正弦定理、余弦定理應(yīng)用舉例

1、第7講正弦定理、余弦定理應(yīng)用舉例【2013年高考會這樣考】考查利用正弦定理、余弦定理解決實際問題中的角度、方向、距離及測量問題【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】1本講聯(lián)系生活實例，體會建模過程，掌握運用正弦定理、余弦定理解決實際問題的基本方法2加強解三角形及解三角形的實際應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力基礎(chǔ)梳理1用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型測量距離問題、高度問題、角度問題、計算面積問題、航海問題、物理問題等2實際問題中的常用角(1)仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖(1)(2)方位角指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如B點的方位角為(如圖(2)(3)

2、方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東30°，北偏西45°，西偏東60°等(4)坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)一個步驟解三角形應(yīng)用題的一般步驟：(1)閱讀理解題意，弄清問題的實際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系(2)根據(jù)題意畫出示意圖，將實際問題抽象成解三角形問題的模型(3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解(4)將三角形問題還原為實際問題，注意實際問題中的有關(guān)單位問題、近似計算的要求等兩種情形解三角形應(yīng)用題常有以下兩種情形(1)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知

3、量與未知量涉及到兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解雙基自測1(人教A版教材習(xí)題改編)如圖，設(shè)A，B兩點在河的兩岸，一測量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50 m，ACB45°，CAB105°后，就可以計算出A，B兩點的距離為()A50 m B50 m C25 m D. m解析由正弦定理得，又B30°AB50(m)答案A2從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，的關(guān)系為()A BC90° D180

4、76;解析根據(jù)仰角與俯角的定義易知.答案B3若點A在點C的北偏東30°，點B在點C的南偏東60°，且ACBC，則點A在點B的()A北偏東15° B北偏西15°C北偏東10° D北偏西10°解析如圖答案B4一船向正北航行，看見正西方向相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西60°，另一燈塔在船的南偏西75°，則這艘船的速度是每小時()A5海里 B5海里C10海里 D10海里解析如圖所示，依題意有BAC60°，BAD75°，所以CADCDA15°

5、，從而CDCA10(海里)，在RtABC中，得AB5(海里)，于是這艘船的速度是10(海里/時)答案C5海上有A，B，C三個小島，測得A，B兩島相距10海里，BAC60°，ABC75°，則B，C間的距離是_海里解析由正弦定理，知.解得BC5(海里)答案5考向一測量距離問題【例1】如圖所示，為了測量河對岸A，B兩點間的距離，在這岸定一基線CD，現(xiàn)已測出CDa和ACD60°，BCD30°，BDC105°，ADC60°，試求AB的長審題視點 在BCD中，求出BC，在ABC中，求出AB.解在ACD中，已知CDa，ACD60°，ADC

6、60°，所以ACa.BCD30°，BDC105°CBD45°在BCD中，由正弦定理可得BCa.在ABC中，已經(jīng)求得AC和BC，又因為ACB30°，所以利用余弦定理可以求得A，B兩點之間的距離為ABa. (1)利用示意圖把已知量和待求量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個解三角形的模型(2)利用正、余弦定理解出所需要的邊和角，求得該數(shù)學(xué)模型的解【訓(xùn)練1】 如圖，A，B，C，D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂，測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為75°，30°，于水面C處測得B點和D點的仰角均為

7、60°，AC0.1 km.試探究圖中B、D間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求B，D的距離解在ACD中，DAC30°，ADC60°DAC30°，所以CDAC0.1 km.又BCD180°60°60°60°，故CB是CAD底邊AD的中垂線，所以BDBA.又ABC15°在ABC中，所以AB(km)，同理，BD(km)故B、D的距離為 km.考向二測量高度問題【例2】如圖，山腳下有一小塔AB，在塔底B測得山頂C的仰角為60°，在山頂C測得塔頂A的俯角為45°，已知塔高AB20 m，求山高CD

8、.審題視點 過點C作CEDB，延長BA交CE于點E，在AEC中建立關(guān)系解如圖，設(shè)CDx m，則AEx20 m，tan 60°，BDx (m)在AEC中，x20x，解得x10(3) m故山高CD為10(3) m. (1)測量高度時，要準確理解仰、俯角的概念；(2)分清已知和待求，分析(畫出)示意圖，明確在哪個三角形內(nèi)應(yīng)用正、余弦定理【訓(xùn)練2】 如圖所示，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D，現(xiàn)測得BCD，BDC，CDs，并在點C測得塔頂A的仰角為，求塔高AB.解在BCD中，CBD，由正弦定理得，所以BC在RtABC中，ABBCtanACB.考向三正、余弦

9、定理在平面幾何中的綜合應(yīng)用【例3】如圖所示，在梯形ABCD中，ADBC，AB5，AC9，BCA30°，ADB45°，求BD的長審題視點 由于AB5，ADB45°，因此要求BD，可在ABD中，由正弦定理求解，關(guān)鍵是確定BAD的正弦值在ABC中，AB5，AC9，ACB30°，因此可用正弦定理求出sinABC，再依據(jù)ABC與BAD互補確定sinBAD即可解在ABC中，AB5，AC9，BCA30°.由正弦定理，得，sinABC.ADBC，BAD180°ABC，于是sinBADsinABC.同理，在ABD中，AB5，sinBAD，ADB45&#

10、176;，由正弦定理：，解得BD.故BD的長為. 要利用正、余弦定理解決問題，需將多邊形分割成若干個三角形，在分割時，要注意有利于應(yīng)用正、余弦定理【訓(xùn)練3】 如圖，在ABC中，已知B45°，D是BC邊上的一點，AD10，AC14，DC6，求AB的長解在ADC中，AD10，AC14，DC6，由余弦定理得cosADC，ADC120°，ADB60°.在ABD中，AD10，B45°，ADB60°，由正弦定理得，AB5.規(guī)范解答9如何運用解三角形知識解決實際問【問題研究】 (1)解三角形實際應(yīng)用問題的一般步驟是：審題建模(準確地畫出圖形)求解檢驗作答.,

11、(2)三角形應(yīng)用題常見的類型：,實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之；,實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個三角形，這時需按順序逐步在兩個三角形中求出問題的解；,實際問題經(jīng)抽象概括后，涉及的三角形只有一個，但由題目已知條件解此三角形需連續(xù)使用正弦定理或余弦定理.,【解決方案】 航海、測量問題利用的就是目標在不同時刻的位置數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)反映在坐標系中就構(gòu)成了一些三角形，根據(jù)這些三角形就可以確定目標在一定的時間內(nèi)的運動距離，因此解題的關(guān)鍵就是通過這些三角形中的已知數(shù)據(jù)把測量目標歸入到一個可解三角形中.【示例】(本題滿分12分)如圖，甲船以每

12、小時30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行當(dāng)甲船位于A1處時，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處，此時兩船相距20海里，當(dāng)甲船航行20分鐘到達A2處時，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，此時兩船相距10海里問：乙船每小時航行多少海里？ (1)分清已知條件和未知條件(待求)(2)將問題集中到一個三角形中(3)利用正、余弦定理求解解答示范 如圖，連接A1B2由已知A2B210，A1A230×10，A1A2A2B2.又A1A2B2180°120°60°，A1A2B2是等邊三角形，A1B2A1A210.由已知，

13、A1B120，B1A1B2105°60°45°，(8分)在A1B2B1中，由余弦定理得B1BA1BA1B2A1B1·A1B2·cos 45°202(10)22×20×10×200，B1B210.因此，乙船的速度為×6030(海里/時)(12分) 利用解三角形知識解決實際問題要注意根據(jù)條件畫出示意圖，結(jié)合示意圖構(gòu)造三角形，然后轉(zhuǎn)化為解三角形的問題進行求解 【試一試】 如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向即沿直線CB前往B處救援，求cos .嘗試解答如圖所示，在ABC中，