誤差分析的基本概念

1、第一章 誤差分析的基本概念§1 誤差的來(lái)源1 誤差概念 ：精確值與近似值之差稱為誤差，也叫絕對(duì)誤差。2 產(chǎn)生誤差的主要原因 模型誤差：在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，在一定條件下抓住主要因素將現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)理想化的數(shù)學(xué)描述稱為實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，這種數(shù)學(xué)描述常常是近似的，數(shù)學(xué)模型與實(shí)際系統(tǒng)之間存在誤差，這種誤差稱為模型誤差。 觀測(cè)誤差：數(shù)學(xué)模型中往往含有一些由觀測(cè)得到的物理量（如溫度、電阻、長(zhǎng)度）或由物理量估算出的模型參數(shù)，這些觀測(cè)物理量或模型參數(shù)常常與實(shí)際數(shù)據(jù)存在誤差。這種由觀察產(chǎn)生的誤差稱為觀測(cè)誤差。 截?cái)嗾`差：數(shù)值計(jì)算中用有限運(yùn)算近似代替無(wú)窮過(guò)程產(chǎn)生的誤差。例如計(jì)算一個(gè)無(wú)窮次可微函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，理

2、論上只要能算出這個(gè)函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)值即可，但是實(shí)際工程上僅用泰勒級(jí)數(shù)中前面有限項(xiàng)來(lái)近似計(jì)算函數(shù)值，而舍去高階無(wú)窮小量。這個(gè)被舍的高階無(wú)窮小量正是截?cái)嗾`差。 舍入誤差：計(jì)算中按四舍五入進(jìn)行舍入而引起的誤差或因計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)有限，數(shù)據(jù)在內(nèi)存中存放時(shí)進(jìn)行了舍入而引起的誤差。 3.舉例說(shuō)明例1 設(shè)一根鋁棒在溫度t 時(shí)的實(shí)際長(zhǎng)度為L(zhǎng)t ,在 t=0時(shí)的實(shí)際長(zhǎng)度為L(zhǎng)0,用來(lái)表示鋁棒在溫度為t時(shí)的長(zhǎng)度計(jì)算值，并建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型：,其中是由實(shí)驗(yàn)觀察得到的常數(shù) （0.0000238±0.0000001）1/，稱為模型誤差，0.0000001/是的觀測(cè)誤差。這個(gè)問(wèn)題中模型誤差產(chǎn)生的原因是：實(shí)際上與t2有微弱關(guān)

3、系，也就是說(shuō)模型未能完全反映物理過(guò)程。例2 已知在 x=0 處展開(kāi)的泰勒級(jí)數(shù)為：為了計(jì)算近似值,可取前面有限項(xiàng)計(jì)算.如取前面五項(xiàng)計(jì)算,計(jì)算過(guò)程中與計(jì)算結(jié)果都取五位小數(shù)得e1+1+1/2+1/6+1/242.7083，e取五位小數(shù)時(shí)的準(zhǔn)確值為=2.71828，于是截?cái)嗾`差為:這表明：只要在計(jì)算中采用了有限步運(yùn)算近似代替無(wú)限步運(yùn)算的方法，截?cái)嗾`差就一定存在。 例3.=3.1415926；=1.41421356，在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算時(shí)只能用有限位小數(shù)，如果我們?nèi)⌒?shù)點(diǎn)后四位小數(shù)則：=-3.1416 =-0.0000074；=-1.4142=0.000013就是舍入誤差。另外值得一提的是十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制

4、數(shù)時(shí)有時(shí)也引起循環(huán)小數(shù)，因計(jì)算機(jī)上浮點(diǎn)數(shù)存儲(chǔ)位數(shù)限制而舍棄尾部部分小數(shù)，如 存儲(chǔ)時(shí)會(huì)引起舍入誤差。這個(gè)數(shù)制轉(zhuǎn)化問(wèn)題表明：只要計(jì)算機(jī)內(nèi)部采用二進(jìn)制運(yùn)算，無(wú)論計(jì)算機(jī)發(fā)展的多完善，這個(gè)舍入誤差理論問(wèn)題永遠(yuǎn)存在?？偟膩?lái)說(shuō)，誤差一般有：模型誤差；觀測(cè)誤差；截?cái)嗾`差；舍入誤差。在計(jì)算方法這門(mén)課程中，截?cái)嗾`差和舍入誤差是誤差的主要研究對(duì)象，討論它們?cè)谟?jì)算過(guò)程中的傳播和對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，并找出誤差的上下界，對(duì)分析和改進(jìn)算法都有重大的實(shí)際意義。§2 絕對(duì)誤差 相對(duì)誤差 有效數(shù)字 定義1：設(shè)x為準(zhǔn)確數(shù)，為x的近似值，記e=x-x 稱e為x與x 的誤差，也叫x與x的絕對(duì)誤差。顯然，x= x+ e 即近似值

5、加誤差就是準(zhǔn)確值，因此把e也叫做近似值x的修正值，或者說(shuō)近似值加上修正值就是準(zhǔn)確值。誤差可正可負(fù)，且有量綱單位，當(dāng)誤差為負(fù)時(shí)，近似值偏大，叫做“強(qiáng)近似”，當(dāng)誤差為正時(shí)，近似值偏小，叫做“弱近似”。例1 x=3.14159265 按四舍五入的原則保留不同位數(shù)的小數(shù)，計(jì)算其誤差。用一位數(shù)字近似表示 用三位數(shù)字近似表示 用五位數(shù)字近似表示 用六位數(shù)字近似表示 定義2：如果 就叫做近似值x的“誤差限”，也叫絕對(duì)誤差限。誤差限一定是一個(gè)正數(shù)。我們常用來(lái)表示近似值的精確度或準(zhǔn)確值所在的范圍（）。現(xiàn)在引入有效數(shù)字的概念。如果近似值的誤差限是某一位上的半個(gè)單位，該位到的第一位非零數(shù)字共有n位，我們就說(shuō)有“n位

6、有效數(shù)字”，或者說(shuō)準(zhǔn)確到該位。用四舍五入法取準(zhǔn)確值的前n位作為近似值，則有n位有效數(shù)字。 以下觀察有效數(shù)字的位數(shù)n與誤差限之間的關(guān)系 3位有效數(shù)字 5位有效數(shù)字 6位有效數(shù)字 定義3：若用表示x的近似值，并將表示成=±, （及p 為整數(shù), ;, ）若其誤差限為就稱近似值具有n位有效數(shù)字.利用定義3，由有效數(shù)字位數(shù)n和近似值可以確定誤差限： 。注意，首先需要特別指出的是，在有效數(shù)字的記法中，有效數(shù)字0.123×10-3 和0.1230×10-3是有區(qū)別的，前者只有三位有效數(shù)字，后者卻有四位有效數(shù)字；其次，如果只知道x* =300000的絕對(duì)誤差限不超過(guò)500=，則應(yīng)

7、把它寫(xiě)成300×103或3.00×105,如果仍記為300000，則表示它的誤差限不超過(guò)0.5，這是因?yàn)榍罢哂腥挥行?shù)字，后者有六位有效數(shù)字；再次，還需要指出的是，一個(gè)準(zhǔn)確數(shù)字的有效位數(shù)，應(yīng)當(dāng)說(shuō)有無(wú)窮多位。例如對(duì)于1/4=0.25不能說(shuō)只有兩位有效數(shù)字。例2 若=3587.64是x的具有六位有效字的近似值，那么它的誤差限為 定義4：稱為近似值的相對(duì)誤差，當(dāng)比較小時(shí)，有時(shí)也把稱為近似值的相對(duì)誤差。相對(duì)誤差無(wú)量剛。相對(duì)誤差可正可負(fù)。我們把相對(duì)誤差絕對(duì)值的上界叫做相對(duì)誤差限，記作=|, 其中是的誤差限(也叫絕對(duì)誤差限)。推論1. 近似數(shù)（n 、及p為整數(shù), 19; 09, 2

8、in）有n位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差限為：證明： 由于有n位有效數(shù)字，故與x的絕對(duì)誤差限應(yīng)為由相對(duì)誤差限的定義得:而 由此可以看出，有效數(shù)字位數(shù)越多，相對(duì)誤差限就越小。推論2：若近似數(shù)（ n, 及p為整數(shù)，19； 09，2in）的相對(duì)誤差限滿足：則至少有n位有效數(shù)字。證明： (高位進(jìn)1,舍去尾數(shù),其值變大)由定義3知道：近似數(shù)有n位有效數(shù)字。證畢。例3. 用來(lái)表示e具有三位有效數(shù)字的近似值，相對(duì)誤差限是多少？解：=0.272×101 , n=3 , p=1 , =2 . 由推論1得： =0.0025例4. 為了使的近似值的相對(duì)誤差小于，問(wèn)至少要取幾位有效數(shù)字？解： 由推論2 故按題目要

9、求 令. 則有 即n至少要取為4取n=4查數(shù)學(xué)用表，其相對(duì)誤差小于 0.1%§3. 和 差 積 商的誤差1. 和 差 積 商的誤差設(shè)是x的近似值，是y的近似值，用來(lái)表示的近似值，則它的誤差為(x±y)-(x*±y*)=(x-x*) ±(y-y*) （1-3-1）于是有如下結(jié)論：結(jié)論1： 和的誤差是誤差之和，差的誤差是誤差之差。 |(x±y)-(x*±y*)|x-x*| +|y-y*| （1-3-2）結(jié)論2： 兩個(gè)數(shù)和或差的絕對(duì)誤差限不超過(guò)各數(shù)絕對(duì)誤差限之和。結(jié)論3： 任意多個(gè)數(shù)和或差的絕對(duì)誤差限不超過(guò)各個(gè)數(shù)的絕對(duì)誤差限之和。結(jié)論4：

10、若令則相對(duì)誤差是對(duì)數(shù)函數(shù)的微分 （1-3-3）設(shè)u=xy 則lnu=lnx+lny dlnu=dlnx+dlny 于是有如下結(jié)論：結(jié)論5 乘積的相對(duì)誤差是各乘數(shù)的相對(duì)誤差之和。設(shè)u=x/y 則lnu=lnx-lny dlnu=dlnx-dlny 于是有如下結(jié)論：結(jié)論6： 商的相對(duì)誤差是被除數(shù)的相對(duì)誤差減去除數(shù)的相對(duì)誤差。結(jié)論7： 任意多次連乘，連除所得計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差限不超過(guò)各乘數(shù)和除數(shù)的相對(duì)誤差限之和。證明： 設(shè) w=(uv)/(xy) 則 lnw=lnu+lnv-lnx-lny ; dlnw=dlnu+dlnv-dlnx-dlny |dlnw|dlnu|+|dlnv|+|dlnx|+|d

11、lny| 證畢。例1設(shè)y=f(x) 則的相對(duì)誤差是 例2設(shè)則,因此.的相對(duì)誤差是x的相對(duì)誤差的n倍。2一般數(shù)值運(yùn)算的誤差估計(jì)設(shè)的近似值依次是，把近似值代入函數(shù)y=f()運(yùn)算得，顯然是的近似值，的誤差、相對(duì)誤差如何估計(jì)？如果函數(shù)y=f()在（ ）附近有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)值的誤差可用多元函數(shù)在()處的泰勒展開(kāi)式得到。y=f()=令 于是y的誤差： （1-3-4）按相對(duì)誤差定義，y的相對(duì)誤差為： （1-3-5） 例3 測(cè)得某桌面的長(zhǎng)a的近似值a*=120cm，寬b的近似值b*=60cm，若已知|a-a*|0.2cm，|b-b*|0.1cm，試求近似面積s*=a*b*的絕對(duì)誤差限與相對(duì)誤差限。解：

12、 因?yàn)?s=ab ，由（1-3-4）和（1-3-5）式|e*(s*)|600.2|+|1200.1|=24cm2 |e(s*)|=故s*的絕對(duì)誤差限為24 cm2，相對(duì)誤差限為0.33% .§4 近似計(jì)算中需要注意的幾個(gè)問(wèn)題1. 要避免兩個(gè)相近的數(shù)相減在數(shù)值計(jì)算中，兩個(gè)相近的數(shù)相減，則這兩個(gè)數(shù)的前幾位相同的有效數(shù)字會(huì)在在它們之差中消失，有效數(shù)字位數(shù)大大減少。例如計(jì)算 時(shí)，當(dāng)x接近于零則應(yīng)變換為來(lái)計(jì)算；再例如計(jì)算，當(dāng)x充分大時(shí)應(yīng)變換為來(lái)計(jì)算；當(dāng)x=1000時(shí)，若取4位有效數(shù)字計(jì)算，兩者相減結(jié)果為0.02，這個(gè)結(jié)果只有一位有效數(shù)字。但用計(jì)算，則得0.01581,它有四位有效數(shù)字。這說(shuō)明應(yīng)

13、當(dāng)盡量避免出現(xiàn)這類運(yùn)算，改變計(jì)算方法可以避免兩個(gè)相近的數(shù)相減而引起有效數(shù)字損失。通常根據(jù)具體情況采用一些數(shù)學(xué)上的恒等變形如因式分解、分子分母有理化、三角函數(shù)恒等式、Taylor展開(kāi)式等計(jì)算公式。2. 兩個(gè)相差很大的數(shù)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，要防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)例1 計(jì)算二次方程解：因式分解得二次方程兩根為：，；按求根公式：;其中 =。若計(jì)算機(jī)上只能表達(dá)到小數(shù)后八位，則對(duì)階運(yùn)算時(shí)1=在計(jì)算中將不起作用，因此，。類似的分析將有， （對(duì)階運(yùn)算時(shí)4ac作零處理）故求得兩個(gè)近似根 ,；類似方程還有許多如 ：這表明無(wú)論計(jì)算機(jī)發(fā)展的多完善，這個(gè)大數(shù)“吃”小數(shù)的問(wèn)題永遠(yuǎn)存在。因此，設(shè)計(jì)算法或編制程序時(shí)，一般不要將大小相

14、差非常懸殊的兩個(gè)數(shù)放在一起來(lái)運(yùn)算。3. 要注意計(jì)算步驟的簡(jiǎn)化，減少運(yùn)算的次數(shù)簡(jiǎn)化計(jì)算公式十分重要，它直接影響著計(jì)算的速度和誤差的積累，有時(shí)可以使一項(xiàng)無(wú)法實(shí)現(xiàn)的計(jì)算能夠?qū)崿F(xiàn)，快速富氏變換就是典型例子。下面我們以計(jì)算多項(xiàng)式的值為例來(lái)說(shuō)明簡(jiǎn)化計(jì)算公式的重要性。例2 計(jì)算多項(xiàng)式 （1-4-1）的值，若直接用上面公式來(lái)計(jì)算，計(jì)算k次項(xiàng)的值需要進(jìn)行k次乘法，所以計(jì)算多項(xiàng)式共需n(n+1)/2次乘法和n次加法才能得到批p (x)的值，但如果我們將公式（1-4-1）改寫(xiě)成下面的形式:令 （1-4-2）對(duì)k=1,2, n 反復(fù)執(zhí)行算式（1-4-2）的第2式，則共需n次乘法和n次加法即可得到一個(gè)多項(xiàng)式值。這就是著

15、名的秦九韶算法。從上面簡(jiǎn)單的例子可以看出化簡(jiǎn)公式不僅能減少運(yùn)算次數(shù)，提高計(jì)算速度，而且還能簡(jiǎn)化邏輯結(jié)構(gòu)，減少誤差積累。4. 使用遞推關(guān)系要注意遞推方向的選擇，以控制誤差的擴(kuò)大例3 計(jì)算 n=0，1，2，7利用定積分的分部積分法，容易得出遞推關(guān)系式： ，在已知之后可算而得到表(1-4-1)中的第一列。當(dāng)然也可以按恒等形式的遞推關(guān)系式：In-1=(1In)n ，在已知之后，可算得而得到表(1-4-1)中的第二列，這八個(gè)積分的精確值為表(1-4-1)中的第三列。 表(1-4-1) 兩種遞推算法對(duì)比表 第一種計(jì)算法第二種計(jì)算法真值I0I1I2I3I4I5I6I70.63210.36800.26400.

16、20800.16800.16000.4000.72000.63200.36800.26430.20730.17080.14550.12690.11240.63210.36790.26420.20730.17090.14550.12680.1124由表中看出，在第一種算法中，隨著遞推次數(shù)的增大，計(jì)算結(jié)果偏離真值越來(lái)越遠(yuǎn)；而在第二種算法中，隨著遞推次數(shù)的增大，計(jì)算結(jié)果能穩(wěn)定地接近真值。我們稱第一種算法是不穩(wěn)定的遞推算法，第二種算法是穩(wěn)定的遞推算法。兩種算法僅僅只是遞推順序不同，為什么卻會(huì)出現(xiàn)不同的誤差傳播呢？如果精確值的近似值有誤差=；精確值，近似值，與有誤差=；，精確值的近似值有誤差=；這就是說(shuō)

17、若有誤差，則的誤差的絕對(duì)值就是誤差的絕對(duì)值的n!倍；類似分析可以知道若近似值有誤差，則的誤差的絕對(duì)值就是誤差的絕對(duì)值的1/（n!）倍。這表明第一種算法計(jì)算過(guò)程中誤差不斷擴(kuò)大，而第二種算法計(jì)算過(guò)程中誤差不斷被縮小，這正是算法是否穩(wěn)定的實(shí)質(zhì)。 通過(guò)上述幾個(gè)問(wèn)題的簡(jiǎn)單討論，我們可以看出，即使有了數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步甚至數(shù)學(xué)上已經(jīng)有了完善的結(jié)果，但仍然存在能不能在計(jì)算機(jī)上解算和如何實(shí)現(xiàn)解算的問(wèn)題。所以我們必須研究數(shù)值計(jì)算方法，尋求數(shù)學(xué)問(wèn)題在計(jì)算機(jī)上的有效算法。 習(xí)題一1下列各近似數(shù)的絕對(duì)誤差限是最末位的的半個(gè)單位，試指出各近似數(shù)的絕對(duì)誤差限及其有效數(shù)字位數(shù)。 2用秦九韶法計(jì)算P(x)=2x3+7x2-9 在x=2處的值。3若a=1.1062, b=0.947是經(jīng)四舍五入后得到的近似值，問(wèn)a+b, a×b 有幾位有效