高考理科數(shù)學(xué)解三角形題型歸納與訓(xùn)練

1、2020年高考理科數(shù)學(xué) 解三角形題型歸納與訓(xùn)練【題型歸納】題型一 正弦定理、余弦定理的直接應(yīng)用例1的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，已知(1)求(2)若，面積為2，求【答案】（1）（2） 【解析】由題設(shè)及得，故上式兩邊平方，整理得，解得（舍去），.（2）由得，故又，則由余弦定理及得所以 【易錯(cuò)點(diǎn)】二倍角公式的應(yīng)用不熟練，正余弦定理不確定何時(shí)運(yùn)用【思維點(diǎn)撥】利用正弦定理列出等式直接求出例2 的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,若,則 .【答案】【解析】.【易錯(cuò)點(diǎn)】不會(huì)把邊角互換，尤其三角恒等變化時(shí)，注意符號(hào)?！舅季S點(diǎn)撥】邊角互換時(shí)，一般遵循求角時(shí)，把邊換成角；求邊時(shí)，把角轉(zhuǎn)換成邊。例3在ABC中，a，b

2、，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若b1，c，C，則SABC_.【答案】【解析】因?yàn)閏b，所以BC，所以由正弦定理得，即2，即sin B，所以B，所以A.所以SABCbc sin A××.【易錯(cuò)點(diǎn)】大邊對(duì)大角，應(yīng)注意角的取值范圍【思維點(diǎn)撥】求面積選取公式時(shí)注意，一般選取已知角的公式，然后再求取邊長(zhǎng)。題型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形狀例1在中，角的對(duì)邊分別為，且成等差數(shù)列(1)若，求的面積(2)若成等比數(shù)列，試判斷的形狀【答案】(1) (2)等邊三角形【解析】(1)由A，B，C成等差數(shù)列，有2BAC(1)因?yàn)锳，B，C為ABC的內(nèi)角，所以ABC(2)得B，b2a2c22

3、accosB(3)所以 解得或(舍去)所以(2)由a，b，c成等比數(shù)列，有b2ac(4)由余弦定理及(3)，可得b2a2c22accosBa2c2ac再由(4)，得a2c2acac，即(ac)20。因此ac從而AC(5)由(2)(3)(5)，得ABC所以ABC為等邊三角形【易錯(cuò)點(diǎn)】等差數(shù)列，等比數(shù)列容易混淆【思維點(diǎn)撥】在三角形中，三邊和三角都是實(shí)數(shù)，三個(gè)數(shù)很容易聯(lián)想到數(shù)列的三項(xiàng)，所以，三角函數(shù)與數(shù)列的結(jié)合也是較為常見(jiàn)的問(wèn)題，解答中注意幾個(gè)常見(jiàn)結(jié)論，此類問(wèn)題就不難解答了.例2在ABC中，已知，試判斷ABC的形狀。【答案】等邊三角形【解析】，又，所以，所以，即，因而；由得。所以，ABC為等邊三角形

4、?！疽族e(cuò)點(diǎn)】條件的轉(zhuǎn)化運(yùn)用【思維點(diǎn)撥】判定三角形形狀時(shí)，一般考慮兩個(gè)方向進(jìn)行變形：（1）一個(gè)方向是邊，走代數(shù)變形之路，通常是正、余弦定理結(jié)合使用；（2）另一個(gè)方向是角，走三角變形之路.通常是運(yùn)用正弦定理題型三與三角形中有關(guān)的不等式問(wèn)題例1ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知ABC的面積為.（1）求;（2）若6cos Bcos C=1，a=3，求ABC的周長(zhǎng).【答案】（1） ；（2）【解析】【易錯(cuò)點(diǎn)】不會(huì)利用將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系【思維點(diǎn)撥】在處理解三角形問(wèn)題時(shí)，要注意抓住題目所給的條件，當(dāng)題設(shè)中給定三角形的面積，可以使用面積公式建立等式，再將所有邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，有時(shí)需將

5、角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系；解三角形問(wèn)題常見(jiàn)的一種考題是“已知一條邊的長(zhǎng)度和它所對(duì)的角，求面積或周長(zhǎng)的取值范圍”或者“已知一條邊的長(zhǎng)度和它所對(duì)的角，再有另外一個(gè)條件，求面積或周長(zhǎng)的值”，這類問(wèn)題的通法思路是：全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，如，從而求出范圍，或利用余弦定理以及基本不等式求范圍；求具體的值直接利用余弦定理和給定條件即可.例2已知a,b,c分別為ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,.(1)求A的大?。?(2)若a7,求ABC的周長(zhǎng)的取值范圍【答案】(1) (2)(14,21【解析】(1)由正弦定理得：；(2)由已知：,由余弦定理當(dāng)且僅當(dāng)bc7時(shí)等號(hào)成立,又bc7,7bc14,從而ABC

6、的周長(zhǎng)的取值范圍是(14,21【易錯(cuò)點(diǎn)】求周長(zhǎng)范圍的問(wèn)題，應(yīng)先用余弦定理列出等式，再根據(jù)基本不等式求出所求問(wèn)題.【思維點(diǎn)撥】周長(zhǎng)問(wèn)題也可看做是邊長(zhǎng)問(wèn)題的延伸,所以在解決周長(zhǎng)相關(guān)問(wèn)題時(shí),著眼于邊長(zhǎng)之間的關(guān)系,結(jié)合邊長(zhǎng)求最值(范圍)的解決方式,通常都能找到正確的解題途徑.例3ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2c-a=2bcos A.(1)求角B的大小;(2)若b=2,求a+c的最大值.【答案】(1)B=（2）4【解析】:(1)2c-a=2bcos A,根據(jù)正弦定理,得2sin C-sin A=2sin Bcos A.A+B=-C,sin C=sin(A+B)=sin Bcos A

7、+cos Bsin A,代入式,得2sin Bcos A=2sin Bcos A+2cos Bsin A-sin A,化簡(jiǎn)得(2cos B-1)sin A=0.A是三角形的內(nèi)角,sin A>0,2cos B-1=0,解得cos B=,B(0,),B=.(2)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得12=a2+c2-ac.(a+c)2-3ac=12,12(a+c)2-(a+c)2,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)取等號(hào),a+c4【易錯(cuò)點(diǎn)】涉及到最值問(wèn)題時(shí),常利用基本不等式或表示為三角形的某一內(nèi)角的三角函數(shù)形式求解.(1)根據(jù)正弦定理與兩角和的正弦公式,化簡(jiǎn)條件等式,可得(2cos B-1)si

8、n A=0,結(jié)合sin A>0得到cos B,從而解出B;(2)由余弦定理,可得出12=a2+c2-ac.再利用基本不等式求最大值.【思維點(diǎn)撥】(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根據(jù)正弦定理、余弦定理列出關(guān)于未知元素的方程,通過(guò)解方程求得未知元素;(2) 正弦定理、余弦定理的另一個(gè)作用是實(shí)現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的互化,解題時(shí)可以把已知條件化為角的三角函數(shù)關(guān)系,也可以把已知條件化為三角形邊的關(guān)系;(3) 涉及到最值問(wèn)題時(shí),常利用基本不等式或表示為三角形的某一內(nèi)角的三角函數(shù)形式求解.題型四解三角形的實(shí)際應(yīng)用例1在某次測(cè)量中，在A處測(cè)得同

9、一平面方向的B點(diǎn)的仰角是50°，且到A的距離為2，C點(diǎn)的俯角為70°，且到A的距離為3，則B、C間的距離為()A. B. C. D.【答案】 D【解析】 因BAC120°，AB2，AC3.BC2AB2AC22AB·AC cos BAC492×2×3×cos 120°19.BC.【易錯(cuò)點(diǎn)】沒(méi)有正確理解題意，不能將應(yīng)用轉(zhuǎn)化為可計(jì)算的三角模型【思維點(diǎn)撥】正弦定理、余弦定理及其在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用是高考的熱點(diǎn)，主要利用正弦定理、余弦定理解決一些簡(jiǎn)單的三角形的度量問(wèn)題以及幾何計(jì)算的實(shí)際問(wèn)題，常與三角變換、三角函數(shù)的性質(zhì)交匯命題

10、例2設(shè)甲、乙兩樓相距，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?，則甲、乙兩樓的高分別是（ ）.A. B. C. D. 【答案】D【解析】設(shè)甲樓為，乙樓為，如圖，在， ，在中，設(shè)，由余弦定理得： ，即，解得，則甲、乙兩樓的高分別是，【易錯(cuò)點(diǎn)】沒(méi)有正確理解題意，不能將應(yīng)用轉(zhuǎn)化為可計(jì)算的三角模型【思維點(diǎn)撥】正弦定理、余弦定理及其在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用是高考的熱點(diǎn)，主要利用正弦定理、余弦定理解決一些簡(jiǎn)單的三角形的度量問(wèn)題以及幾何計(jì)算的實(shí)際問(wèn)題，常與三角變換、三角函數(shù)的性質(zhì)交匯命題【鞏固訓(xùn)練】題型一 正弦定理、余弦定理的直接應(yīng)用1.在ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a,b,c，已知a=2， 2

11、sinA=sinC=時(shí)，求b及c的長(zhǎng)【答案】b=或2；?！窘馕觥慨?dāng)a=2，2sinA=sinC時(shí)，由正弦定理，得c=4由sinC=，及0C得cosC=±由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得b2±b-12=0解得 b=或2所以 或 2.在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c. 已知b+c=2a cos B.（I）證明：A=2B；（II）若ABC的面積，求角A的大小.【答案】（1）略 （2）或【解析】（I）由正弦定理得故于是，又,故所以或因此（舍去）或所以，（II）由得，故有，因?yàn)椋糜?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，綜上，或3.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c

12、，已知（I）求C；（II）若的面積為，求的周長(zhǎng)【答案】（I）；（II）【解析】（I）由已知及正弦定理得，故可得，所以(II)由已知，.又，所以.由已知及余弦定理得，.故，從而.所以的周長(zhǎng)為題型二 利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形狀1.在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若cacosB(2ab)cos A，則ABC的形狀為()A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形【答案】D【解析】因?yàn)閏acosB(2ab)cos A， C(AB)，所以由正弦定理得sin Csin Acos B2sin Acos AsinB·cos A，所以sin Acos

13、 Bcos Asin Bsin AcosB2sin Acos AsinBcos A，所以cos A(sin Bsin A)0，所以cos A0或sin Bsin A，所以A或BA或BA(舍去)，所以ABC為等腰或直角三角形2.在ABC中,若sin A=2cos Bsin C,則ABC的形狀是. 【答案】等腰三角形【解析】由已知等式得a=2··c,所以a2=a2+c2-b2,所以c2=b2,即c=b.故ABC為等腰三角形.3. ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若cos A，則ABC為()A鈍角三角形 B直角三角形C銳角三角形 D等邊三角形【答案】A【

14、解析】依題意，得cos A，sin Csin Bcos A，所以sin(AB)sin Bcos A，即sin Bcos Acos Bsin Asin Bcos A0，所以cos Bsin A0.又sin A0，于是有cos B0，B為鈍角，ABC是鈍角三角形，選A.題型三 與三角形有關(guān)的不等式問(wèn)題1.在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知cos2Bcos B1cos A cos C.(1)求證：a，b，c成等比數(shù)列； (2)若b2，求ABC的面積的最大值【答案】（1）略 （2）.【解析】(1)證明：在ABC中，cos Bcos(AC)由已知，得(1sin2B)cos(AC)1

15、cos A cos C，sin2B(cos A cos Csin A sin C)cos A cos C，化簡(jiǎn)，得sin2Bsin A sin C. 由正弦定理，得b2ac，a，b，c成等比數(shù)列(2)由(1)及題設(shè)條件，得ac4.則cos B，當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)，等號(hào)成立0<B<，sin B.SABCac sin B×4×.ABC的面積的最大值為.2在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為已知.(1).求角A的大??；(2).若， 的面積為，求的值【答案】(1). (2). 【解析】(1).由已知得，化簡(jiǎn)得，整理得，即，由于，則，所以(2).因?yàn)椋愿鶕?jù)余弦定理得，即，所以3.在AB

16、C中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且滿足cos2Ccos2A2sin(1)求角A的大??；(2)若a，且ba，求2bc的取值范圍【答案】（1）A或.（2），2)【解析】(1)由已知得2sin2A2sin2C，化簡(jiǎn)得sin2A，sin A±，又0<A<，sin A， 故A或.(2)由，得b2sinB，c2sinC，因?yàn)閎a，所以BA，所以A，故2bc4sinB2sinC4sinB2sin3sinBcos B2sin.因?yàn)閎a，所以B<，所以B<，所以2bc的取值范圍為，2)題型四 解三角形的實(shí)際應(yīng)用1.一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65&