ) = C， B = D。 其中 A，B，C，D為給定的存在。有的學(xué)者可能會問數(shù)學(xué)中已有有序?qū)Φ母拍?，為什么還要定義泛有序?qū)δ?？那是因為?shù)學(xué)中的有序?qū)λx的等價關(guān)系是(a, b) =(c, d),當(dāng)且僅當(dāng)數(shù) 學(xué)符號

9、 a=c, b=d。例如(1，2)=(1，2)；(1，2)不等于(3，4)。但是對于帶能指意指所指的符號學(xué)符號，上述等價關(guān)系就不一定成立 了。例如(教授，研究員) 不一定等于(教授，研究員)。那是因為教授可能是指張教授也可能是指李教授。所以嚴(yán)格定義的泛有序?qū)Φ拇_是對數(shù)學(xué)有序?qū)Φ目茖W(xué)推廣。這種推廣引發(fā)出一系列新的有嚴(yán)格定義的概念和一些新方法。要把我所知道的泛有序?qū)Φ膴W妙全部講清楚，那絕對不是三天三夜可以講得完的。我現(xiàn)在只準(zhǔn)備圍繞與廣義集合的聯(lián)系來對泛有序?qū)ψ饕粋€簡介。1.5 泛有序?qū)Φ慕M成 -嚴(yán)格的數(shù)學(xué)論證證明： 泛有序?qū)τ蓮垖W(xué)文廣義集

10、合與非張學(xué)文廣義集合組成直接從泛有序?qū)Φ亩x出發(fā)，用枚舉法可以證明泛有序?qū)τ蓮垖W(xué)文廣義集合與非張學(xué)文廣義集合組成，或者說由個體構(gòu)成的集合和非個體組成的存在而構(gòu)成。一般而言，泛有序?qū)ν瑫r包含系統(tǒng)現(xiàn)象和非系統(tǒng)現(xiàn)象。對于泛有序?qū)?A，B)有：(A，B) = f1(A) + f2(B) + f3(A, B)此地+為并操作；f1(A)是只與A有關(guān)的函數(shù)；f2(B)是只與B有關(guān)的函數(shù)；f3(A,B)是同時與A和B有關(guān)的函數(shù)，而這種函數(shù)不能簡化為f1(A) + f2(B)。f1(A)+f2(B)的擴(kuò)展形式包含了張學(xué)文廣

11、義集合的全部“地位相等”的個體，而f3(A，B)包含的是非個體。例如人有一部分，這一部分是非常重要的一部分，它非手，非腳，非眼、非耳、非鼻、非舌、非身、非純意識?？傊?，它是非個體。假如f3(A，B) = 空那么(A，B) 是非系統(tǒng)現(xiàn)象;假如f3(A，B) <> 空那么(A，B)包含系統(tǒng)現(xiàn)象；假如f3(A，B) <> 空且f1(A) + f2(B) <>空那么(A，B)既包含系統(tǒng)現(xiàn)象又包含非系統(tǒng)現(xiàn)象。于是泛有序?qū)?A，B)一般而言就同時包含非系統(tǒng)現(xiàn)象和系統(tǒng)現(xiàn)象。

12、由于泛有序?qū)哂猩鲜鋈N基本性質(zhì)，所以泛有序?qū)σ舶瑮l件，并且面向條件。多維向量組可由帶根本性的泛有序?qū)ε缮Ｆ鋵嵰耆龅浇^對的非系統(tǒng)性是很難的為什么？這是因為多因子的可區(qū)分性使得整體的復(fù)雜度和香儂信息都非線性地增長。不過在一定條件下可以不考慮某些非直接的聯(lián)系。1.6 張學(xué)文廣義集合多項式張學(xué)文先生在組成論中寫到：廣義集合（如A）有如下符號化規(guī)則：如果一個廣義集合的各個標(biāo)志值表示為 x1，x2 ，x3 ，xi ，xk而各個標(biāo)志值對應(yīng)的個體數(shù)量如果是 n1，n2 ，n3 ，ni ，nk則廣義集合A(x)&

13、#160;寫成A(x)=n1x1+ n2x2+ n3x3+ nixi+ nxk （6.1）我們把（6.1）式的右側(cè)稱為廣義集合多項式，把nixi稱為項（借用代數(shù)語言）。n也稱為標(biāo)志值系數(shù)或者簡稱為系數(shù)。這是廣義集合的簡練的表示法。要說明的是：這種符號表示法中廣義集合本身用大寫、粗體、斜體英文字母表示。大寫、斜體是照顧了原集合符號的習(xí)慣，而粗體是它與集合的區(qū)別，粗體也照顧了數(shù)學(xué)中對矢量的表示常常用粗體的習(xí)慣。大寫廣義集合代表符號后面跟著的圓括號內(nèi)的符號代表標(biāo)志值的通稱，在意義明確時，或者不便表達(dá)時也可以略去；花括弧符號是從“集合”的習(xí)慣，用以表示

14、它不是一般的多項式；各個個體的標(biāo)志值用斜體xi表示，它的身份并不是數(shù)學(xué)上的數(shù)，而是有特定含義的字符串，一般而言它是含有單位的。要特別注意它與前面的系數(shù)的關(guān)系不是數(shù)學(xué)中的乘法關(guān)系，僅僅表示標(biāo)志值為xi 的個體有ni個。既便它是數(shù)值變量，在當(dāng)前意義下也不是說它可以與系數(shù)做乘法（與多項式不同）。如用x表示標(biāo)志值為“10歲”（的學(xué)生）時，15x，僅表示10歲的學(xué)生有15人，而不表示有150歲的學(xué)生。個體的數(shù)量用n表示，它隱含的單位一般是“個”。在特殊情況下，由于個體的數(shù)量太多，它也可以是例如1000個、106個、摩爾數(shù)（用于化學(xué)或者物理學(xué)中，1摩爾=6.022 1023個）等等；符

15、號和+號顯然是從代數(shù)學(xué)中借來的，用以表示多個類似的對象的“+”。此處的+號僅表示“并且有”“加上”或者說“以及”的意思。以上討論表明廣義集合可以表述為一個“廣義集合多項式”。如果不同的標(biāo)志值有k個，它就有k項，每項由標(biāo)志值和它前面的一個正整數(shù)組成。各個項之間用“+”號相聯(lián)以表示它們是“并且有”或者“以及”的關(guān)系。1.7 泛有序?qū)Φ臄U(kuò)展形式：泛矩陣 、高維向量等以下是一些直接從泛有序?qū)Ω拍畛霭l(fā)通過純數(shù)學(xué)推理而派的概念。(a) n-維行泛有序組在泛有序?qū)?A12，A3) 中，令 存在A12=(A1，A2)為定義好的泛有序?qū)?，就?A1，A2)，A3

16、) 定義著無條件等價關(guān)系(A1，A2)，A3) =(B1，B2)，B3)，當(dāng)且僅當(dāng)A1 = B1；A2 = B2；A3 = B3. 我們稱 (A12，A3) 為3-維行泛有序組，并記為(A1，A2，A3)。同理， 假設(shè)我們定義好了n-1維行泛有序組A123.n-1 = (A1，A2，.An)，那么泛有序?qū)?A123.n-1，An) 就構(gòu)成具有無條件等價關(guān)系的n-維行泛有序組：(A1，A2，.An)其中 A1，A2，.,An 為

17、任意給定的存在。于是按數(shù)學(xué)歸納法n-維行泛有序組：(A1，A2，.An) 對任意給定的正整數(shù)n均有定義。又稱n-維行泛有序組為n-維行廣義向量。(b)n-維列泛有序組n-維列泛有序組：(A1，A2，.An)T 是n-維行泛有序組的轉(zhuǎn)置。又稱n-維列泛有序組為n-維列廣義向量。我們又稱n-維行泛有序組或n-維列泛有序組為維數(shù)為n的高維向量，它與傳統(tǒng)數(shù)組的區(qū)別是高維向量的分量之間存在相互聯(lián)系和相互作用。(c)泛矩陣泛矩陣M為 m維行泛有序組M=(C1，C2，.,Cm)其中存在 Ci 為n-維列泛有序組。稱M為 n x 

18、m 泛矩陣。(d)廣義標(biāo)量定義任意給定的存在為廣義標(biāo)量。(e)廣義向量對于任意廣義標(biāo)量S，考慮其存在的條件為C，那么便定義泛有序?qū)?S，C) 為廣義向量V。 稱S為向量存在，而稱C為廣義方向。廣義向量V一旦定義好，又變成了廣義標(biāo)量。而廣義標(biāo)量就是無條件或不考慮存在條件的廣義向量(特殊條件的廣義向量)。所以廣義標(biāo)量S和廣義向量V條件互內(nèi)，記為S<->V(f)對于給定的存在的集合AA，BB，定義泛直積AA x BB =  (A, B)其中A屬于AA，B屬于BB， (A，B) &

19、#160;表示由全部可能的泛有序?qū)?A，B)組成的集合。1.8高維向量與張學(xué)文廣義集合多項式的關(guān)系就好比多元函數(shù)與其一階泰勒展開的關(guān)系現(xiàn)在我們來考察作為擴(kuò)展型的n維高維向量的一般劃分展開式考慮 n維行泛有序組|A>1xn|A>1xn = (A1,A2,.,An)可以嚴(yán)格證明：同泛有序?qū)σ粯樱?A1， A2，.，An) 的劃分展開式可分為兩部分，一部分是關(guān)于各單一廣義向量元的函數(shù)的物理組合，另一部分則是廣義向量元之間的各類化合、涌現(xiàn)、協(xié)同、排斥、約束。有(A1， A2，.，An ) = |F1&

20、gt; + |F2> +。+ |Fn>其中+表并操作;|F1> =  f( |Ai> ) ，i= 1, 2, .n,|F1> 為廣義向量單變量函數(shù)的物理組合；|F2> =  f(|Ai1>,|Ai2> ) , i1 = 1,2,.n-1; i2 = i1+1, i1+2, .n,|

21、F2>為廣義向量元的兩兩化合、涌現(xiàn)、協(xié)同、排斥、約束；.|Fn-1> =  f(|Ai1>, |Ai2>,. |Ain-1> ) ,i1 = 1, 2; i2 =2, 3; .; in-1= n-1, n.|Fn-1>為n-1個廣義向量元的各類化合、涌現(xiàn)、協(xié)同、排斥、約束；|Fn> = f(|A1>, |A2>,., |An>&

22、#160;) , 為全部n 個廣義向量元的化合、涌現(xiàn)、協(xié)同、排斥、約束。n維行泛有序組既考慮了物理組合，又考慮了化合、涌現(xiàn)、協(xié)同，所以是比較全面的n維行泛有序組的劃分展開式。顯然n維行泛有序組或n維高維向量的一般劃分展開式是張學(xué)文先生的廣義集合多項式的基本形式的一類推廣。下面我們將看到泛矩陣多項式和泛多項式矩陣從兩個方向上直接推廣了張學(xué)文的字符多項式。1.9泛矩陣多項式和泛多項式矩陣 - 從兩個方面推廣了張學(xué)文字符多項式3(a)泛矩陣多項式由前面的討論已知，泛有序?qū)?A，B)被完全確定，當(dāng)且僅當(dāng)廣義向量|A>，|B>完全確定。完全確

23、定的廣義向量具有表達(dá)充分的廣義方向和存在數(shù)量?；蛘哒f，表達(dá)充分的廣義方向作用在條件存在A上而使得A變成特指的具有數(shù)量Na的存在A。所以 我們有(M)A =(Na)A其中Na為條件存在A的數(shù)量，M為代表表達(dá)充分的廣義方向的泛矩陣。稱M為A的方向泛矩陣。稱條件存在A為方向泛矩陣M的廣義特征量。稱Na為方向泛矩陣M的廣義特征值。例如|1個 重100克 紅色的 蘋果 |1個 重 98克 橙色的 橘子 |1支 重 80克 黃色的 香蕉 |這個方向

24、泛矩陣作用在水果這個名詞上就變成了3個特指的水果。這里水果是上面的方向泛矩陣的廣義特征量，而3是這個方向泛矩陣的廣義特征值。一般而言，當(dāng)我們暫不考慮A與B的相互作用，那么泛有序?qū)陀薪凭€性展開式(A，B)  (Na)A + ( Nb)B其中 Na是A的數(shù)量，Nb是B的數(shù)量。根據(jù)上面的討論，有(Na)A + (Nb)B = (Ma)A + (Mb)B其中 Ma為A的方向泛矩陣； Mb為B的方向泛矩陣。我們稱上式右邊為泛矩陣多項式。對于n-維行泛有序組(A1，A2，., An)泛矩陣多項式的一般形式則為(M1)A1+(M2)A2+.+ (Mn)An其中M1，M2，., Mn 為給定存在A1，A2，., An的方向泛矩陣。泛矩陣多項式是張學(xué)文先生的字符多項式的一類推廣，它用方向泛矩陣代替了字符多項式的變量的“函數(shù)值”或系數(shù)?？梢愿?xì)致地表達(dá)廣義集合的劃分。(b)泛多項式矩陣泛多項式矩陣則是以泛矩陣多項式為元素的泛矩陣，它是張學(xué)文先生的字符多項式的更進(jìn)一步推廣，可以用來表達(dá)一首詩，一幅畫，一頁書.泛多項式矩陣可以表達(dá)既包含互換性又包含非互換性的復(fù)雜情況。例如， “馮向軍吃一個蘋果和一個