平面向量與三角形三心

1、向量與三角形內(nèi)心、外心、重心、垂心知識的交匯、四心的概念介紹1重心中線的交點：重心將中線長度分成2 : 1 ；2垂心一一高線的交點：高線與對應(yīng)邊垂直；3內(nèi)心一一角平分線的交點 內(nèi)切圓的圓心：角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等;4外心一一中垂線的交點外接圓的圓心 ：外心到三角形各頂點的距離相等。二、四心與向量的結(jié)合1OA OB OC 0 O 是 ABC 的重心.證法 1 設(shè) Ox, y,人,%弋匕2, y2,CX3，y3X1X2X3OA OB OC 0(XiX) (X2 X) (X3 x)(yi y) (y2y) (y3y) 0%y2y33O是ABC的重心.證法2:如圖OA OB OCOA 2

2、OD 0AO 2ODA、0、D三點共線，且O分AD為2： 1O是ABC的重心2OA OB OB OC OC OAO為ABC的垂心.BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足.OA OBOB OCOB(OA OC) OB CA 0OBAC同理OABC，OCABO為ABC的垂心證明：如下列圖 O是三角形ABC的垂心,3設(shè)a, b , c是三角形的三條邊長， O是 ABC的內(nèi)心aOA bOB cOC 0 O 為 ABC 的內(nèi)心.1IAB AC證明：、分別為AB AC方向上的單位向量,c bABAC平分BACcb“ ABAC人bcAO(-，令cba b c be r AB AC AO)a b e e b

3、化簡得(a b e)OA bAB eACaOA bOB eOC 0|OAOBOCO為ABC的外心。典型例題分析例題點 G是也ABC內(nèi)任意一點，點M是也ABC G點可能通過也ABC的心.(填“內(nèi)心或“外心或“重心或“垂心).提出問題AB AC(1)假設(shè)存在常數(shù)，滿足MG MA (-一一 )(0),那么點G可能通過|ab| |ac|込ABC的. 假設(shè)點D是込ABC的底邊BC上的中點，滿足G»gB GDGC ,那么點G可能通ABAC0),那么點G可)(八AB *sin BACsin C( ABAC )(0),那么點G可('|ABcos BAC*eosC過企ABC的.(3)假設(shè)存在常

4、數(shù) ，滿足MG MA能通過乜ABC的.(4)假設(shè)存在常數(shù)，滿足MG MA能通過乜ABC的.思路分析以上四個問題的解決要求不同，除了熟悉三角形的“四心的性質(zhì) 同時更要熟悉平面向量的性質(zhì)，對于平面向量與三角函數(shù)的結(jié)合也要相當熟悉.AB - ac 解答過程(1)記円 6，円 2,那么AG (e 62).由平面向量的平行四邊|ab|ac形或三角形法那么知，點G是角平分線上的點，故應(yīng)填內(nèi)心. 簡單的變形后發(fā)現(xiàn)點G是BC邊中垂線上的點，故應(yīng)填外心.(3)：ABsi nB AC-si nC, 記 AB *si nB AC *s inC h ,那么AG '(AB AC)(').由平面向量的平行

5、四邊形或三角形法那么知，點G是 hBC邊的中線上的點，故應(yīng)填重心.(4) MGMA (ABAC)(AB pos BAC *cosC0),得AGABAB cos BAC)(AC icosC0),關(guān)鍵點AG -BCABACAGBC于是ABcos BAC *cosC BC( 0)AB-BCACBCIab|posB)(0)cosC(Bc pos( -B) Bc posB)=從而AG BC,點G是高線上的點，故應(yīng)填垂心.點評以上四個問題處理的方法各不相同，注意到平面向量及三角形的“四心 的性質(zhì)在解答問題時的作用特別注意第四問兩邊同乘以某個表達式的技巧總結(jié):1OA OB OC 0 O 是 ABC 的重心.

6、2OA OB OB OC OC OA O 為 ABC 的垂心.3設(shè)a, b , c是三角形的三條邊長， O是 ABC的內(nèi)心aOA bOB cOC 0 O 為 ABC 的內(nèi)心.4|oaOB |OCO為ABC的外心?；蛘呒僭O(shè)P點為ABC內(nèi)任意一點，假設(shè)P點滿足:APA.),P為乙ABC的內(nèi)心；BPt(iBA BC), t I BABC2. D、E兩點分別是色ABC的邊BC、CA上的中點，且DP *PBDP PCP為邑ABC的外心；EP*PCEPPAAP3.BP1 (AB31 一(BA3AC),BC),P為也ABC的重心；4.AP*BC 0P為汪ABC的垂心.BPAC 0結(jié)合運用:OP例1:O是平面

7、上一定OA(AbAC),A.外心分析：如卜圖ABC ,ABAC2ADOPOA2 ADOPOAAPAP2 ADAP/AD占P八、1'的軌跡疋通過占八、-0,A、B、C是平面上不共線的三個點，動點，那么點P的軌跡一定通過 ABC的B .D、E分別為邊BC、AC的中內(nèi)心C.重心ABC的重心，即選C .例2 : O是平面上一定點,A、OPOA(AB AC)(AB AC)，A .外心B.內(nèi)心0,分析:OPP滿足D.垂心B、C是平面上不共線的三個點，動點，那么點P的軌跡一定通過 ABC的C.重心D.垂心P滿足AB ACAB、AC分別為ABAC方向上的單位向量,AB AC平分陀點P的軌跡一定通過 A

8、BC的內(nèi)心,即選B.OAO是平面上一定點,A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足ABACAB cosBA .外心)，AC cosCB .內(nèi)心0,，那么點P的軌跡一定通過ABC的C.重心D .垂心ABAB cosBACAC cosC)BCAB BCAB cosBAC BCAC cosCAB BC cosBAC|BCcosCACcosCBC + BC =0點P的軌跡一定通過 ABC的垂心，即選 D .練習(xí):ABC三個頂點A、B、C及平面內(nèi)一點P，滿足PAPB PC0,假設(shè)實數(shù)滿足：AB AC AP，貝U 的值為3A . 2B.C. 3D. 62O,半徑為 1,0A OB OC0，那么 OA

9、OB (1A.-2B. 0C. 12假設(shè) ABC的外接圓的圓心為3 點O在 ABC內(nèi)部且滿足OA 2OB2OC0,那么 ABC面積與凹四邊形ABOC面積之比是3B.-25C.44.ABC的外接圓的圓心為假設(shè)OHOAOBOC ,那么H是ABC的A .外心內(nèi)心C.重心D .垂心5.O是平面上一定點,2 2 2B、C是平面上不共線的三個點， 假設(shè)OA BC OB2CA2 2OC AB，那么O是ABC 的 A .外心B .內(nèi)心C.重心D .垂心6.ABC的外接圓的圓心為O,兩條邊上的高的交點為H ,0H m(OA OB OC),那么實數(shù)且AB 竽=2 ,那么厶ABC為 |AB | |AC|非零向量 AB與AC滿足CAB +竽 ) BC=0|AB| |AC|( )