二維波動方程的有限差分法

1、學(xué) 生 實(shí) 驗(yàn) 報(bào) 告實(shí)驗(yàn)課程名稱 偏微分方程數(shù)值解 開課實(shí)驗(yàn)室 數(shù)統(tǒng)學(xué)院 學(xué) 院 數(shù) 統(tǒng) 年級 2013 專業(yè)班 信計(jì)02班 學(xué) 生 姓 名 學(xué) 號 開 課 時(shí) 間 2015 至 2016學(xué)年第 2 學(xué)期總 成 績教師簽名數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院制開課學(xué)院、實(shí)驗(yàn)室： 數(shù)統(tǒng)學(xué)院 實(shí)驗(yàn)時(shí)間 ： 2016年 6月20日實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目名 稱二維波動方程的有限差分法實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目類型驗(yàn)證演示綜合設(shè)計(jì)其他指導(dǎo)教師曾芳成 績是一實(shí)驗(yàn)?zāi)康耐ㄟ^該實(shí)驗(yàn)，要求學(xué)生掌握求解二維波動方程的有限差分法，并能通過計(jì)算機(jī)語言編程實(shí)現(xiàn)。二實(shí)驗(yàn)內(nèi)容考慮如下的初值問題： (1)1在第三部分寫出問題（1）三層顯格式。2根據(jù)你寫出的差分格式，編寫有限差分

2、法程序。將所寫程序放到第四部分。3取，分別將時(shí)刻的數(shù)值解畫圖顯示。4. 該問題的解析解為，將四個(gè)時(shí)刻的數(shù)值解的誤差畫圖顯示，對數(shù)值結(jié)果進(jìn)行簡單的討論。三實(shí)驗(yàn)原理、方法（算法）、步驟網(wǎng)格劃分，故，。在內(nèi)網(wǎng)點(diǎn)，利用二階中心差商，對（1）建立差分格式： （2）整理得到： （3）其中，網(wǎng)比，局部截?cái)嗾`差為?？紤]邊界條件，差分格式為： （4）考慮初始條件，差分格式為： （5）考慮初始條件，利用二階差商近似： （6）設(shè)時(shí)刻的點(diǎn)為內(nèi)點(diǎn)，則滿足差分格式（2），代入上式得到： （7）將（6）得到的結(jié)果代入（7）中，整理得到： （8）綜上（2）、（4）、（5）、（8）得到三層顯格式的差分格式為： （9）其中，局部

3、截?cái)嗾`差為。四實(shí)驗(yàn)環(huán)境（所用軟件、硬件等）及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)文件Matlab%二維波動方程數(shù)值計(jì)算（關(guān)鍵：怎么運(yùn)用i,j,k三個(gè)指標(biāo)建立循環(huán)）clc;%可以將代碼換成函數(shù)m文件h=0.1;tau=0.1*h;%定義步長r=tau/h;%網(wǎng)比x,y,t=meshgrid(0:h:1,0:h:1,0:tau:1.4);%空間網(wǎng)格剖分uu=cos(sqrt(2)*pi*t).*sin(pi*x).*sin(pi*y);%精確解計(jì)算%第一層網(wǎng)點(diǎn)計(jì)算u=sin(pi*x).*sin(pi*y);%初始條件u1=u(:,:,1);%因?yàn)榇藭r(shí)得到的u為11x11x141，故只取第一層%第二層網(wǎng)點(diǎn)計(jì)算for i=2:

4、10 for j=2:10 u(i,j,2)=0.5*r2*(u(i+1,j,1)+u(i-1,j,1)+u(i,j+1,1)+u(i,j-1,1)+(1-2*r2)*u(i,j,1); u(11,:,2)=0;u(:,11,2)=0; endendu2=u(:,:,2);%第3-141層網(wǎng)點(diǎn)計(jì)算for k=2:140 for i=2:10 for j=2:10 u(i,j,k+1)=r2*(u(i+1,j,k)+u(i-1,j,k)+u(i,j+1,k)+u(i,j-1,k)+(2-4*r2)*u(i,j,k)-u(i,j,k-1); u(11,:,k+1)=0;u(:,11,k+1)=0;

5、 end endend%結(jié)果分析與作圖%wucha=abs(u-uu);%求絕對誤差矩陣11x11x141wucha1=wucha(:,:,11);%計(jì)算t=0.1時(shí)刻的絕對誤差矩陣11x11wucha2=wucha(:,:,51);%計(jì)算t=0.5時(shí)刻的絕對誤差矩陣11x11wucha3=wucha(:,:,101);%計(jì)算t=1.0時(shí)刻的絕對誤差矩陣11x11wucha4=wucha(:,:,141);%計(jì)算t=1.4時(shí)刻的絕對誤差矩陣11x11x0=0:h:1;y0=0:h:1;%誤差分析%作t=0.1時(shí)刻的絕對誤差圖subplot(2,2,1);mesh(x0,y0,wucha1);t

6、itle('t=0.1時(shí)刻的絕對誤差');xlabel('x變量');ylabel('y變量');zlabel('絕對誤差值');%作t=0.5時(shí)刻的絕對誤差圖subplot(2,2,2);mesh(x0,y0,wucha2);title('t=0.5時(shí)刻的絕對誤差');xlabel('x變量');ylabel('y變量');zlabel('絕對誤差值');%作t=1.0時(shí)刻的絕對誤差圖subplot(2,2,3);mesh(x0,y0,wucha3);title(&

7、#39;t=1.0時(shí)刻的絕對誤差');xlabel('x變量');ylabel('y變量');zlabel('絕對誤差值');%作t=1.4時(shí)刻的絕對誤差圖subplot(2,2,4);mesh(x0,y0,wucha4);title('t=1.4時(shí)刻的絕對誤差');xlabel('x變量');ylabel('y變量');zlabel('絕對誤差值');%四個(gè)時(shí)刻數(shù)值解、精確解%作t=0.1、0.5時(shí)刻的數(shù)值解與精確解subplot(2,2,1);mesh(x0,y0,u(:

8、,:,11);%作t=0.1時(shí)刻的數(shù)值解title('t=0.1時(shí)刻的數(shù)值解');xlabel('x變量');ylabel('y變量');zlabel('u值');subplot(2,2,2);mesh(x0,y0,uu(:,:,11);%作t=0.1時(shí)刻的精確解title('t=0.1時(shí)刻的精確解');xlabel('x變量');ylabel('y變量');zlabel('u值');%作t=0.5時(shí)刻的數(shù)值解與精確解subplot(2,2,3);mesh(x0,y0

9、,u(:,:,51);%作t=0.5時(shí)刻的數(shù)值解title('t=0.5時(shí)刻的數(shù)值解');xlabel('x變量');ylabel('y變量');zlabel('u值');subplot(2,2,4);mesh(x0,y0,uu(:,:,51);%作t=0.5時(shí)刻的精確解title('t=0.5時(shí)刻的精確解');xlabel('x變量');ylabel('y變量');zlabel('u值');%分別復(fù)制粘貼運(yùn)行%作t=1.0、1.4時(shí)刻的數(shù)值解與精確解subplot(

10、2,2,1);mesh(x0,y0,u(:,:,101);%作t=1.0時(shí)刻的數(shù)值解title('t=1.0時(shí)刻的數(shù)值解');xlabel('x變量');ylabel('y變量');zlabel('u值');subplot(2,2,2);mesh(x0,y0,uu(:,:,101);%作t=1.0時(shí)刻的精確解title('t=1.0時(shí)刻的精確解');xlabel('x變量');ylabel('y變量');zlabel('u值');%作t=1.4時(shí)刻的數(shù)值解與精確解su

11、bplot(2,2,3);mesh(x0,y0,u(:,:,141);%作t=1.4時(shí)刻的數(shù)值解title('t=1.4時(shí)刻的數(shù)值解');xlabel('x變量');ylabel('y變量');zlabel('u值');subplot(2,2,4);mesh(x0,y0,uu(:,:,141);%作t=1.4時(shí)刻的精確解title('t=1.4時(shí)刻的精確解');xlabel('x變量');ylabel('y變量');zlabel('u值');五實(shí)驗(yàn)結(jié)果及實(shí)例分析1、時(shí)

12、刻的數(shù)值解與精確解圖 圖1 t=0.1、0.5時(shí)刻的數(shù)值解、精確解 圖2 t=1.0、1.4時(shí)刻的數(shù)值解、精確解注：上兩圖為四個(gè)時(shí)刻的數(shù)值解與精確解，三層顯格式達(dá)二階收斂，不難看出，收斂效果很好，符合理論。下圖是四個(gè)時(shí)刻的絕對誤差圖像，從圖中看出，絕對誤差較小，且經(jīng)過計(jì)算得到，收斂階近似于2，正好符合理論值。2、時(shí)刻的絕對誤差圖圖3 四個(gè)時(shí)刻的絕對誤差3、四個(gè)時(shí)刻（t=0.1、0.5、1.0、1.4）的絕對誤差表t=0.1時(shí)刻的絕對誤差0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0

13、000 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0001 0.0003 0.0004 0.0004 0.0005 0.0004 0.0004 0.0003 0.0001 0.0000 0.0000 0.0002 0.0004 0.0005 0.0006 0.0006 0.0006 0.0005 0.0004 0.0002 0.0000 0.0000 0.0002 0.0004 0.0006 0.0007 0.0007 0.0007 0.0006 0.0004 0.0002 0.

14、0000 0.0000 0.0002 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008 0.0007 0.0006 0.0005 0.0002 0.0000 0.0000 0.0002 0.0004 0.0006 0.0007 0.0007 0.0007 0.0006 0.0004 0.0002 0.0000 0.0000 0.0002 0.0004 0.0005 0.0006 0.0006 0.0006 0.0005 0.0004 0.0002 0.0000 0.0000 0.0001 0.0003 0.0004 0.0004 0.0005 0.0004 0.0004 0.0003 0

15、.0001 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 t=0.5時(shí)刻的絕對誤差0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0007 0.0013 0.0018 0.0021 0.0022 0.

16、0021 0.0018 0.0013 0.0007 0.0000 0.0000 0.0013 0.0025 0.0034 0.0040 0.0042 0.0040 0.0034 0.0025 0.0013 0.0000 0.0000 0.0018 0.0034 0.0047 0.0055 0.0058 0.0055 0.0047 0.0034 0.0018 0.0000 0.0000 0.0021 0.0040 0.0055 0.0065 0.0068 0.0065 0.0055 0.0040 0.0021 0.0000 0.0000 0.0022 0.0042 0.0058 0.0068 0

17、.0071 0.0068 0.0058 0.0042 0.0022 0.0000 0.0000 0.0021 0.0040 0.0055 0.0065 0.0068 0.0065 0.0055 0.0040 0.0021 0.0000 0.0000 0.0018 0.0034 0.0047 0.0055 0.0058 0.0055 0.0047 0.0034 0.0018 0.0000 0.0000 0.0013 0.0025 0.0034 0.0040 0.0042 0.0040 0.0034 0.0025 0.0013 0.0000 0.0000 0.0007 0.0013 0.0018

18、0.0021 0.0022 0.0021 0.0018 0.0013 0.0007 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 t=1.0時(shí)刻的絕對誤差0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0016 0.0031 0.0043 0.0051 0.0053 0.0051 0.0043 0.0031 0.0016 0.0000 0.0000 0

19、.0031 0.0059 0.0082 0.0096 0.0101 0.0096 0.0082 0.0059 0.0031 0.0000 0.0000 0.0043 0.0082 0.0113 0.0132 0.0139 0.0132 0.0113 0.0082 0.0043 0.0000 0.0000 0.0051 0.0096 0.0132 0.0156 0.0164 0.0156 0.0132 0.0096 0.0051 0.0000 0.0000 0.0053 0.0101 0.0139 0.0164 0.0172 0.0164 0.0139 0.0101 0.0053 0.0000

20、0.0000 0.0051 0.0096 0.0132 0.0156 0.0164 0.0156 0.0132 0.0096 0.0051 0.0000 0.0000 0.0043 0.0082 0.0113 0.0132 0.0139 0.0132 0.0113 0.0082 0.0043 0.0000 0.0000 0.0031 0.0059 0.0082 0.0096 0.0101 0.0096 0.0082 0.0059 0.0031 0.0000 0.0000 0.0016 0.0031 0.0043 0.0051 0.0053 0.0051 0.0043 0.0031 0.0016 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 t=1.4時(shí)刻的絕對誤差0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0003 0.0005 0.0006 0.0006 0.0006 0.0005 0.0003 0.0002 0.0000 0.0000 0