高一數(shù)學(xué)集合知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、第一章 集合與函數(shù)概念一、集合有關(guān)概念1、集合的含義：某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合，其中每一個(gè)對(duì)象叫元素。2、集合的中元素的三個(gè)特性：1.元素的確定性； 2.元素的互異性； 3.元素的無(wú)序性說(shuō)明：(1對(duì)于一個(gè)給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個(gè)對(duì)象或者是或者不是這個(gè)給定的集合的元素。(2任何一個(gè)給定的集合中，任何兩個(gè)元素都是不同的對(duì)象，相同的對(duì)象歸入一個(gè)集合時(shí)，僅算一個(gè)元素。(3集合中的元素是平等的，沒(méi)有先后順序，因此判定兩個(gè)集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。(4集合元素的三個(gè)特性使集合本身具有了確定性和整體性。3、集合的表示： 如我校的籃球隊(duì)員

2、，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋1. 用拉丁字母表示集合：A=我校的籃球隊(duì)員,B=1,2,3,4,52集合的表示方法：列舉法與描述法。注意?。撼Ｓ脭?shù)集及其記法：非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N正整數(shù)集 N*或 N+ 整數(shù)集Z 有理數(shù)集Q 實(shí)數(shù)集R關(guān)于“屬于”的概念集合的元素通常用小寫(xiě)的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于集合A 記作 aA ，相反，a不屬于集合A 記作 a?A列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，然后用一個(gè)大括號(hào)括上。描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。用確定的條件表示某些對(duì)象是否屬于這個(gè)集合的方法。語(yǔ)言描述法：例：不是直角三角形的三角

3、形數(shù)學(xué)式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是x?R| x-3>2或x| x-3>24、集合的分類：1有限集 含有有限個(gè)元素的集合2無(wú)限集 含有無(wú)限個(gè)元素的集合3空集 不含任何元素的集合 例：x|x2=5二、集合間的基本關(guān)系1.“包含”關(guān)系子集注意： 有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A2“相等”關(guān)系(55，且55，則5=5實(shí)例：設(shè) A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同”結(jié)論：對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí),集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的

4、元素，我們就說(shuō)集合A等于集合B，即：A=B 任何一個(gè)集合是它本身的子集。AíA真子集:如果AíB,且A1 B那就說(shuō)集合A是集合B的真子集，記作A B(或B A如果 AíB, BíC ,那么 AíC 如果AíB 同時(shí) BíA 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為規(guī)定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。三、集合的運(yùn)算1交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集記作AB(讀作”A交B”，即AB=x|xA，且xB2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元

5、素所組成的集合，叫做A,B的并集。記作：AB(讀作”A并B”，即AB=x|xA，或xB3、交集與并集的性質(zhì)：AA = A, A= , AB = BA，AA = A,A= A ,AB = BA4、全集與補(bǔ)集（1）補(bǔ)集：設(shè)S是一個(gè)集合，A是S的一個(gè)子集（即 ），由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補(bǔ)集（或余集）記作： CSA 即 CSA =x | x?S且 x?ASCsAA（2）全集：如果集合S含有我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素，這個(gè)集合就可以看作一個(gè)全集。通常用U來(lái)表示。（3）性質(zhì)：CU(C UA=A (C UAA= (CUAA=U二、函數(shù)的有關(guān)概念1函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空

6、的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)記作： y=f(x，xA其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x| xA 叫做函數(shù)的值域注意：2如果只給出解析式y(tǒng)=f(x，而沒(méi)有指明它的定義域，則函數(shù)的定義域即是指能使這個(gè)式子有意義的實(shí)數(shù)的集合；3 函數(shù)的定義域、值域要寫(xiě)成集合或區(qū)間的形式定義域補(bǔ)充能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是：(1分式的分母不等于零； (2偶次方根的被開(kāi)

7、方數(shù)不小于零； (3對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1. (5如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.（6）指數(shù)為零底不可以等于零 (6實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問(wèn)題有意義.(又注意：求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域。構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域再注意：（1）構(gòu)成函數(shù)三個(gè)要素是定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個(gè)函數(shù)相等（或?yàn)橥缓瘮?shù)）（2）兩個(gè)函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自

8、變量和函數(shù)值的字母無(wú)關(guān)。相同函數(shù)的判斷方法：表達(dá)式相同；定義域一致 (兩點(diǎn)必須同時(shí)具備值域補(bǔ)充(1、函數(shù)的值域取決于定義域和對(duì)應(yīng)法則，不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義域. (2.應(yīng)熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域，它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ)。3. 函數(shù)圖象知識(shí)歸納(1定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù) y=f(x , (xA中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)P(x，y的集合C，叫做函數(shù) y=f(x,(x A的圖象C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x，反過(guò)來(lái)，以滿足y=f(x的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(x，y，均在C上 . 即記為C=

9、P(x,y | y= f(x , xA 圖象C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線,也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多只有一個(gè)交點(diǎn)的若干條曲線或離散點(diǎn)組成。(2 畫(huà)法A、描點(diǎn)法：根據(jù)函數(shù)解析式和定義域，求出x,y的一些對(duì)應(yīng)值并列表，以(x,y為坐標(biāo)在坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)P(x, y，最后用平滑的曲線將這些點(diǎn)連接起來(lái).B、圖象變換法（請(qǐng)參考必修4三角函數(shù)）常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對(duì)稱變換(3作用：1、直觀的看出函數(shù)的性質(zhì)；2、利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。發(fā)現(xiàn)解題中的錯(cuò)誤。4快去了解區(qū)間的概念（1）區(qū)間的分類：開(kāi)區(qū)間、閉區(qū)間、半開(kāi)半閉區(qū)間；（2）無(wú)窮區(qū)間；（

10、3）區(qū)間的數(shù)軸表示5什么叫做映射一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f：A B為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作“f：A B”給定一個(gè)集合A到B的映射，如果aA,bB.且元素a和元素b對(duì)應(yīng)，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象說(shuō)明：函數(shù)是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對(duì)應(yīng)，集合A、B及對(duì)應(yīng)法則f是確定的；對(duì)應(yīng)法則有“方向性”，即強(qiáng)調(diào)從集合A到集合B的對(duì)應(yīng)，它與從B到A的對(duì)應(yīng)關(guān)系一般是不同的；對(duì)于映射f：AB來(lái)說(shuō)，則應(yīng)滿足：（）集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有

11、象，并且象是唯一的；（）集合A中不同的元素，在集合B中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè)；（）不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象。常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點(diǎn)：1 函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點(diǎn)等等，注意判斷一個(gè)圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù)；2 解析法：必須注明函數(shù)的定義域；3 圖象法：描點(diǎn)法作圖要注意：確定函數(shù)的定義域；化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；觀察函數(shù)的特征；4 列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征注意啊：解析法：便于算出函數(shù)值。列表法：便于查出函數(shù)值。圖象法：便于量出函數(shù)值補(bǔ)充一：分段函數(shù) （參見(jiàn)課本P24-25）在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。在

12、不同的范圍里求函數(shù)值時(shí)必須把自變量代入相應(yīng)的表達(dá)式。分段函數(shù)的解析式不能寫(xiě)成幾個(gè)不同的方程，而就寫(xiě)函數(shù)值幾種不同的表達(dá)式并用一個(gè)左大括號(hào)括起來(lái)，并分別注明各部分的自變量的取值情況（1）分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，不要把它誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù)；（2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集補(bǔ)充二：復(fù)合函數(shù)如果y=f(u,(uM,u=g(x,(xA,則 y=fg(x=F(x，(xA 稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。例如: y=2sinX y=2cos(X2+17函數(shù)單調(diào)性（1）增函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1 時(shí)，都有 f(x1 ，那

13、么就說(shuō) f(x 在區(qū)間 D 上是增函數(shù)。區(qū)間 D 稱為 y=f(x 的單調(diào)增區(qū)間（睇清楚課本單調(diào)區(qū)間的概念） 如果對(duì)于區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1 時(shí)，都有 f(x1 f(x2 ，那么就說(shuō) f(x 在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù) . 區(qū)間 D 稱為 y=f(x 的單調(diào)減區(qū)間 . 注意：1 函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；2 必須是對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2；當(dāng)x1 時(shí)，總有 f(x1 。 （2） 圖象的特點(diǎn)如果函數(shù)y=f(x在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說(shuō)函數(shù)y=f(x在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，

14、減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.(3.函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(A 定義法：1 任取x1，x2D，且x1 ； 2 作差 f(x1 f(x2 ； 3 變形（通常是因式分解和配方）； 4 定號(hào)（即判斷差 f(x1 f(x2 的正負(fù)）； 5 下結(jié)論（指出函數(shù) f(x 在給定的區(qū)間 D 上的單調(diào)性） (B圖象法(從圖象上看升降_(C復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)fg(x的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x，y=f(u的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律如下：函數(shù)單調(diào)性 u=g(x增增減減 y=f(u增減增減 y=fg(x增減減增注意：1、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫(xiě)成其并集.

15、 2、還記得我們?cè)谶x修里學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單易行的導(dǎo)數(shù)法判定單調(diào)性嗎？8函數(shù)的奇偶性（1）偶函數(shù)一般地，對(duì)于函數(shù)f(x的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(x=f(x，那么f(x就叫做偶函數(shù)（2）奇函數(shù)一般地，對(duì)于函數(shù)f(x的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(x=f(x，那么f(x就叫做奇函數(shù)注意：1 函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；函數(shù)可能沒(méi)有奇偶性,也可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。2 由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，則x也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）（3）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

16、；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱總結(jié)：利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：1 首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；2 確定f(x與f(x的關(guān)系；3 作出相應(yīng)結(jié)論：若f(x = f(x 或 f(xf(x = 0，則f(x是偶函數(shù)；若f(x =f(x 或 f(xf(x = 0，則f(x是奇函數(shù)注意啊：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不對(duì)稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對(duì)稱，(1再根據(jù)定義判定; (2有時(shí)判定f(-x=±f(x比較困難，可考慮根據(jù)是否有f(-x±f(x=0或f(x/f(-x=±1來(lái)判定; (3利用

17、定理，或借助函數(shù)的圖象判定 .9、函數(shù)的解析表達(dá)式（1）.函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，一是要求出它們之間的對(duì)應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域.（2）.求函數(shù)的解析式的主要方法有：待定系數(shù)法、換元法、消參法等，如果已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時(shí)，可用待定系數(shù)法；已知復(fù)合函數(shù)fg(x的表達(dá)式時(shí)，可用換元法，這時(shí)要注意元的取值范圍；當(dāng)已知表達(dá)式較簡(jiǎn)單時(shí)，也可用湊配法；若已知抽象函數(shù)表達(dá)式，則常用解方程組消參的方法求出f(x10函數(shù)最大（?。┲担ǘx見(jiàn)課本p36頁(yè)）1 利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（?。┲? 利用圖象求函數(shù)的最大（小）值3 利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)

18、的最大（?。┲担喝绻瘮?shù)y=f(x在區(qū)間a，b上單調(diào)遞增，在區(qū)間b，c上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x在x=b處有最大值f(b；如果函數(shù)y=f(x在區(qū)間a，b上單調(diào)遞減，在區(qū)間b，c上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x在x=b處有最小值f(b；第二章 基本初等函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)（一）指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算1根式的概念：一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根（n th root），其中 >1，且 *當(dāng) 是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的 次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的 次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)此時(shí)， 的 次方根用符號(hào) 表示式子 叫做根式（radical），這里 叫做根指數(shù)（radical exponent）， 叫做被開(kāi)方數(shù)（radicand）

19、當(dāng) 是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的 次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)此時(shí)，正數(shù) 的正的 次方根用符號(hào) 表示，負(fù)的 次方根用符號(hào) 表示正的 次方根與負(fù)的 次方根可以合并成± （ >0）由此可得：負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作 。注意：當(dāng) 是奇數(shù)時(shí)， ，當(dāng) 是偶數(shù)時(shí)， 2分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義指出：規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪3實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)（1） · ；（2） ；（3） （二）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、指數(shù)函數(shù)的概

20、念：一般地，函數(shù) 叫做指數(shù)函數(shù)（exponential ），其中x是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和12、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>10 圖象特征函數(shù)性質(zhì)向x、y軸正負(fù)方向無(wú)限延伸函數(shù)的定義域?yàn)镽圖象關(guān)于原點(diǎn)和y軸不對(duì)稱非奇非偶函數(shù) 函數(shù)圖象都在x軸上方函數(shù)的值域?yàn)镽+函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)（0，1）自左向右看，圖象逐漸上升自左向右看，圖象逐漸下降增函數(shù)減函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1圖象上升趨勢(shì)是越來(lái)越陡圖象上升趨勢(shì)是越來(lái)越緩函數(shù)值開(kāi)始增長(zhǎng)較慢，到了

21、某一值后增長(zhǎng)速度極快；函數(shù)值開(kāi)始減小極快，到了某一值后減小速度較慢；注意：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出：（1）在a，b上， 值域是 或 ；（2）若 ，則 ； 取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng) ；（3）對(duì)于指數(shù)函數(shù) ，總有 ；（4）當(dāng) 時(shí)，若 ，則 ；二、對(duì)數(shù)函數(shù)（一）對(duì)數(shù)1對(duì)數(shù)的概念：一般地，如果 ，那么數(shù) 叫做以 為底 的對(duì)數(shù)，記作： （ 底數(shù)， 真數(shù)， 對(duì)數(shù)式）說(shuō)明：1 注意底數(shù)的限制 ，且 ； 2 3 注意對(duì)數(shù)的書(shū)寫(xiě)格式兩個(gè)重要對(duì)數(shù)：1 常用對(duì)數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù) ；2 自然對(duì)數(shù)：以無(wú)理數(shù) 為底的對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù) 對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化對(duì)數(shù)式 指數(shù)式對(duì)數(shù)底數(shù) 冪底數(shù)對(duì)數(shù) 指數(shù)真數(shù) 冪（二）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果 ，且 ， ， ，那么：1 · ；2 ；3 注意：換底公式（ ，且 ； ，且 ； ）利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論（1） ；（2） （二）對(duì)數(shù)函數(shù)1、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù) ，且 叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中 是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+）注意：1 對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。如： ， 都不是對(duì)數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對(duì)數(shù)型函數(shù)2 對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)底數(shù)的限制： ，且 2、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：a>10 圖象特