殘余應(yīng)力的篩降效應(yīng)及其對矩形板強(qiáng)度的影響

1、殘余應(yīng)力的篩降效應(yīng)及其對矩形板強(qiáng)度的影響鄭剛 胡毓仁（上海交通大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院 200030 上海）摘要：本文研究了船體板中殘余應(yīng)力的篩降，得到了在受拉和受壓情況下的篩降水平的計(jì)算公式，研究了篩降的規(guī)律。用有限元程序模擬了殘余應(yīng)力的篩降過程，驗(yàn)證了公式的有效性。研究了殘余應(yīng)力的篩降對板的平均應(yīng)力-平均應(yīng)變曲線的影響。用兩種方法分別得到了考慮篩降效應(yīng)的板的平均應(yīng)力-平均應(yīng)變曲線的表達(dá)式。用有限元法進(jìn)行了模擬計(jì)算并對兩種方法進(jìn)行了討論。結(jié)果表明用分別計(jì)算受殘余拉應(yīng)力和殘余壓應(yīng)力區(qū)的應(yīng)力得到的平均應(yīng)力-平均應(yīng)變曲線和有限元計(jì)算結(jié)果符合得更好。關(guān)鍵詞：船體結(jié)構(gòu)； 板；殘余應(yīng)力；篩降；平均應(yīng)力-平

2、均應(yīng)變曲線Shake Down Effect of Residual Stressand its Effect on the Strength of Rectangular PlatesZHENG Gang, HU Yu-ren(School of Naval Architecture & Ocean Eng., Shanghai Jiaotong Univ., Shanghai 200030, China)Abstract: The shake down effect is studied and the formula to calculate the level of the s

3、hake down effect is developed. The process of shake down is simulated with FEM program and the effectiveness of the formula is justified. The effect of the shake down on the curve of average stress- average strain is studied. With two different methods, the formula to get average stress-average stra

4、in curve of plates with the shake down of residual stress is deducted. The curve is also calculated with FEA. The result of FEA shows that the method that considers the two parts with residual contract stress and residual compress stress respectively gets the better result.Key words: Ship structure;

5、 plates; residual stress; shake down; average stress-average strain curve在船體板中，殘余應(yīng)力是影響其強(qiáng)度的一個(gè)重要因素。在板的加工過程中，由于切割和焊接，在加工區(qū)產(chǎn)生變形甚至流動(dòng)。在受熱區(qū)冷卻的過程中，由于受到周圍板的限制而不能自由收縮，從而產(chǎn)生了大小達(dá)屈服應(yīng)力的殘余拉應(yīng)力，其寬度可達(dá)幾倍的板厚。在其他部分，則產(chǎn)生與之相平衡的殘余壓應(yīng)力。殘余應(yīng)力的存在使得板的極限強(qiáng)度降低，平均應(yīng)力-平均應(yīng)變曲線變得平滑，對于船體的極限強(qiáng)度有非常重要的影響。在新完工的船中，板中的殘余應(yīng)力是最高的，焊接處的殘余拉應(yīng)力達(dá)到屈服應(yīng)力。但是隨著船

6、舶被使用，船體板經(jīng)歷了加載和卸載的歷程，由于材料塑性的作用，船體板中的殘余應(yīng)力會(huì)下降，這一效應(yīng)被稱為“篩降效應(yīng)”（shake down effect）。本文研究了殘余應(yīng)力的篩降過程，得到了計(jì)算篩降水平的公式。就殘余應(yīng)力對板的強(qiáng)度的影響，很多學(xué)者1-11都進(jìn)行了研究。有的研究4-11集中在殘余應(yīng)力對于板的極限強(qiáng)度的影響，試圖將殘余應(yīng)力作為一個(gè)參數(shù)加入板的極限強(qiáng)度的公式中。Gordo等1和Hu等2試圖得到考慮殘余應(yīng)力的板的平均應(yīng)力-平均應(yīng)變曲線。但是上述研究都沒有考慮板中殘余應(yīng)力的篩降效應(yīng)，認(rèn)為板中的殘余拉應(yīng)力的大小為屈服拉應(yīng)力。本文研究了經(jīng)過了殘余應(yīng)力篩降的板的力學(xué)性能，用兩種方法得到了考慮篩降

7、效應(yīng)的平均應(yīng)力-平均應(yīng)變曲線的表達(dá)式。1、 船體板中的殘余應(yīng)力及其篩降未經(jīng)過殘余應(yīng)力篩降的板中的應(yīng)力分布如圖1(a)所示。通常，這一分布可簡化為如圖1(b)所示：在焊逢周圍處，拉應(yīng)力達(dá)到最大，即屈服應(yīng)力，應(yīng)變?yōu)榍?yīng)變，殘余拉應(yīng)力區(qū)的寬度為幾倍的板厚。在其他地方，有與之相平衡的殘余壓應(yīng)力， 其大小可由平衡條件求得1 10圖2無量綱化后材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系ntb （a） 殘余應(yīng)力的真實(shí)分布 (b) 殘余應(yīng)力的理想化分布圖1 船體板中殘余應(yīng)力的分布 （1）式中b為板的寬度，t為板的厚度。為了方便推導(dǎo)，對于一些量進(jìn)行無量綱化處理：屈服應(yīng)力為1，屈服應(yīng)變?yōu)?，彈性模量為1，并設(shè)材料在屈服后強(qiáng)化時(shí)的模量降

8、為。無量綱化后的材料應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖2所示。1.1受拉并卸載引起的殘余應(yīng)力篩降對板施加大小為的平均拉應(yīng)變，其中。由于拉應(yīng)力區(qū)已經(jīng)達(dá)到屈服應(yīng)力和屈服應(yīng)變，應(yīng)變進(jìn)一步增大時(shí)應(yīng)力的增長按模量，所以其應(yīng)力為1+。對于原壓應(yīng)力區(qū)，壓應(yīng)變逐漸減小并出現(xiàn)拉應(yīng)力。由于這些都發(fā)生在彈性區(qū)，其應(yīng)力和應(yīng)變有線性的關(guān)系，其應(yīng)變?yōu)?，?yīng)力為。這樣產(chǎn)生的平均應(yīng)力為。在加載過程中，并不是板所有的寬度都能有效地抵抗拉力，只有原受壓區(qū)的寬度為的板能夠完全有效地抵抗拉力；而原受拉區(qū)的板由于已經(jīng)達(dá)到屈服應(yīng)力，應(yīng)力的增加不能按原來的模量，而只是增加了。但是在卸載時(shí)情況發(fā)生了變化：隨著應(yīng)變的減小，板的所有寬度內(nèi)的應(yīng)力都隨之以彈性模量1

9、減小，板的所有寬度都是完全有效的。設(shè)應(yīng)變減小時(shí)外力為零，板內(nèi)的拉應(yīng)力和壓應(yīng)力達(dá)到平衡，有 （2） （3）此時(shí)殘余拉應(yīng)力區(qū)的拉應(yīng)力為： （4）其中的即為殘余拉應(yīng)力的下降。當(dāng)材料為理想彈塑性（e=0）時(shí)，殘余拉應(yīng)力的下降值為。1.2 受壓并卸載引起的殘余應(yīng)力篩降受壓時(shí)同樣可產(chǎn)生殘余應(yīng)力的篩降，但由于受壓區(qū)沒有達(dá)到屈服，所以要產(chǎn)生篩降效應(yīng)需要壓力達(dá)到一定的閾值。從上面的推導(dǎo)可以看出產(chǎn)生篩降的機(jī)理是產(chǎn)生塑性應(yīng)變，從而使得加載和卸載的線路不同所致。所以只有當(dāng)壓應(yīng)力足以產(chǎn)生塑性應(yīng)變時(shí)才會(huì)出現(xiàn)篩降效應(yīng)，由上面的分析可見，此時(shí)對應(yīng)的平均壓應(yīng)變?yōu)椤ＴO(shè)板受到大小為的平均壓應(yīng)變，其中。則殘余壓應(yīng)力區(qū)的壓應(yīng)變?yōu)?，壓?yīng)

10、力為。殘余拉應(yīng)力區(qū)的拉應(yīng)變?yōu)?，拉應(yīng)力減小為。這樣板產(chǎn)生的平均應(yīng)力為。設(shè)卸載后平均應(yīng)變減小后平均應(yīng)力為零，則有 （5） （6）此時(shí)殘余拉應(yīng)力區(qū)的拉應(yīng)力為 （7）其中為受拉區(qū)殘余應(yīng)力的下降的大小。當(dāng)材料為理想彈塑性時(shí)，殘余拉應(yīng)力的下降值為。2 用有限元模擬篩降過程對于板在受拉壓情況下的卸載行為用有限元法進(jìn)行了模擬。考慮一塊a*b為1000mm*400mm的矩形平板，厚度t為10mm，彈性模量E為2e5MPa，屈服應(yīng)力為300MPa，屈服應(yīng)變?yōu)?.5e-3，泊松比為0.3。在中間寬度為320 mm的區(qū)域，有大小為0.25的殘余壓應(yīng)力，在兩側(cè)的寬度各為40 mm的區(qū)域有大小為屈服應(yīng)力的殘余拉應(yīng)力。2

11、.1受拉并卸載引起的殘余應(yīng)力篩降施加大小為0.001/0.0015的平均拉應(yīng)變并卸載。當(dāng)屈服后沒有硬化效應(yīng)時(shí)，由式（4）可得其殘余拉應(yīng)力的下降為，即經(jīng)過篩降后殘余拉應(yīng)力為300(1-0.533)=140MPa。對這一過程用MARC程序進(jìn)行了模擬，整個(gè)加載和卸載過程分為50步。計(jì)算結(jié)果見圖3，在第46步增量附近平均應(yīng)力為零，由此可得出對應(yīng)平均應(yīng)力為零時(shí)的殘余拉應(yīng)力為X 受拉區(qū)的應(yīng)力 受壓區(qū)的應(yīng)力 平均應(yīng)力 -平均應(yīng)變（1/100）圖4 含屈服硬化的受拉殘余應(yīng)力篩降 圖3 無屈服硬化的受拉殘余應(yīng)力篩降 140Pma，可以看出和理論值是一致的?？紤]有屈服硬化的情況，給定一個(gè)硬化值，設(shè)e為0.09。由

12、式（4）求得篩降掉的殘余拉應(yīng)力為。篩降后的殘余拉應(yīng)力應(yīng)為（1-0.485）300=154MPa。計(jì)算結(jié)果見圖4，第46和第47步增量之間平均應(yīng)力的值達(dá)到零，插值后對應(yīng)的殘余拉應(yīng)力為154MPa，和理論值也是一致的。2.2 受壓并卸載引起的殘余應(yīng)力篩降在板的一端給出大小為-2的位移并恢復(fù)到零。由于的大小為0.25，則的值為2/1.5-0.75=0.583。當(dāng)沒有屈服硬化時(shí)，由式（7）得到篩降后減少的殘余應(yīng)力為。由此計(jì)算出篩降后的殘余拉應(yīng)力為（1-0.467）*300=160MPa，殘余壓應(yīng)力為40MPa。由MARC計(jì)算的結(jié)果為，平均應(yīng)力為零時(shí)的殘余拉應(yīng)力與殘余壓應(yīng)力分別為160MPa和40MPa

13、，和公式得到的結(jié)果相一致。當(dāng)存在屈服硬化時(shí)，設(shè)e值仍為0.09。則由式（7）得到篩降后的殘余應(yīng)力的下降值為 ，從而得到殘余拉應(yīng)力和殘余壓應(yīng)力分別為（1-0.425）*300=173MPa和43MPa。有限元模擬的結(jié)果分別為和172MPa和42MPa，亦和公式得到的結(jié)果吻合得很好。2.3討論由式（4）和式（7）可以看出，應(yīng)力的篩降和塑性應(yīng)變的大小有關(guān)，與之成正比，并且和屈服硬化的程度有關(guān)，硬化越強(qiáng)，則篩降越小。對于受拉時(shí)的殘余應(yīng)力篩降，考慮理想彈塑性材料：當(dāng)平均應(yīng)變達(dá)到時(shí)，原受壓區(qū)的應(yīng)力達(dá)到屈服應(yīng)力。這時(shí)兩區(qū)域的應(yīng)力情況將相同，殘余應(yīng)力完全消失。將代入式（4）得當(dāng)e為零時(shí)，殘余應(yīng)力的篩降量為1。

14、對于受壓后的篩降效應(yīng)，考慮沒有屈服硬化的情況，當(dāng)平均應(yīng)變?yōu)?時(shí)，原受拉區(qū)的壓應(yīng)力達(dá)到屈服應(yīng)力。在此后的卸載過程中，兩區(qū)域的應(yīng)力曲線將重合，殘余應(yīng)力降為零。由-1+-=-2得，將代入公式（7），當(dāng)e為零時(shí)，得殘余應(yīng)力降為零。上面的討論從另一個(gè)角度驗(yàn)證了公式的有效性。當(dāng)材料存在屈服硬化時(shí)，由于增大應(yīng)變不能使兩部分的應(yīng)力達(dá)到一致，因此無法通過加載和卸載的過程將其殘余應(yīng)力篩降至零。剩余的殘余應(yīng)力的水平和硬化的程度有關(guān)，剩余的無法篩降的殘余拉應(yīng)力的大小為e。如果屈服后模量仍為1，則不存在篩降的現(xiàn)象，如果屈服后模量降為0，則可將殘余應(yīng)力篩降至零。3、 任意殘余拉應(yīng)力下板的平均應(yīng)力-平均應(yīng)變曲線殘余應(yīng)力對于

15、板的平均應(yīng)力-平均應(yīng)變關(guān)系的影響已經(jīng)被很多學(xué)者研究。有的學(xué)者1，2給出了考慮殘余應(yīng)力的平均應(yīng)力-平均應(yīng)變關(guān)系公式。因?yàn)闆]有殘余應(yīng)力的篩降，板中的殘余拉應(yīng)力為屈服應(yīng)力。平均應(yīng)力平均應(yīng)變曲線如圖5（a）所示。圖中三根有殘余應(yīng)力的曲線對應(yīng)的殘余壓應(yīng)力分別為0.1，0.2，0.3，其殘余拉應(yīng)力為1。曲線大致可分為三段，第一段為無影響段，此時(shí)四條曲線是重合的；第二段為殘余應(yīng)力影響段，由于殘余應(yīng)力的大小不同，使曲線和無殘余應(yīng)力的平均應(yīng)力-平均應(yīng)變曲線產(chǎn)生了分離，并且分離的時(shí)間和殘余應(yīng)力的水平有關(guān)；第三段為影響消失段，此時(shí)曲線再度重合，并且各殘余應(yīng)力水平的曲線是在同一點(diǎn)重合的。而對于經(jīng)過了篩降的殘余應(yīng)力，板

16、邊的殘余應(yīng)力已經(jīng)小于屈服應(yīng)力。這樣就影響到了板的平均應(yīng)力-平均應(yīng)變曲線。經(jīng)過了殘余應(yīng)力的篩降，板的平均應(yīng)力-平均應(yīng)變曲線如圖5（b）所示。圖中的殘余壓應(yīng)力的水平分別為0.3，0.2，0.1，0。對應(yīng)的殘余壓應(yīng)力的水平分別為1，2/3，1/3，0。經(jīng)過了不同水平篩降的板的平均應(yīng)力-平均應(yīng)變曲線的第二段是一組平行線，和無殘余應(yīng)力的板的平均應(yīng)力-平均應(yīng)變曲線相交在不同的位置。根據(jù)是否將殘余壓應(yīng)力區(qū)和殘余拉應(yīng)力區(qū)分別考慮，研究帶有殘余應(yīng)力的板的平均應(yīng)力-平均應(yīng)變關(guān)系的半經(jīng)驗(yàn)方法有兩種，下面用這兩種方法分別得到帶任意殘余應(yīng)力的板的平均應(yīng)力-平均應(yīng)變曲線。 無殘余應(yīng)力 殘余應(yīng)力為0.1 殘余應(yīng)力為0.2

17、- 殘余應(yīng)力為0.3(a) 無殘余應(yīng)力的篩降 (b) 經(jīng)過了殘余應(yīng)力的篩降圖5 經(jīng)過和未經(jīng)過篩降的平均應(yīng)力-平均應(yīng)變曲線3.1方法一圖6 帶有殘余應(yīng)力的剛性板的平均應(yīng)力-平均應(yīng)變曲線J.M. Gordo和Guedes Soares1 研究了有殘余應(yīng)力的板的平均應(yīng)力-平均應(yīng)變曲線，用經(jīng)驗(yàn)的方法得到了其公式。其思路如下：首先研究帶有殘余應(yīng)力的剛性板的應(yīng)力應(yīng)變曲線，然后將板的柔度的概念拓展并由此得到拓展的有效寬度。將有效寬度作為平均應(yīng)力的一個(gè)折減系數(shù)對板的平均應(yīng)力-平均應(yīng)變進(jìn)行折減，從而得到板的平均應(yīng)力-平均應(yīng)變曲線。但是Gordo和Guedes Soares考慮的板中的受拉的殘余應(yīng)力為材料的屈服應(yīng)

18、力。下面就用這一思路來研究殘余應(yīng)力經(jīng)過了篩降的板的平均應(yīng)力-平均應(yīng)變曲線。研究無初始變形的剛性板，當(dāng)板中沒有殘余應(yīng)力時(shí)，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可由下面的公式描述 （8）對于有殘余壓應(yīng)力和殘余拉應(yīng)力的剛性板，其平均應(yīng)力-平均應(yīng)變曲線如圖6所示，共分為三段。AB段為完全有效段，斷面上所有的部分都能有效地承受載荷。BC段為部分有效段，此時(shí)斷面上中間部分的板已經(jīng)達(dá)到屈服應(yīng)力，隨著應(yīng)變的增加，應(yīng)力不再增加，而是保持為屈服應(yīng)力。原受殘余拉應(yīng)力的板還能有效地承受載荷。CD段為完全屈服段，此時(shí)板中所有的部分都已經(jīng)達(dá)到屈服應(yīng)力。板的強(qiáng)度達(dá)到最大并且隨著平均應(yīng)變的增加不再發(fā)生變化。由對應(yīng)力的分析可得B點(diǎn)的坐標(biāo)為1-。對于

19、C點(diǎn)的坐標(biāo)，以往研究的都是未經(jīng)殘余應(yīng)力篩降的情況，橫坐標(biāo)為2?？紤]到殘余應(yīng)力的篩降，得其橫坐標(biāo)為。時(shí)即無殘余應(yīng)力篩降的情況。由此得到有殘余應(yīng)力的剛性板的平均應(yīng)力-平均應(yīng)變曲線為 （9）將有效寬度的概念進(jìn)行拓展，定義板的有效柔度如下 （10）其中，為板的柔度。定義板的有效寬度為 （11）由式（9）和式（11）得到帶有殘余壓應(yīng)力和拉應(yīng)力的板的平均應(yīng)力-平均應(yīng)變曲線 （12）3.2 方法二研究帶有殘余應(yīng)力的板的強(qiáng)度的另一種方法是分別考慮殘余拉應(yīng)力區(qū)和殘余壓應(yīng)力區(qū)，將結(jié)果綜合后得到板的平均應(yīng)力-平均應(yīng)變曲線。對于受殘余拉應(yīng)力的兩邊，認(rèn)為這兩部分一直能完全有效地承載，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系即為材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

20、，于是有 （13）在受壓區(qū)域，由于有殘余應(yīng)力，其有效柔度為 （14）由此得到其有效寬度為 （15）當(dāng)中間部分的板能完全有效地承載時(shí)，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為 （16）由此得到板中間部分的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為 （17）綜合上面的分析得到板的平均應(yīng)力-平均應(yīng)變曲線 有限元 方法一 方法二圖7 兩種方法計(jì)算的結(jié)果和有限元結(jié)果的比較 （18）3.3模擬結(jié)果及比較用這兩種方法得到的曲線的比較見圖7。用有限元程序MARC對帶有殘余應(yīng)力的板也進(jìn)行了分析，得到了平均應(yīng)力平均應(yīng)變曲線也見圖7。從中可以看出：1 從極限強(qiáng)度的結(jié)果來看，兩種方法計(jì)算的結(jié)果和有限元的結(jié)果都是吻合得比較好的。但是從曲線的形狀來看，方法二和有限元分析的

21、結(jié)果吻合的更好。2 從計(jì)算結(jié)果來看，方法二得到的結(jié)果于時(shí)取得最大值（或者是一個(gè)折角點(diǎn)）。但是其曲線與無殘余應(yīng)力的板的平均應(yīng)力-平均應(yīng)變曲線相交于更早的一個(gè)地方，這與人們一般的認(rèn)識似乎不相符合。這一現(xiàn)象可能是由于下面的原因造成的。在有殘余應(yīng)力的板中，對應(yīng)于相同的平均應(yīng)變，由于其邊緣部分的塑性應(yīng)變比沒有殘余應(yīng)力的板的塑性應(yīng)變小，使得有殘余應(yīng)力的板邊能更有效地承載。雖然有殘余應(yīng)力的板的中間部分的塑性應(yīng)變較沒有殘余應(yīng)力的板為大，但此時(shí)有效寬度對于應(yīng)變已不太敏感。綜合兩個(gè)方面的影響造成了帶殘余應(yīng)力的板在屈服后的強(qiáng)度大于沒有殘余應(yīng)力的板的強(qiáng)度。方法一將板作為一個(gè)整體來考慮，將用平均應(yīng)變定義的有效寬度作為板

22、的平均應(yīng)力的一個(gè)折減系數(shù)，從而在無初始變形的剛性板的平均應(yīng)力-平均應(yīng)變曲線的基礎(chǔ)上得到了板的平均應(yīng)力-平均應(yīng)變曲線，沒有考慮應(yīng)變不同對于兩部分的力學(xué)性能的影響。方法二將板分開來處理，對于邊緣受殘余拉應(yīng)力的板不考慮折減。有限元分析得到的應(yīng)力分布結(jié)果表明這一做法是合理的。對于中間部分的板，取作為其柔度，而取作為其有效柔度。這一做法是基于以下的考慮：是表示其幾何與變形特征的一個(gè)參數(shù)，而就幾何與變形特征而言，有殘余應(yīng)力的板和沒有殘余應(yīng)力的板是沒有什么不同的。而有效柔度是用來求有效寬度的，是應(yīng)變的函數(shù)，因此計(jì)算有效柔度時(shí)用中間部分板的實(shí)際平均應(yīng)變。有限元計(jì)算的結(jié)果表明這一做法得到的結(jié)果是合理的。4結(jié)語本

23、文導(dǎo)出了計(jì)算焊接殘余應(yīng)力的篩降水平的公式。用有限元分析軟件模擬了殘余應(yīng)力的篩降過程，分析的結(jié)果表明導(dǎo)出的公式是有效的。本文還分析了殘余應(yīng)力的篩降對于板的平均應(yīng)力-平均應(yīng)變曲線的影響。提出了兩種生成平均應(yīng)力平均應(yīng)變曲線的方法。方法一將Gordo和Guedes Soares的計(jì)算帶殘余應(yīng)力的板的平均應(yīng)力-平均應(yīng)變曲線的公式拓展到可以計(jì)算任意殘余拉應(yīng)力。方法二分別考慮受殘余拉應(yīng)力區(qū)和殘余壓應(yīng)力區(qū)的應(yīng)力應(yīng)變情況得到了任意殘余拉應(yīng)力下的計(jì)算板的平均應(yīng)力-平均應(yīng)變曲線的公式。該公式考慮了板各部分應(yīng)力不同的影響，因而更接近實(shí)際的情況，由其得到的帶殘余應(yīng)力的板的強(qiáng)度在后崩潰階段要大于無殘余應(yīng)力的板的強(qiáng)度。與有

24、限元分析的結(jié)果比較表明這一公式能更好地描述帶殘余應(yīng)力的板的力學(xué)行為。參考文獻(xiàn):ordo and C.Guedes Soares, Approximate load shortening curves for stiffened plates under uniaxial compression，Integrity of Offshore Structures-5, pp 189-2112 Yuren Hu, Jiulong Sun, An approximate method to generate average stress-strain curve with the effect of

25、residual stresses for rectangular plates under uniaxial compression in ship structures, Marine structures 12(1999), 585-6033 胡毓仁，孫久龍，船體總縱極限彎矩簡化計(jì)算方法研究及程序開發(fā)，研究報(bào)告， 中國船級社上海規(guī)范研究所，上海交通大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院，19974 C.Guedes Soares, Design Equation for the compressive Strength of Unstiffened Plate Elements with Initial Imperfections, J. Construct. Steel Research 9(1988), 287-3105 C.Guedes Soares, Design Equation fo