量子力學(xué) 一維無(wú)限深勢(shì)阱

1、§2.6一維無(wú)限深勢(shì)阱（Potential Well）(理想模型) 重點(diǎn)：一維無(wú)限深勢(shì)阱中粒子運(yùn)動(dòng)的求解難點(diǎn)：對(duì)結(jié)果的理解實(shí)際模型：金屬中電子的運(yùn)動(dòng)，不計(jì)電子間的相互碰撞，也不考慮周期排列的金屬離子對(duì)它們的作用。一、寫出本征問(wèn)題 0,x<a 勢(shì)場(chǎng)為：U(x)= ,xa區(qū)域I（阱內(nèi)，x<a）方程為： 2d2I(x)=EI(x) (1) 2dx2區(qū)域II、III（阱外，xa）方程為： 2d2(+U0)II(III)(x)=EII(III)(x) (2) 22dx其中U0=。波函數(shù)的邊界條件是：I(a)=II(a)，I(a)=III(a) (3)二、求解本征方程 我們令=2E，

2、 '=2h2(U0E) (4) 2h2d2則：I(x)=EI(x)的解為: 2dx2I(x)=Aeix+Beix x<a (5) (2d22dx2+U0)II(III)(x)=EII(III)(x)的解為: xII(x)=A'e'+B'e'x xa (6)III(x)=A''e'x+B''e'x xa (7) 由(6)-(7)式和波函數(shù)的有限性知: A''=0,B'=0，即： II(x)=A'e'x xa III(x)=B''e'x xa

3、 又由于UU0E)0=，則：'=2(h2=于是：II(x)=III(x)=0 (8) 而I(a)=II(a)，ixI(a)=III(a)；I(x)=Ae+BeixAeia+Beia則：=0Aeia+Beia=0 (9) 于是A、B不能全為零的充分必要條件為： iaeeiaeiaeia=0， 即：sin(2a)=0 解之得：=n2a，n=0,±1,±2,. (10) Aeia將其代入到+Beia=0in/2in/2Aeia+Beia=0，得：Ae+Be=0即:A=(1)n+1B代入I(x)=Aeix+Beix中，得：nCsinx,n=2,4,6,.2a I(x)= x

4、<a (11) Dcosnx,n=1,3,5,.2a其中n=0，(x)=0為平凡解，無(wú)意義； n=1,2,.不給出新的解。 而II(x)=III(x)=0 +則利用歸一化條件ndx=1得：C=D=21。 a于是體系的本征函數(shù)： 1nxn=2,4,6Lsin2aan1 n(x)=cosxn=1,3,5,L2aa0x<ax<a (12) xa又由于=n2E=和，則對(duì)應(yīng)體系本征函數(shù)的本征值為: 22ahn222n222= En= (n=1,2,3,.) (13) 2(2a)28a2說(shuō)明：由于sinnnnnn，則一維無(wú)+cosxsin(x+a)=sinxcos2a2a22a2限深勢(shì)阱

5、中粒子的定態(tài)波函數(shù)可表述為: 1n(x+a)eiEnt/hsin n(x,t)=a2a0x<axa (14)三、討論 n222，n=1,2,3,L 1.能量量子化 En=28a其特征為：(1)n叫做主量子數(shù)，每一個(gè)可能的能量稱為一個(gè)能級(jí)，n=1稱為基態(tài)，粒子處于能量最低的狀態(tài)，即：Emin稱為零點(diǎn)能；(2)能量是分立的，相鄰能級(jí)間距： 22=E1=0，8a2(2n+1)22En=En+1En= 28a所以當(dāng)n時(shí)，相鄰能級(jí)的相對(duì)間距：En20 Enn即相鄰能級(jí)的相對(duì)間距隨量子數(shù)n的增加而減少。當(dāng)n很大時(shí)，能級(jí)可視為連續(xù)，這是經(jīng)典極限時(shí)的情況，即經(jīng)典物理可以看成是量子物理中量子數(shù)n時(shí)的近似。

6、2.波函數(shù)n及幾率密度n (1)在x>a時(shí)，波函數(shù)均為零，即粒子被束縛在阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)。通常把在無(wú)限遠(yuǎn)處波函數(shù)為零的狀態(tài)稱為束縛態(tài)（僅在有限范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)）。一般來(lái)說(shuō)束縛態(tài)所屬能級(jí)是分立的。(2)n(x,t)是阱內(nèi)駐波，是兩個(gè)沿相反方向傳播的平面波的迭加。 2 n(x,t)=1nsin(x+a)eiEnt/ha2a(15) inin=c1exp(xEnt)+c2exp(x+Ent)h2ah2a其中c1、c2為兩常數(shù)。說(shuō)明：利用形成駐波的條件可導(dǎo)出能級(jí)公式，形成駐波的條件是：波所在的空間限度等于半波的整數(shù)倍，即L=2a=n，則波矢的大小為：2k=2n =2a于是由De Broglie關(guān)系得：

7、p22k2n222En= (16) =228a2(3)節(jié)點(diǎn)(波函數(shù)的零點(diǎn))數(shù)（P37圖）：n有n1個(gè)節(jié)點(diǎn)（與x軸的交點(diǎn)，即n=0的點(diǎn)且除去兩端點(diǎn)）； n2有n個(gè)極大值，兩極大值之間有一零點(diǎn)，共n1個(gè)零點(diǎn)，且n關(guān)于y軸對(duì)稱。(4)n的奇偶性（宇稱）n的奇偶性由n決定，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，n為奇函數(shù)或奇宇稱（odd parity）；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n為偶函數(shù)或偶宇稱（even parity）。 即有：n(x)=(1)n1n(x) 2所以n的宇稱為(1)n1。(這是由U(x)=U(x)決定的)3.與阱內(nèi)經(jīng)典質(zhì)點(diǎn)的比較(1)經(jīng)典質(zhì)點(diǎn)的能量連續(xù)，而阱內(nèi)微觀粒子的能量是分立的。微觀粒子具有波動(dòng)性，限制在阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)，只能形成駐波，波長(zhǎng)必分立，則粒子的能量和動(dòng)量必分立。(2)經(jīng)典粒子的能量的最小值為零，它可在零到無(wú)窮大之間取值，而阱內(nèi)微觀粒子的能量最小值不等于零。當(dāng)微觀粒子的質(zhì)量增大且阱寬增大時(shí)，過(guò)渡到宏觀環(huán)境，Emin0,E0(能量連續(xù))。(3)經(jīng)典質(zhì)點(diǎn)幾率分布均勻，而阱內(nèi)微觀粒子幾率分布不均勻。 一般來(lái)說(shuō)，經(jīng)典質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量和能量