巧用力矩解平衡問題

1、巧用力矩解平衡問題王云波 上海市育誠高級(jí)中學(xué) 200233限于知識(shí)的難度和學(xué)生的實(shí)際情況等，中學(xué)物理中，物體在平面力系作用下保持平衡的問 題，常細(xì)化為二力平衡、共點(diǎn)力平衡及有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸物體的平衡。而重點(diǎn)研究二力平衡、共點(diǎn) 力平衡問題。力矩知識(shí)主要用來解決有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸物體的平衡問題或必須選定轉(zhuǎn)動(dòng)軸才能解決 的問題。但是需要指明，物體在平面力系作用下保持平衡的充要條件是：作用于物體的平面力 系矢量和為零，對(duì)和力作用平面垂直的任意軸的力矩代數(shù)和為零。處于平衡狀態(tài)的的物體，可 以是靜平衡，即物體既無平動(dòng)也無轉(zhuǎn)動(dòng)保持靜止；也可以是動(dòng)平衡，即物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)或 勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。因此，受平面力系而處于平衡狀態(tài)的

2、物體，其所受的共點(diǎn)力平衡與力矩平衡是統(tǒng)一 在一起的。在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中，碰到既可以用共點(diǎn)力平衡解決又可以用力矩平衡解決的問題時(shí) 常常比擬迷茫，認(rèn)為共點(diǎn)力平衡與力矩平衡是互相排斥的。其實(shí)不然，只是平時(shí)我們接觸到的 問題要么突出共點(diǎn)力，要么突出力矩，而淡化另一方面。當(dāng)有些問題同時(shí)需要滿足兩方面條件 比擬明顯時(shí)，平衡的充要條件就突出了。這兩方面是相輔相成的，甚至看似用共點(diǎn)力解決的問 題，假設(shè)換一個(gè)角度，用力矩來解那么可以獨(dú)辟蹊徑，事半功倍。特別在以下幾個(gè)方面用力矩往 往有獨(dú)到的用法。1、共點(diǎn)力平衡問題可以轉(zhuǎn)換為力矩平衡問題情況。當(dāng)物體受力復(fù)雜時(shí)且作用點(diǎn)不在一點(diǎn) 此時(shí)作用線仍交于一點(diǎn)時(shí)，取受力最復(fù)雜的點(diǎn)

3、為轉(zhuǎn)動(dòng)軸可以減小分析力的個(gè)數(shù)過轉(zhuǎn)動(dòng)軸 的力矩為零，可以不分析其力；特別是有兩個(gè)以上的物體系統(tǒng)，整體法用力矩平衡解答更簡 潔。例1、兩球A、B帶同種電荷，A質(zhì)量為m ,帶電為qi, B質(zhì)量為m2, 帶電為q2。平衡如以下圖，兩球處于同一水平線上，兩邊i= 2。那么(1)兩小球的質(zhì)量關(guān)系為 ; (2)假設(shè)A質(zhì)量為m i =m, B質(zhì)量為m2=2m,那么i和2關(guān)系是。解析：用共點(diǎn)力平衡條件，對(duì)小球 A，受繩拉力T、庫侖力Fi、重力 mig作用，建立水平和豎直方向坐標(biāo)系，有Fi-Tsin i=0 ;Tcos i-m ig=0 ,得 tg i= -F = kqiq；。同理，對(duì) B 有 migmigrtg

4、FF2=m2g。因?yàn)?1= 2, Fi=F2，所以 tg i=tgmgr2，可得mi= m2。此法較繁，假設(shè)用力矩平衡那么很簡。取 A、B整體對(duì)象，以懸掛點(diǎn)為轉(zhuǎn)動(dòng)軸，那么可以回避兩球間的庫侖力、繩對(duì)兩球的拉力，對(duì)系統(tǒng)由力矩平衡條件有： migLsin i=m 2gLsin 2,因?yàn)閕= 2,所以有mi=m 2。學(xué)習(xí)文檔僅供參考特別對(duì)于第二問，用共點(diǎn)力平衡很繁，用力矩平衡有：migLsin i=m 2gLsin 2, m i=m , m2=2m可得：Sin-1=2。由此看，用力矩平衡解答此類問題，既減少了分析力的個(gè)數(shù)，又可以大大簡 sin 2化數(shù)學(xué)運(yùn)算。例2、如以下圖，光滑圓弧形環(huán)上套有兩個(gè)質(zhì)量

5、不同的小球A和B兩球之間連有彈簧,平衡時(shí)圓心0與球所在位置的連線與豎直方向的夾角分別為a和3,求兩球質(zhì)量之比。解析：此題可以分別分析小球A、B所受共點(diǎn)力，對(duì)每個(gè)球列共點(diǎn)力平衡方程求解，但是很繁瑣。假設(shè)換一個(gè)角度，以0為軸用力矩求解那么較方便。如右以下圖,小球A受到Ni、N2、 m ig三個(gè)力作用， B受到Ni '、N3、m2g三個(gè)力作用。與彈簧一起看作繞過 0點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)軸平衡問題，其中N2、N3沒有力臂，Ni和Ni'的力矩互相抵消。于是有：migRsin a=m2gRsin3,所以有:mim2sinsin2、用于求極值情況。一般情況下，由某一物理規(guī)律建立的函數(shù)關(guān)系，再求某一物理量

6、極 值問題，函數(shù)關(guān)系要具有非單調(diào)性。因此常見的要么是二次函數(shù)求極值，要么是三角函數(shù)求極 值。如此就要建立二次方程或三角方程，然后經(jīng)過數(shù)學(xué)運(yùn)算求極值。碰到三角函數(shù)，求極值又 很難，并且加重了數(shù)學(xué)知識(shí)得運(yùn)用而淡化了物理思想和方法。而用力矩解可以將過轉(zhuǎn)動(dòng)軸的力 不用考慮，不僅減少分析力的個(gè)數(shù)，也使建立的方程或函數(shù)關(guān)系由二次變?yōu)橐淮危瑥亩喕\(yùn) 算，更突出了物理思維。例3.如以下圖，質(zhì)量分別為 2 m和3m的兩個(gè)小球固定在一根直角尺的兩端A、B,直角尺的頂點(diǎn)0處有光滑的固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸。 AO B0的長分別為2L和L。開始時(shí)直角 尺的A0局部處于水平位置而 B在0的正下方。讓該系統(tǒng)由靜止開始自由轉(zhuǎn) 動(dòng)，求：

7、開始轉(zhuǎn)動(dòng)后 B球可能到達(dá)的最大速度 Vm。解析：球速度最大時(shí)就是系統(tǒng)動(dòng)能最大時(shí)，而系統(tǒng)動(dòng)能增大等于系統(tǒng) 重力做的功 Wg。設(shè)0A從開始轉(zhuǎn)過B角時(shí)B球速度最大，亦即系統(tǒng)動(dòng)能最大，有:求該EkM的極值，得0=53 0再代入原方程，vm 4gL。解此方V 11程包含求三角方程及求極值，比擬繁瑣。假設(shè)另辟蹊徑，從力矩角度那么可使問題簡化。實(shí)際上，當(dāng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度最大時(shí)亦即兩球速度最大時(shí)，此時(shí)系統(tǒng)所受合力矩為零(每個(gè)小球受力并不平衡，其3mgQB2mgEkM = 1 2m 2v 221 23m v =2 mg 2Lsin 0-3 mg L(1-cos 0)= mgL (4sin 0+3cos 0-3)2

8、所受合力充當(dāng)向心力)。對(duì)系統(tǒng)，取 0點(diǎn)為軸，力矩平衡時(shí)設(shè)轉(zhuǎn)過 有0角，有：3mgLsin 9=2mg2Lcos 0,得 tg 0=4/3, 0=53 0 再代入1 2 1 22m 2v3m v =2 mg 2Lsin 0-3 mg L(1-cos 0)2 2亦可得結(jié)果，但是防止了數(shù)學(xué)的繁雜運(yùn)算，突出了物理思想。例4 .x 106V/m ,絲線長l=40cm x 10-4kg x 10-10C的小球，將小球從最低點(diǎn) A由靜止釋放,E求：小球擺到最高點(diǎn)時(shí)絲線與豎直方向的夾角多大？擺動(dòng)過程中小 球的最大速度是多大？(g=/s2)解析：設(shè)向右擺最大至®角，對(duì)小球應(yīng)用動(dòng)能定理，有：qELsin

9、 ®-mgL(1-cos ®)=0,sin ®+cos ®-1=0，可求得®740。 2又設(shè)擺至0角時(shí)速度最大,有 qELsin 0-mgL(1-cos0)=mVM2,引入a中間量,2人mg令 tg a=,qE可得 (mg)2 (qE)2sin()-mg 2mVM ，因?yàn)槌?，從而得a0.75=53 °,即 0=37 0時(shí)，速度極值為VM=/s。顯然，此法非常繁瑣，且主要工作在解三角方程上了，背離物理意義 太遠(yuǎn)。在解決第二問時(shí)，假設(shè)將小球看作受重力和電場力關(guān)于懸點(diǎn)力矩平衡求解那么大大簡化。設(shè)B角時(shí)速度最大，也即力矩平衡，有qELcos

10、 B=mgLsin得tg 0= mg =0.75，得0=37 °。由qE動(dòng)能定理得最大速度VM=/S 。FOm例5半徑分別為r和2r的兩個(gè)質(zhì)量不計(jì)的圓盤，共軸固定連結(jié) 在一起，可以繞水平軸 0無摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)，大圓盤的邊緣上固定有一個(gè)質(zhì) 量為m的質(zhì)點(diǎn)，小圓盤上繞有細(xì)繩。開始時(shí)圓盤靜止，質(zhì)點(diǎn)處在水平軸O的正下方位置?，F(xiàn)以水平恒力 F拉細(xì)繩， 使兩圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)，假設(shè)恒 力F=mg,兩圓盤轉(zhuǎn)過的角度0 =時(shí)，質(zhì)點(diǎn)m的速度最大。假設(shè)圓盤轉(zhuǎn)過的最大角度0= n /3，那么此時(shí)恒力F=。1 2mv =Fr 0-mg(2r-2rcos解析：此題假設(shè)用函數(shù)極值法 ，由動(dòng)能定理有:0),可得v= J2gr( 2

11、cos 2),然后求極值，很難求。換用力矩平衡條件，對(duì)盤、質(zhì)點(diǎn)整體，以O(shè)為軸，當(dāng)Fr=mg2Rsin 0時(shí)，轉(zhuǎn)速最大即質(zhì)點(diǎn)速度最大，得sin 0=-，所以有0 =。當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)過最大角度0=時(shí)，由動(dòng)能定理有263Fr$ 2mgr(1 cos§)0 ,可得 f= 3。3、有時(shí)一個(gè)平面力系不是共點(diǎn)力，如果不經(jīng)轉(zhuǎn)化，無法用共點(diǎn)力平衡條件，只能用力矩 平衡解答。因?yàn)檫x取轉(zhuǎn)動(dòng)軸后，可以不分析軸上的力，使得分析力的個(gè)數(shù)減少了。而選取不同 的轉(zhuǎn)動(dòng)軸可以避開分析不同的力，從而使問題簡化。例6、如右上圖，半徑為 R的均勻圓柱體重30 N,在水平繩的拉力作用下，靜止于固定斜面上，求：(1)繩子的拉力，(2)斜面對(duì)圓柱體的支持力，(3)斜面對(duì)圓柱體 的摩擦力。解析：如右以下圖，圓柱體受重力、斜面的支持力和摩擦力、繩拉力四個(gè)力。此四力不是共點(diǎn)力。不可以將繩拉力T,摩擦力f平移到柱體重心處。用共點(diǎn)力平衡條件解決較繁將斜面