數(shù)值分析題庫與答案

1、WORD格式模擬試卷一一、填空題每題3 分，共30 分1有 3 個(gè)不同節(jié)點(diǎn)的高斯求積公式的代數(shù)精度是次的 .15232設(shè)A210， x4，那么A=.，x1 = _.14223 y=f(x)的均差差商f x0, x1, x2 14, x2 , x3 15913， f x1， f x2 , x3 , x4 ，8315f x0 , x2 , x3 ,那么均差 f x4 , x2 , x3 =.34 n=4 時(shí) Newton Cotes 求積公式的系數(shù)分別是：C0(4)7,C1(4 )16,C2(4)245, 那么9015C3(4).5解初始值問題yf ( x, y)的改進(jìn)的 Euler 方法是階方法

2、；y(x0 )y05x13x20.1x336求解線性代數(shù)方程組2 x16x20.7 x32 的高斯塞德爾迭代公式為，x12x23.5x31假設(shè)取 x(0)(1,1,1),那么x(1).7求方程xf ( x) 根的牛頓迭代格式是.80( x),1 (x),n ( x) 是以整數(shù)點(diǎn) x0 ,x1 , xn , 為節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)，那么nxk j ( xk ) =.k 09解方程組Axb 的簡單迭代格式x( k 1)Bx ( k)g 收斂的充要條件是.10 設(shè)f ( - 1 )1f ,( 0 ) f 0 ,( 1f )1 ,， 那么 f (x) 的 三 次 牛 頓 插 值 多 項(xiàng) 式

3、為，其誤差估計(jì)式為.二、綜合題 每題10 分，共 60 分1求一次數(shù)不超過4 次的多項(xiàng)式p( x)滿足：p(1)15 ， p (1)20 ， p (1)30p(2) 57， p (2)72 .1A0 f ( 1 )2構(gòu)造代數(shù)精度最高的形式為xf ( x)dxA1 f (1) 的求積公式，并求出02專業(yè)資料整理WORD格式專業(yè)資料整理WORD格式其代數(shù)精度 .3用 Newton 法求方程xln x2 在區(qū)間(2,xkxk 1108 .)內(nèi)的根,要求xk4用最小二乘法求形如ya bx 2的經(jīng)歷公式擬合以下數(shù)據(jù)：xi19253038yi19.032.349.073.35用矩陣的直接三角分解法解方程組

4、1020x150101x231243x3.170103x47yf ( x, y)6 試用數(shù)值積分法建立求解初值問題的如下數(shù)值求解公式y(tǒng)(0)y0hyn 1 yn 1( f n 1 4 f n fn 1) ，3其中 fif ( xi , yi ),i n 1, n, n 1.三、證明題 10 分設(shè) 對(duì) 任 意 的 x ， 函 數(shù) f (x) 的 導(dǎo) 數(shù) f ( x) 都 存 在 且 0 mf ( x) M ,對(duì) 于 滿 足02的任意，迭代格式 xk 1 xkf ( xk ) 均收斂于 f ( x)0 的根 x*.M參考答案一、填空題15； 2.8,9;3.91；4.16；5.二；1545專業(yè)資料

5、整理WORD格式x1( k 1)6. x2(k 1)x3(k 1)(3 3x2(k )0.1x3(k) ) / 5(22x1( k 1)0.7x3(k) ) / 6 ,(0.02，0.22，0.1543)(1x1( k 1)2 x2(k 1) )*2 / 7專業(yè)資料整理WORD格式7. xk 1xkxkf (xk ) ; 8.x j; 9.(B) 1;1 f( xk )10.1 x3x21 x,f (4) ( )( x1)x( x1)(x 2) / 24( 1,2)66二、綜合題1差商表：專業(yè)資料整理WORD格式專業(yè)資料整理WORD格式11512015157120221512423085727

6、257p(x)1520( x1)15(x1)27( x 1)3( x1)3 ( x2)54 x 3x22x3x4其他方法：設(shè) p( x)1520( x1)15( x1)27( x1)3(x1)3( axb)令 p(2)57 ， p(2)72，求出a和b.2取f ( x)1, x ，令公式準(zhǔn)確成立，得：A0A11,1A0A11,A01,A11 .2 2336f ( x)x2時(shí)，公式左右1； f(x)x3時(shí)，公式左1,公式右52 .4524 公式的代數(shù)精度此方程在區(qū)間(2,)內(nèi)只有一個(gè)根 s ，而且在區(qū)間， 內(nèi)。設(shè)f (x)xln x232 4那么 f ' (x)11f ''

7、;(x)1， Newton 法迭代公式為，x 2xxk 1xkln xk 2xk (1 ln xk )0,1,2,xk11/ xkxk1， k取 x3 ，得 sx43.146193221 。04span1, x2 ，AT1111， yT19.032.349.073.3 .192252302382解方程組TATT43330，A ACy，其中A A33303416082解得： C1.416650.0504305所以a，b.0.92555770.05010255解設(shè)1020110200101l 211u22u23u2412 43l 31l 321u33u340103l 41l 42l 43 1u44

8、由矩陣乘法可求出uij和 l ij專業(yè)資料整理WORD格式專業(yè)資料整理WORD格式11l 21101l 31l 321121l 41l 42l 43 1010110201020u22u23u24101u33u3421u4421y15解下三角方程組01y23121y3170101y47有 y5 ， y23 ， y36 ， y44 .11020x15再解上三角方程組101x2321x362x44得原方程組的解為x1， x21 ， x32 ， x42 .1x專業(yè)資料整理WORD格式6 解 初值問題等價(jià)于如下形式取 xxn 1，有y(xn 1)y( xn 1)利用辛卜森求積公式可得yn 1yn三、證明

9、題y( x) y( xn 1 )f (x, y( x)dx ，xn 1xn 1f (x, y( x)dx ，xn 11h ( f n 1 4 f nf n 1 ) .3專業(yè)資料整理WORD格式證明將 f ( x)0 寫成 xxf (x)(x) ，由于( x) xf ( x)1f ( x) ，所以 |( x) | |1f ( x) | 1所以迭代格式 xk1xkf (xk ) 均收斂于 f (x)0 的根 x*.專業(yè)資料整理WORD格式專業(yè)資料整理WORD格式模擬試卷二一、填空題每題3 分，共 30 分1分別用 2.718281 和 2.718282作數(shù) e 的近似值，那么其有效位數(shù)分別有位和位

10、 ；10212設(shè)A110， x3，那么A1 = _ ，x2 =.38213對(duì)于方程組2 x15x21Jacobi 迭代法的迭代矩陣是GJ=_.4x2,10x134設(shè)f ( x) x3x1，那么差商f 0, 1, 2, 3 =_，f0, 1, 2, 3,4=_.125A, 那么條件數(shù)Cond (A) _.011f ( x1 ) 具有最高的代數(shù)準(zhǔn)確度，那么其求積6為使兩點(diǎn)的數(shù)值求積公式f ( x)dx f ( x0 )1基點(diǎn)應(yīng)為 x0=_， x1=_7解初始值問題yf ( x, y)yk 1近似解的梯形公式是y(x0 ) y08求方程f (x)0 根的弦截法迭代公式是1xdx ，取4位有效數(shù)字，

11、用梯形公式計(jì)算求得的近似值是， 用辛卜9. 計(jì)算積分0.5生公式計(jì)算的結(jié)果是10任一非奇異矩陣A 的條件數(shù)Cond (A)，其 Cond ( A) 一定大于等于二、綜合題 每題 10 分，共 60 分1證明方程 1xsin x 在區(qū)間0,1有且只有一個(gè)根，假設(shè)利用二分法求其誤差不超過1 10 4近似解，問要迭代多少次？22 常微分方程的初值問題：dyx ,1x1.2dxy,y(1)2試用改進(jìn)的Euler 方法計(jì)算y(1.2) 的近似值，取步長h0.2.專業(yè)資料整理WORD格式專業(yè)資料整理WORD格式335x1103 用矩陣的LDLT分解法解方程組359x216 .5917x3304 用最小二乘

12、法求一個(gè)形如1的經(jīng)歷公式，使它與以下數(shù)據(jù)擬合.ybxax1.01.41.82.22.6y0.9310.4730.2970.2240.168x0.4 y0.4z15 設(shè)方程組 0.4 x y 0.8z 2 ，試考察解此方程組的雅可比迭代法及高斯賽德爾迭代0.4 x 0.8 yz3法的收斂性。4116 按冪法求矩陣A1 32 的按模最大特征值的近似值，取初始向量123x(0)(1,0,0) T，迭代兩步求得近似值(2) 即可.三、證明題 10 分求a (a0) 的迭代公式為：xk 11 ( xka )x00k0,1,22xk證明：對(duì)一切 k1,2,xka ， 且序列xk是單調(diào)遞減的，從而迭代過程收

13、斂.參考答案一、填空題1 6，7； 2.9,11 ;3 .02.5;4. 1,0;5.9; 6.112.50,;337. ykh f ( xk , yk )f (xk 1, yk 1 ) ;28. xk 1xkf ( xk )( xx)； 9. 0.4268, 0.4309;10.A1A, 1f ( xk 1)kk 1f ( xk )二、綜合題1 解 令f ( x)1 xsin x ，那么 f 0)(10，f (1)sin10 ，且 f (x)1 cos0x專業(yè)資料整理WORD格式專業(yè)資料整理WORD格式故 1x sin x 在區(qū)間0,1內(nèi)僅有一個(gè)根 x*.利用二分法求它的誤差不超過110 4

14、的近似解，那么| xk 1 x* |1110 44ln1022k 12解此不等式可得13.2877kln 2所以迭代14 次即可 .2、解：k1f ( x , y )0. 5 , kf (x ,yh k )0. 571429,002101y1y0h ( k1k)22 0. 1 ( 0. 5 0. 571429) 2. 107142923 3 51d11 l21l313解設(shè)359l211d2d31l325917l31l3211利用矩陣乘法可求得d13 ， d22 ， d32， l 211， l31523， l 3231y1104解方程組11y216得 y110,y26, y3，5y3303321

15、5d11113x1110再解方程組12x2d2d316得 x11, x21, x3 2 .1x3434解 令 Y1，那么 Y abx 容易得出正規(guī)方程組y59a16.971，解得a2.0535, b3.0265 .917.8b35.3902故所求經(jīng)歷公式為y1.2.05353.0265 x5解專業(yè)資料整理WORD格式專業(yè)資料整理WORD格式0.40.4 1由于 f J ()0.40.830.960.2560.40.8f J (1)10.980.2560 ， f J (2)8 1.96 0.2560所以 fJ()0在 (2, 1) 內(nèi)有根i且 |i| 1，故利用雅可比迭代法不收斂 .0.40.4

16、 2由于 f G ()0.40.8(20.8320.128)0.40.8所以(G )0.832 ，故利用高斯賽德爾迭代法收斂.6 解因?yàn)?x(0)1,0,0 T，故x(0)1，且y(1)Ax(0)4,T(1)max( y(1) )4 .1,1，從而得x(1)y(1) /y(1)1,1 , 1 T，y(2)Ax(1) 9 ,9,9T，(2)max( y(2) )9.442442三、證明題證明 :由于xk11 (xka )a,k0,1, 2,2xk故對(duì)一切 k ， xka ，又xk11 (1a)1 (11) 1xk2xk22所以 xk1xk，即序列 xk 是單調(diào)遞減有下界，從而迭代過程收斂.專業(yè)資

17、料整理WORD格式專業(yè)資料整理WORD格式模擬試卷三一、填空題每題3 分，共 30 分1a2.40315是真值x2.40194的近似值，那么a 有位有效位數(shù)，相對(duì)誤差限設(shè)為；2假設(shè)用二分法求方程f (x)0 在區(qū)間1,2內(nèi)的根，要求準(zhǔn)確到第3 位小數(shù)，那么需要對(duì)分次。3有 n 個(gè)節(jié)點(diǎn)的高斯求積公式的代數(shù)精度為次 .4設(shè)( x) x a(x25) ，要使迭代格式 xk 1( xk ) 局部收斂到 x*5 ，那么 a 的取值X圍是5設(shè)線性方程組Ax = b 有唯一解，在不考慮系數(shù)矩陣擾動(dòng)的情況下，假設(shè)方程組右端項(xiàng)的bx；擾動(dòng)相對(duì)誤差，就一定能保證解的相對(duì)誤差bx9x1x28Jacobi 迭 代 公

18、 式6給定線性方程組，那么解此線性方程組的x1 5x24是， Gauss-Seidel 迭代公式是nbAk f ( xk )7插值型求積公式f (x)dx 的求積系數(shù)之和是k0a8數(shù)值求解初值問題的龍格-庫塔公式的局部截?cái)嗾`差是9. 函數(shù)f (0.4)，用此函數(shù)表作牛頓插值多0.411, f (0.5) 0.578 , f (0.6) 0.697項(xiàng)式，那么插值多項(xiàng)式x2的系數(shù)是21010設(shè)A12a ，為使A可分解為A = LLT，其中L是對(duì)角線元素為正的下三角0a2矩陣，那么 a 的取值X圍是。二、綜合題 每題 10 分，共 60 分1用 Newton 法求方程x ln x2 在區(qū)間(2,)內(nèi)

19、的根,xk xk 110 8.要求xk1011 21 22設(shè)有方程組x b，其中A221 ，b1 3，它有解 x1 3 ，如0222 30專業(yè)資料整理WORD格式專業(yè)資料整理WORD格式果右端有小擾動(dòng)b110 6，試估計(jì)由此引起的解的相對(duì)誤差。23試用 Simpson 公式計(jì)算積分2e1/ x dx 的近似值,并估計(jì)截?cái)嗾`差.14設(shè)函數(shù)f ( x)在區(qū)間 0,3上具有四階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 試用埃爾米特插值法求一個(gè)次數(shù)不高于3的多項(xiàng)式 P3 ( x) ，使其滿足P (0)0, P (1)1,P (1)3,P (2) 1，并寫出誤差估計(jì)式。33332105A121 ，給出用古典Jacobi 方法求A的特

20、征值的第一次迭代運(yùn)算。012專業(yè)資料整理WORD格式y(tǒng) ' y0證明其近似解為6用梯形方法解初值問題，y(0)1時(shí)，它收斂于原初值問題的準(zhǔn)確解y e x。三、證明題 10 分nnkxj假設(shè) f (x)aixi有 n 個(gè)不同的實(shí)根，證明i 1i 1f ( xj )參考答案2hnh 0ynh，并證明當(dāng)20,0kn21.,kn1an專業(yè)資料整理WORD格式一、填空題1. 3,0.510-3;2.10;3.2n -1 ;4.15a0 ;5. cond ( A) ;x( k 1)(8 x2(k) ) / 9x(k 1)(8 x2(k) ) / 96.1,k 0,1, ,1,k0,1,x( k 1

21、)(4x(4(k) )/ 5x(k 1)x( k 1) ) /521217. ba ;8.O (h5 ) ;9. 2.4;10 .3a3二、綜合題1此方程在區(qū)間( 2,) 內(nèi)只有一個(gè)根 s ，而且在區(qū)間2， 4內(nèi)。設(shè)f ( x) x ln x 2那么f' (x)111， f '' ( x)， Newton 法迭代公式為xx2xk1xkxkln xk 2xk(1 ln xk )0,1,2,11/ xkxk， k1取 x0 3 ，得 sx43.146193221 。專業(yè)資料整理WORD格式專業(yè)資料整理WORD格式111xb2解A 1211. 5， Cond ( A)22.5

22、，由公式xCond ( A)，有211bx110 622.521.6875105x2 3321/ xdx211/1.51/ 2)2.0263, f(4)11236241/ x1e6(e4ee(8x7x65) e，xxmax f ( 4) ( x)f (4) (1)198.43 ，1x2截?cái)嗾`差為 R2( 21) 50.06890max f ( 4) (x)2880 1x 25 x37 x4由所給條件可用插值法確定多項(xiàng)式P3 (x) ，P (x)7 x2322( 由題意可設(shè)R( x)f ( x)P3 (x)k( x)x(x1)2 ( x2)為確定待定函數(shù)k( x) ，作輔助函數(shù)：2g( t)f

23、( t)P ( t) k( x)t (t1) (t2)那么g(t )在0,3上存在四階導(dǎo)數(shù)且在3,0,3 上至少有5個(gè)零點(diǎn) tx, t0,1,2t0 為二重零點(diǎn)，反復(fù)應(yīng)用羅爾定理，知至少有一個(gè)零點(diǎn)(0,3) ，使g( 4)()0，從而得 k( x)1f (4)() 。故誤差估計(jì)式為1 f(4)(4!R( x) x( x1)2 ( x2) ，(0,3) 。4!5 首 先 取i 1, j2， 因 co t 20，故有， 于 是 c o ss i n14，211022V (0)V12()110，22001A(1)V (0) A(0)V (0) T110110101222222101111101210032222201200100111222專業(yè)資料整理WORD格式專業(yè)資料整理WORD格式6. 梯 形 公 式 為yn 1ynhf ( xn 1 , yn 1) ， 由f ( x, y)，y f ( xn , yn )得h2yn 1yn( yn yn 1) ，2所以 yn 1( 2h ) y( 2h)2 y( 2h)n1 y0( 2h )n 1，用上述梯形公式以步2hn2hn 12h2h長 h 經(jīng)n步計(jì)算得到y(tǒng)n，所以有hnx ，所以l