第六章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計

1、第六章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計6.1 數(shù)字濾波器的基本概念1、定義數(shù)字濾波器是指輸入、輸出均為數(shù)字信號，通過一定運算關(guān)系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分的器件。2. 數(shù)字濾波器與模擬濾波器比較(1)在概念上相同，只是信號的形式和實現(xiàn)濾波器方法不同。(2)較模擬濾波器精度高，穩(wěn)定，體積小，重量輕，靈活，不要求阻抗匹配以及實現(xiàn)模擬濾波器無法實現(xiàn)的特殊濾波器功能等優(yōu)點。(3)數(shù)字濾波器處理模擬信號，用和轉(zhuǎn)換。3. 數(shù)字濾波器分類(1)經(jīng)典濾波器：特點是輸入信號中有用成分和濾除成分各占有不同頻帶。(2)現(xiàn)代濾波器：如維納斯濾波器、卡爾曼濾波器、自適應(yīng)濾波器等，這些濾波器可根

2、據(jù)隨機信號內(nèi)部的一些統(tǒng)計分布規(guī)律，從干擾中最佳地提取信號，即使信號與干擾的頻帶相互重疊，則可以完成對干擾的有效濾波。4. 數(shù)字濾波器設(shè)計的一般步驟：(1)按照任務(wù)的要求，確定濾波器的性能要求。(2)用一個因果穩(wěn)定的離散線性時不變系統(tǒng)函數(shù)去逼近這一性能。系統(tǒng)函數(shù)有系統(tǒng)函數(shù)和系統(tǒng)函數(shù)兩種。(3)利用有限精度算法來實現(xiàn)這個系統(tǒng)函數(shù)。包括選擇基本運算結(jié)構(gòu)，選擇合適的字長以及有效數(shù)字的處理方法。 設(shè)計 選擇技術(shù)指標網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)軟件（或硬件）實現(xiàn)5.數(shù)字濾波器分類可以分為無限脈沖響應(yīng)和濾波器，它們的系統(tǒng)函數(shù)分別為： IIR FIR6.理想濾波器的幅頻特性如下圖圖1 理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅度特性7.

3、 數(shù)字濾波器的技術(shù)要求(1)數(shù)字濾波器（選頻器）其傳遞函數(shù)表示如下： 式中為幅頻特性，為相頻特性。 (2)一般選頻濾波器的技術(shù)要求由幅頻給出，相頻特性不做要求。(3)實際中通帶和阻帶中都允許一定的誤差容限，在通帶與阻帶之間設(shè)置一定的寬度的過渡帶。(4)圖2給出了低通濾波器的幅頻特性，分別為通帶和阻帶截止頻率。 圖2 低通濾波器的技術(shù)要求通帶頻率范圍為，在通帶中要求，通帶內(nèi)允許的最大衰減用表示 阻帶頻率范圍為，在阻帶內(nèi)要求，阻帶內(nèi)允許的最小衰減用表示 當幅度為 時，此時，故稱為通帶截止頻率。、和稱為邊界頻率，在濾波器設(shè)計中很重要。8. 設(shè)計數(shù)字濾波器有以下兩種方法：(1) 先設(shè)計一個合適的模擬濾

4、波器，然后變換成滿足預定指標的數(shù)字濾波器(即先設(shè)計)，再轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的函數(shù)。優(yōu)點是模擬濾波器設(shè)計方法成熟。(2) 計算輔助設(shè)計法，是直接在頻域或者時域中進行設(shè)計，由于要聯(lián)立方程，設(shè)計時需要計算機做輔助設(shè)計。6.2 模擬濾波器的設(shè)計1、概述(1) 模擬濾波器設(shè)計方法已相當成熟，有嚴格的設(shè)計公式，現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計人員使用。(2) 常用的模擬濾波器：巴特沃斯，切比雪夫，橢圓，貝塞爾濾波器等。(3) 設(shè)計濾波器時，總是先設(shè)計低通濾波器，再通過低通濾波器轉(zhuǎn)換成希望類型的濾波器。2.模擬濾波器的設(shè)計指標及逼近方法(1)設(shè)計指標：，和。其中，分別為通帶截止頻率和阻帶截止頻率，為通帶（0）的最大衰減

5、系數(shù)，為阻帶（）最小衰減系數(shù)，用表示。 (1) (2)(2)逼近法在指標給定后，需要設(shè)計一個傳輸函數(shù)，希望其幅度平方函數(shù)滿足給定的指標和。用，和求出濾波器的，那么就可得到所需的，這時必須是穩(wěn)定的，因此極點必須落在平面的左半平面，相應(yīng)的極點落在右半平面。3. 巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計方法(1) 巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)如下： (3)式中為濾波器的階數(shù)。當時，=1當時，=1/當時，隨加大，幅度迅速下降，下降速度與階次有關(guān)。圖3 低通濾波器的幅度特性 (2 ) 將幅度平方函數(shù)寫成的函數(shù) (4)上式表明幅度平方有2個極點，極點用下列式子表示為 (5)個極點等間隔分布在半徑為的圓上，間隔為。(3

6、) 的極點分布特點是：極點在平面是象限對稱的，分布在的圓上，共有2個極點，等間隔。極點絕不會落在虛軸上，因而濾波器才有可能是穩(wěn)定的。為奇數(shù)時，實軸上有極點，為偶數(shù)時，實軸上沒有極點。例如：=3時，的極點分布如下圖 圖4 三階巴特沃斯濾波器極點分布在左半平面的極點即為的極點,因而(其中系數(shù)由可以求出)而為使設(shè)計統(tǒng)一，將所有頻率歸一化，采用3截止頻率進行歸一化。 式中， (6)令歸一化頻率；令歸一化復變量，這樣歸一化后的巴特沃斯傳輸函數(shù)為 (7)式中，為歸一化極點，用公式表示為： (8)計算的步驟如下：Step1，根據(jù)技術(shù)指標計算出階數(shù)；Step2，用求出個極點；Step3，再用計算出歸一化傳遞函

7、數(shù)；Step4，確定再去歸一化，即將代入中，得到。求出（由技術(shù)指標，和計算） 由上面兩式可得：（9）同理 由上面兩式可得：（10）聯(lián)立（9）和（10）可得 上式求出的可能是小數(shù)，應(yīng)取大小等于的最小整數(shù)。的確定l 阻帶指標有富裕量，由（9）式得： l 通帶指標有富裕量，則由（10）式得：將（8）式代入（7）式得到的分母是的階多項式，用下式表示歸一化系數(shù)，極點可由表6.2.1（P157）得到，這樣只要求根據(jù)設(shè)計指標求出階數(shù)，查表可得及各極點，省去了許多運算工作。 例：導出三階巴特沃斯題通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，設(shè)。 解：幅度平方函數(shù)是 令，則有 ,極點，前面三個，就是的極點，平面左半邊極點 由，三個極點

8、構(gòu)成的系統(tǒng)函數(shù)為 =設(shè)計模擬低通濾波器的步驟：由技術(shù)指標（，和）計算和，進而得到模擬低通濾波器的。例6.2.1 已知通帶截止頻率，通帶最大衰減，阻帶截止頻率，阻帶最小衰減按照以上技術(shù)指標設(shè)計巴特沃斯題通濾波器。解：(1)確定階數(shù) 因為，=0.0242 ，則，取。 (2)方法一（極點法）：由，求出歸一化極點為： ，代入下式求出歸一化傳輸函數(shù)為上式分母可以展開形成五階多項式，或共軛極點放在一起形成因式分解形式。方法二（查表法）：由查表可得， 式中=1.0000，=3.2361，=5.2361，=5.2361，=3.2361將去歸一化，先求3截止頻率， 將代入中得到 （3）巴特沃斯低通濾波器設(shè)計方法

9、總結(jié)l 方法1：極點法 用代入去歸一化l 方法2：查表法 查表得歸一化系統(tǒng)函數(shù)例題：設(shè)計一個巴特沃斯低通濾波器，滿足以下技術(shù)指標：在通帶上衰減不大于，在阻帶截止頻率上衰減不小于，分別用極點法和查表法求傳輸函數(shù)。解：設(shè)計步驟分三步：(1)確定技術(shù)指標，求出階數(shù)和截止頻率 ， ， 取，得 由通帶指標求出進行設(shè)計，通帶指標能準確滿足要求，阻帶指標將超過要求。(2)求歸一化傳輸函數(shù) 方法一：求歸一化極點（左邊平面極點） ， ， 方法二：查表求， (3)去歸一化 5. 模擬濾波器的頻率變換模擬高通，帶通，帶阻濾波器設(shè)計(1) 一般濾波器的設(shè)計方法 把技術(shù)指標轉(zhuǎn)變成低通濾波器的技術(shù)指標。 按技術(shù)指標設(shè)計低

10、通濾波器。 再將低通濾波器的傳輸函數(shù)換成所需類型的濾波器傳輸函數(shù)。(2) 對符號規(guī)定 低通傳輸函數(shù)用表示，；歸一化頻率用表示；，稱為歸一化拉氏變量。 所需類型（如高通）傳遞函數(shù)用表示，；歸一化頻率用表示；令，并將稱為歸一化拉氏變量，稱為歸一化傳遞函數(shù)。(3) 低通到高通的頻率變換 低通和高通幅頻特性如下圖 的關(guān)系將和對應(yīng)起來看有： 為低通到高通的頻率變換公式。如果已知低通，高通，則下式轉(zhuǎn)換 模擬高通濾波器的設(shè)計步驟如下：l 確定高通技術(shù)指標：通帶下限，阻帶上限，通帶最大衰減，阻帶最小衰減。l 確定相應(yīng)低通濾波器的設(shè)計指標：低通濾波器通帶截止頻率；低通濾波器阻帶截止頻率；通帶最大衰減仍為，阻帶最

11、小衰減仍為。l 設(shè)計歸一化低通濾波器l 求模擬高通的 例6.2.3 設(shè)計高通濾波器，幅度特性單調(diào)下降，處最大衰減為，阻帶最小衰減。 解： 高通技術(shù)指標： 歸一化頻率： 低通技術(shù)指標： 設(shè)計歸一化低通，采用巴特沃斯濾波器，故， 取N=3 (查表N=3 ) 求模擬高通： ，式中(4)低通到帶通的頻率變換 帶通和低通濾波器的幅度特性如下圖所示 圖2 帶通與低通濾波器的幅度特性 圖中和分別為帶通濾波器的通帶上限和下限頻率；令稱B為通帶帶寬，一般用B作歸一化參數(shù)（）；和分別稱為下阻帶上限和上阻帶下限頻率。定義，稱為通帶中心頻率，歸一化邊界頻率用下式表示： 帶通和低通的幅度特性對應(yīng)起來，得到和的對應(yīng)關(guān)系如

12、下表00 由和的對應(yīng)關(guān)系可得： (1) 由上面公式和對應(yīng)關(guān)系求， 下面推導歸一化低通到帶通的轉(zhuǎn)換公式ü 由于，將其代入(1)式得： ü 將代入上式，得： ü 將代入上式去歸一化: ü 因此 模擬帶通濾波器設(shè)計步驟總結(jié) 確定模擬帶通濾波器技術(shù)指標，即：帶通上限頻率，帶通下限頻率，下阻上限頻率，上阻下限頻率，通帶中心頻率，通帶寬度。歸一化： ，通帶最大衰減，阻帶最小衰減。確定歸一化低通指標與的絕對值不相等，一般取絕對值小的。由設(shè)計歸一化低通。由得到。例6.2.4 設(shè)計模擬帶通濾波器，通帶帶寬，中心頻率，通帶內(nèi)最大衰減，阻帶，阻帶最小衰減。解：模擬帶通濾波器的

13、指標要求： ， ， ， 模擬歸一化低通濾波器技術(shù)要求： 取， 設(shè)計模擬歸一化低通濾波器,采用巴特沃斯型，有，取N=3,查表6.2.1，得 求模擬帶通 （5）低通到帶阻的頻率變換1）、低通與帶阻濾波器的頻率變換 圖3 低通與帶阻濾波器的幅頻特性圖中：為下通帶截止頻率；為上通帶截止頻率；為阻帶下限頻率 為阻帶上限頻率；為阻帶中心頻率；B為阻帶寬度，作為歸一化參考頻率。相應(yīng)的歸一化頻率為， 。2）將低通和帶阻濾波器對應(yīng)起來，得出和的對應(yīng)關(guān)系，如下表 根據(jù)和的對應(yīng)關(guān)系，可得： (1) 且，(1)式稱為低通到帶阻的頻率變換公式。3）將(1)式代入，并去歸一化，可得 則歸一化低通轉(zhuǎn)換成帶阻的頻率變換公式為

14、 4）下面總結(jié)設(shè)計帶阻濾波器的步驟： 確定模擬帶阻濾波器的技術(shù)要求下通帶截止頻率；上通帶截止頻率；阻帶下限頻率；阻帶上限頻率；阻帶中心頻率；阻帶寬度；它們相應(yīng)的歸一化頻率為：，。通帶最大衰減和阻帶最小衰減 確定歸一化模擬低通技術(shù)要求取和的絕對值較小的。通帶最大衰減為，阻帶最小衰減。 設(shè)計歸一化模擬低通。 按照直接將轉(zhuǎn)換成帶阻濾波器。 例6.2.5 設(shè)計模擬帶阻濾波器，其基本要求：，試設(shè)計巴特沃斯帶阻濾波器。解： 模擬帶阻濾波器的設(shè)計要求： ， ,，,，, 歸一化低通濾波器的技術(shù)指標： ，取， 設(shè)計歸一化低通濾波器為 ，故取N=2，查表可得 帶阻濾波器的為 6.3 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計IIR數(shù)字

15、濾波器 1、利用AF理論和設(shè)計方法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器的常用過程(1) 按技術(shù)要求設(shè)計模擬濾波器。 (2) 再將H(z)數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)。 2、完成s平面到z平面的轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換優(yōu)劣主要從兩方面考察(1)穩(wěn)定性H(z)應(yīng)保持的因果穩(wěn)定性，即s平面的左半平面應(yīng)該映射到z平面的單位圓內(nèi)。(2)逼近程度S平面的虛軸應(yīng)映射到z平面的單位圓上；模擬角頻率和數(shù)字角頻率w之間成線性關(guān)系，。 3、從轉(zhuǎn)換成H(z)方法工程上常用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性不變法。 4、脈沖響應(yīng)不變法Z變換時域采樣拉氏逆變換(1) 轉(zhuǎn)換原理 (2) 轉(zhuǎn)換過程1) 只有單極點 設(shè)只有單極點，分母和分子多項式分別是N階和M階（N>M

16、），則可分解成N個部分分式之和 (1)式中為的單階極點。 對進行拉氏變換得 (2) 對進行等間隔T采樣得 (3) 對(3)式進行z變換 (4)比較(1)和(4)式,的極點映射到z平面，其極點變成，系數(shù) 不變。2) 若含有高階極點若有高階極點,則需按以下流程一步一步進行設(shè)計： 前面單階(3) s平面與z平面之間的關(guān)系 ：s虛軸對應(yīng)z平面單位圓上 ：s虛軸左半邊對應(yīng)z平面單位圓內(nèi)：s虛軸右半邊對應(yīng)z平面單位圓外(4) 注意到是一個周期函數(shù)，可寫成，M為任意整數(shù)，即是以為周期。當不變，模擬頻率變化的整數(shù)倍時，映射值不變。即將S平面沿軸分割成一條條寬為的水平帶。每條水平帶都映射到整個z平面。此時，所在

17、的s平面與所在z平面關(guān)系如下圖所示。(5)混疊現(xiàn)象 是的采樣信號，兩者LT變換關(guān)系如下： ，即是以為周期，沿著虛軸對進行周期延拓而成。 如果原模擬信號的頻帶不是限于之間，則會在的奇數(shù)倍附近產(chǎn)生頻率混疊，映射到z平面在附近產(chǎn)生混疊。 脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象如下圖 圖5 脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象 克服混疊現(xiàn)象的方法：在實際上的頻響不可能真正帶限，只要在折疊以上頻響衰減加快，即銳截止，用此方法設(shè)計的數(shù)字濾波器仍能較好地滿足要求。此方法，適合于低通和帶通濾波器設(shè)計，不適合高通，帶阻濾波器設(shè)計。(6) 優(yōu)缺點優(yōu)點： 頻率坐標變換是線性，若不考慮頻率混疊現(xiàn)象，用這種方法設(shè)計的數(shù)字濾波器會很好地重

18、現(xiàn)模擬濾波器的頻率特性。 數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)。缺點：會有頻率混疊現(xiàn)象，適合低、帶通，不適合高、帶阻通濾波器。例題：，試用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計IIR的H(z)，設(shè)T=0.5解：將展開成部分分式 其中 因此，有兩個極點，映射z平面，極點則為 將T=0.5代入上式得 6.4 用雙線性變換法IIR數(shù)字低通濾波器1、引入脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點是產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象。產(chǎn)生原因：模擬低通的最高頻率超過折疊頻率，在數(shù)字化后產(chǎn)生了頻率混疊，再通過標準映射，結(jié)果在附近形成頻率混疊現(xiàn)象。2、克服上述缺點的辦法采樣非線性頻率壓縮方法，將整個頻域軸上的頻率范圍壓到之間，再用變換到z平面

19、上，克服了頻率混疊現(xiàn)象。 3、(1) 設(shè)，經(jīng)過非線性頻率壓縮后，用，表示，這時用下列正切變換實現(xiàn)頻率壓縮 (1)其中T為采樣間隔。當從經(jīng)過0變化到時，從經(jīng)0變化到，實現(xiàn)了s平面上整個虛軸完全壓縮到平面上虛軸的之間的轉(zhuǎn)換。(2) 將(1)式兩端同時乘以j得 因此： (2)(4)再通過將從s平面映射到z平面上的得： 因此： (3)稱式(3)為雙線性變換。從s平面映射到平面，再從平面映射到z平面，其映射情況如下圖 圖5 雙線性變換的映射關(guān)系說明：由于從s平面到平面具有非線性頻率的壓縮功能，因此不可能產(chǎn)生混疊現(xiàn)象，這就是雙線性變換法比較脈沖響應(yīng)不變法的最大優(yōu)點。平面映射到z平面，用，平面上的之間水平帶

20、的左半部分映射到z平面單位圓內(nèi)部，虛軸映射單位圓。 因果穩(wěn)定也是因果穩(wěn)定 (5) 模擬頻率與數(shù)字頻率w的關(guān)系令，并代入得：因此： 說明：說明s平面上的模擬頻率與z平面上的數(shù)字頻率成非線性正切關(guān)系，如圖5所示。與w的非線性關(guān)系是雙線性變換法的缺點，影響數(shù)字濾波器頻響逼真地模仿模擬濾波器的頻響。非線性影響實質(zhì)：如果的刻度是均勻的，則映射到z平面上w的刻度不是均勻的，而是隨w增加愈來愈密。 幅頻與相頻失真情況，如圖6.4.3所示。 圖5 雙線性變換法的頻率變換關(guān)系 (6) 雙線性變換可由將直接變換成，這是該方法的優(yōu)點。但當階次較高時，將整理也不是件容易事。為簡化設(shè)計，已將模擬濾波器各系統(tǒng)經(jīng)雙線性變換

21、法得到的數(shù)字濾波器各系數(shù)之間關(guān)系，列成表格供設(shè)計使用，表6.4.1設(shè) 式中：，和，之間的關(guān)系如表6.4.1所示，在已經(jīng)，時，通過查表獲得，的值，從而得到H(z)。例6.4.1 試分析用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性不變法將下圖所示低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。解：寫出傳輸函數(shù) 令,則 利用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，其傳輸函數(shù)為 利用雙線性變換轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，其傳輸函數(shù)為其中。(7) 利用模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器的步驟： 確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標：通帶截止頻率，通帶衰減，阻帶截止頻率，阻帶衰減。 將數(shù)字低通指標轉(zhuǎn)換成模擬低通指標，主要對邊界頻率和的轉(zhuǎn)換，對和不作變化。 A.采用脈沖響

22、應(yīng)不變法，邊界頻率的轉(zhuǎn)變關(guān)系為： B.采用雙線性變換法，邊界頻率的轉(zhuǎn)變關(guān)系為： 按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標設(shè)計模擬低通濾波器。 將模擬濾波器從s平面轉(zhuǎn)換到z平面，得到數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)。例6.4.2 設(shè)計低通數(shù)字濾波器，要求在通帶內(nèi)頻率低于時，容許幅度誤差在以內(nèi)，在頻率到之間的阻帶衰減大于。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計濾波器。解：(1)用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計數(shù)字低通濾波器 數(shù)字低通的技術(shù)指標為： 模擬低通的技術(shù)指標為： 設(shè)計巴特沃斯低通濾波器，先計算N和截止頻率， 取N=6根據(jù)階數(shù)N=6，查表6.2.1得到歸一化傳輸函數(shù)為： 將代入中去歸一化，得到實際的傳輸函數(shù) 用脈沖響應(yīng)不變法將轉(zhuǎn)換成