山東省屆高中數(shù)學夏令營試題解答

1、山東省2022屆高中數(shù)學夏令營數(shù)學競賽試題參考答案(此題共5道小題，每題8分，總分值40分)1函數(shù)f(x) J 2x J3 2x的最大值是 ；(王澤陽 供題)解：f(x).、廠阪、歹芯 2、2 ,其等號僅當_V2X2X即x -時成立，2所以,f(x) 最大= 2 22如果自然數(shù)a的各位數(shù)字之和等于5,那么稱a為“桔祥數(shù)，將所有桔祥數(shù)從小到大排成一列 內(nèi)砂,an.假設an=2022那么n=.(王繼忠 供題)解:設x1x - xm為桔祥數(shù) 那么X1+X2+Xm=5,由xi 1和X2,Xm?0得(X1- 1)+X2 +Xm=4,所以,x2xm為第cm 3個桔祥數(shù).1x2xm為第2個桔祥數(shù). 由此得:

2、一位桔祥數(shù)共1個,二位桔祥數(shù)共C54 5個,三位桔祥數(shù)共C： 15個, 因以1為首位的四位桔祥數(shù)共C6415個，以2為首位的前兩個四位桔祥數(shù)為2003 和 2022.故 n=1+5+15+15+2=38.那么 f(2022)=3.f(x)是2022次多項式，當n=0,1，,2022時，f(n)(王林供題)12022!解:當 n=0,1，,2022 時，(n+1)f(n)=n,即多項式(x+1)f(x) -x 有 2022 個根,設(x+1)f(x)-x二ax(x-1)(x-2)(x- 2022).取 x=-1,那么 1= 2022!a.故a一、x(x 1)(x 2)(x 2022) x2022

3、!20222022 ,f (x), f (2022)1 .2022!(x 1)x 12022!2022202220224.將圓周上5個點按如下規(guī)那么染色：先任選一點染成紅色，然后依逆時針方向,第1步轉(zhuǎn)過1個間隔將到達的那個點染紅，第2步轉(zhuǎn)過2個間隔將到達的那個點染紅，第k步轉(zhuǎn)過k個間隔將到達的那個點染紅一直進行下去，可得到個紅點.(龔紅戈供題)解：將5個點依次編號0 4可得3個紅點.5.如圖，設0,1分別為 ABC的外心、內(nèi)心，且 B 60 , AB BC , A的外角平分線交。0于D，AD 18,那么0I解：連接BI并延長交。0于E,那么E為弧AC0E、AE、CE、0C，由 B 60，易知

4、A0E、 C0E 均為正三角形由內(nèi)心的性質(zhì)得知：AE IE CE所以A、0、I、C四點共圓，且圓心為E.再延長AI交。0于F ,0C(李耀文供題)DAF由題設知 D、0、F 共線，于是 0EI 2 0AI , A0D 2 AFD 2 0AI ,又 0A 0D 0E IE ,從而 0AD 坐 E0I ,故 01 AD 18.(此題共5道小題，每題20分，總分值100分)6證明:對任給的奇素數(shù)p,總存在無窮多個正整數(shù)n使得p|(n2n-1).(陳永高供題)證明:取n=(p- 1)k,那么由費爾馬小定理知2(p 1)k 1(mod p)，所以，p|(n2n-1)(p 1)k ?2(p 1)k 1(m

5、od p) (p 1)k 1(mod p) k 1(modp).取 k=pr- 1(r N*),即 n=(p-1)(pr-1)，就有(p 1)k?2(p 1)k 1(mod p)即 p|(n2n-1).7.如圖，P是矩形ABCD內(nèi)任意一點，延長 BP交AD于E,延長DP交AB于F,延長CP交矩形的外接圓于G。求證：GE丄GF.(葉中豪 供題)FCB證法1:設CG交AD于Q,由/ GBA = Z GDA及A交于 R,由 AD / BR, AD=BCR -得BCFB BR/ AGB = Z CGD 知厶 ABG QDG。延長 DF、CBBC QE又由 CpB 0卩及厶RPB DPE得-由得Ab獸說

6、明F,E壯ABGAQDG的相似對應點，故得 FBGEDG.所以，/ FGB二/ EGD,Z FGE二/BGD=90,即GE丄GF.證法 2:聯(lián)結(jié) GB,GD,令/ GCB=，/ GCD=GB sin由正弦疋理得:-爲B(tài)Psin PBCDPsin PDCBFsin BFP sin PBCBFDE sin DEP sin PDC DE由/ GBF=Z GDE 得厶 FBGEDG.QEDAPFaCB所以，/FGB= / EGD, / FGE=Z BGD=90,即 GE丄GF.8.對于i,A2,Aio滿足:(1)|A i|=36,i=1,2,10;(2) AiU AU U A。二A;(3) |A i

7、AA|=8,i工j.請說明理由.(劉裕文 供題)解:答案:存在.Cw120個,每個作為集合A的一個元素.對每個j=1,2,10,第j項為1的0,1數(shù)列恰有C； 36個,它們是集合A的36個元素.對每對i,j 1,2,10(i2,故 u1,v1.由4v2-3u2三1(mod8知u,v為奇數(shù)，直接計算得 Umin = 15,Vmin = 13,k=56,所以，m 最小=15 x 13=195,n 最小=337.10.設實系數(shù)三次多項式p(x) x3 ax2 bx c有三個非零實數(shù)根.3求證：6a3 10(a2 2b)2 12ab 27c.(李勝宏 供題)證明：設，為p(x)=0的三個根，由根與系數(shù)關系ab得：c3a2 2b 222 原式6a(a2 2b) 10(a2 2bf 27c32 2 2 2 2 2 6()() 10()227.假設2220,那么成立.假設2220,不妨設|III,由的齊次性，不妨設222 9,