高等數(shù)學(xué)A教案

1、講授內(nèi)容 §6.1 定積分的元素法 §6.2定積分在幾何上的應(yīng)用教學(xué)目的1. 深刻理解定積分的元素法的思想.2. 掌握用定積分的元素法計(jì)算實(shí)際問題的條件和解題步驟.3 熟練掌握平面圖形面積和旋轉(zhuǎn)體體積的計(jì)算方法. 4 會(huì)求平面曲線的弧長及簡(jiǎn)單的平行截面面積為已知的立體體積.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：求平面圖形面積和旋轉(zhuǎn)體體積及平面曲線的弧長.難點(diǎn)：求旋轉(zhuǎn)體體積.教學(xué)方法：講授教學(xué)建議1應(yīng)用定積分的元素法關(guān)鍵是根據(jù)題中的具體條件，利用所學(xué)的幾何或物理的知識(shí)，求出所求量的微元.2. 計(jì)算平面圖形面積時(shí)，應(yīng)根據(jù)圖形的特點(diǎn)選擇積分變量.3. 當(dāng)旋轉(zhuǎn)軸與坐標(biāo)軸平行時(shí),只需作坐標(biāo)軸平移再用旋

2、轉(zhuǎn)體體積公式算出體積.4. 求平面曲線的弧長時(shí)，重點(diǎn)是記住公式教學(xué)過程一、元素法:當(dāng)實(shí)際問題中的所求量A符合下列條件:1) A是與一個(gè)變量x的變化區(qū)間a,b有關(guān)的量;2) A對(duì)于區(qū)間a,b具有可加性,即:將區(qū)間a,b分成許多部分區(qū)間,則A相應(yīng)地分成許多部分量,A等于許多部分量的和; 3) 部分量的近似值為,即: .則A可以用定積分來表示,其方法為:1） 選取變量x并確定區(qū)間a,b;2） 將a,b分成n個(gè)小區(qū)間,并任取小區(qū)間x,x+dx,此小區(qū)間上的部分量.且.即.稱dA為A的元素.3） 以A的元素f(x)dx為被積表達(dá)式,在a,b上積分:得.這種方法為元素法.關(guān)鍵在于第二步.求出元素二、平面圖

3、形的面積1直角坐標(biāo)情形1）X型:由、與軸圍成的曲邊梯形的面積: 由、圍成的曲邊梯形的面積:2） Y型:由曲線 、直線、，與軸圍成的曲邊梯形的面積為:由曲線、直線、，圍成的曲邊梯形的面積為:例1 計(jì)算由曲線: 和所圍成的圖形的面積解: 1) 交點(diǎn)坐標(biāo)(0,0)和(1,1). 2) 取x為積分變量,積分區(qū)間為0,1. 3) 面積元素: .4) 所求面積: 例2 計(jì)算由拋物線和直線所圍成的圖形的面積解: 1) 交點(diǎn)坐標(biāo)(2,-2)和(8,4).2) 取為積分變量,積分區(qū)間為-2,4.3) 面積元素: .4) 所求面積: 當(dāng)選取為積分變量時(shí),計(jì)算較繁.例3 求橢圓所圍成圖形的面積.解: 由對(duì)稱性，所求

4、面積.由參數(shù)方程和換元法有:例4 求由曲線所圍成的圖形的面積.解：當(dāng)時(shí),，則; 當(dāng)0<x1,0<y1時(shí), 則;當(dāng)0<x1,y>1時(shí),則，當(dāng)x>1,0<y1時(shí),，則交點(diǎn)坐標(biāo):A(1/e,1),B(1,1/e),C(1,e),D(e,1)選取x為積分變量,則所求面積為:+=例5 求拋物線及其在點(diǎn)處的法線所圍成的面積.解：曲線在點(diǎn)處的法線方程為:.交點(diǎn)坐標(biāo)為和所求面積為：S = =.例6 求位于曲線y=ex下方,該曲線過原點(diǎn)的切線的左方以及x軸上方之間的圖形的面積.解: 設(shè)曲線上的點(diǎn)為(x0,y0),過該點(diǎn)的切線為 由于切線過原點(diǎn),解得x0=1,從而曲線上過原點(diǎn)的

5、切點(diǎn)為(1,e).切線方程為y=ex.所求面積為S=+=.注：在直角坐標(biāo)系下，應(yīng)先畫出平面圖形的大致圖形，特別是曲線與坐標(biāo)軸或曲線之間的交點(diǎn)，然后根據(jù)圖形的特征，選擇相應(yīng)的積分變量及積分區(qū)域，再寫出面積的積分表達(dá)式來計(jì)算.2. 參數(shù)方程的情形設(shè)曲邊梯形的曲邊y=f(x),f(x)>0,xa,b為：x=(t), y=(t) t為參數(shù)如果x=(t)滿足:1）()=a, ()=b, (t)在,或,上具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù);2）y=(t)連續(xù);則曲邊梯形的面積為:A=例7 求由擺線x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱(0t2)與橫軸所圍成的圖形的面積.解:=3a2.注：對(duì)于這種類型的題，

6、首先畫出平面區(qū)域的大致圖形，然后結(jié)合圖形的具體特點(diǎn)，找出參數(shù)的范圍，再由積分公式來計(jì)算圖形的面積.3極坐標(biāo)情形1) 極點(diǎn)在所圍圖形的邊界上圖(a)求由曲線=()及射線,()所圍成的圖形的面積.其中=()ÎC,且()>0. , A=()2d圖(c)圖(b)圖(a)2） 極點(diǎn)在所圍圖形外部圖(b) :A=22()-12()d3） 極點(diǎn)在圖形的內(nèi)部圖(c):A=()2d例8 計(jì)算阿基米德螺線=a (a>0)上相應(yīng)于從0到2的一段弧與極軸所圍成的圖形面積.解: 所求面積A=(a)2d=4a23/3. 例9計(jì)算心形線=a(1+cos) (a>0)所圍圖形的面積.解: 由對(duì)稱性

7、,所求面積為: A=2a(1+cos)2d=3a2/2例10求由曲線=3cos和=1+cos所圍圖形的公共部分的面積.解: 由對(duì)稱性所求面積為:S=2(S1+S2).由3cos=1+cosÞ=/3. S1=3cos2d=d=-S2=(1+cos)2d=(1+2cos+)d=+S=5/4.例11求由曲線=asin,=a(cos+sin) (a>0)所圍圖形公共部分的面積.解：所求面積為:S=S1+S2.其中 S1=(a/2)2=a2/8;S2=a(cos+sin)2d=a2/8-a2/4S=a2(-1)/4.注：計(jì)算這種類型題時(shí)，先將圖形畫出來，然后求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，再由對(duì)稱性求出

8、圖形的面積.例12 設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，,在(a,b) 內(nèi)有，求證在(a,b)內(nèi)存在唯一的點(diǎn)使曲線y=f(x)與兩直線y=f()，x=a所圍成圖形的面積是曲線y=f(x)與兩直線y=f()，x=b所圍成圖形的面積的三倍.解：先證存在性, 在取,令F(t) =則F(t)在a,b上連續(xù)，又，所以f(x)在a,b上是單調(diào)增加的, 則(a)由零點(diǎn)定理知使.再證唯一性，由知(t)在(a,b)內(nèi)是單調(diào)增加的.所以在(a,b)內(nèi)只有一個(gè)使=3.三、體積1. 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體：平面圖形繞平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，直線為旋轉(zhuǎn)軸.1)由y=f(x),x=a和x=b(a<b)及x軸圍成的曲邊

9、梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)的體積:V=f(x)2dx,體積元素:dV=f(x)2dx. 同理：x=(y), y=c, y=d(c<d)及y軸所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)的體積: V=由平面圖形0axb,0yf(x)繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為:V= 小圓柱體的體積為V=(x+dx)2-x2f(x)=2xf(x)dx+f(x)(dx)2即體積元素為:dV=2xf(x)dx,所求體積為: V=2xf(x)dx例13連接坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0)及點(diǎn)P(h,r)的直線,直線x=h及x軸圍成一個(gè)直角三角形,將其繞x軸旋轉(zhuǎn)得一底半徑為r,高為h的圓錐體,求其體積.解: 連接OP的直線方程為:y=x.所求體積為:V=x2

10、dx=r2h/3.例14求橢圓+=1繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體(旋轉(zhuǎn)橢球體)的體積.解：所求體積為V=b2(1-)dx=4ab2/3.例15求由擺線x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱,直線y=0所圍成的圖形分別繞x軸和y軸和y=2a旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體體積.解：1)繞x軸旋轉(zhuǎn)的體積為：Vx =y2dx=a3(1-cost)3dt=52a3.2)繞y軸旋轉(zhuǎn)的體積為：(解法一) Vy =x2(y)2dy-x1(y)2dy=-=-a3a3=-a3=-a3=42a3=42a3 +=63a3.(解法二) Vy =2=2=2a3=2a3 -=2a32a3=2a3=42a3=63a3.V2a =a3

11、=3a3+=3a3-2=72a3.注：當(dāng)旋轉(zhuǎn)軸與坐標(biāo)軸平行時(shí)，只需作坐標(biāo)軸平移再用旋轉(zhuǎn)體體積公式即可算出體積.例16求圓盤x2+y2a2 繞x=-b(b>a>0)旋轉(zhuǎn)所成的圓環(huán)體的體積.解；1) V=- = y+=4b =22a2b.2) 小圓柱體的體積為:dV=4(x+b)f(x)dxV=4(x+b)f(x)dx=4(x+b) dx=22a2b.例17設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間0,1上連續(xù),在開區(qū)間(0,1)內(nèi)大于零,并滿足(a為常數(shù)),又曲線y=f(x)yu 下,所圍的圖形的面積值為2,求函數(shù)y=f(x)并問a為何值時(shí),圖形S繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積最小.解：由題意知當(dāng)時(shí),

12、 ,即又f(x)在點(diǎn)x=0處連續(xù), 由已知條件知,即c=4-a所以旋轉(zhuǎn)體的體積為由=0,得a=-5.又所以當(dāng)a=-5時(shí), 旋轉(zhuǎn)體的體積最小.2. 平行截面面積為已知的立體的體積設(shè)立體介于平面x=a和x=b之間,A(x)為過點(diǎn)x且垂直于x軸的截面面積.假設(shè)A(x)為x的已知的連續(xù)函數(shù),則該立體的體積為:(如圖) V=A(x)dx.例18一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心,并與底面交成角,計(jì)算此平面截圓柱體所得的立體的體積.解: 用垂直于x的平面截此立體,得截面面積為:A(x)=y·ytan=(R2-x2)tanV=(R2-x2)tandx=R3tan例19求以半徑為R的圓為底、平行且

13、等于底圓直徑的線段為頂、高為h的正劈錐體的體積.解: 垂直于x的截面面積為：A(x)=h·y=h·V=h·dx=R2h/2.例20計(jì)算圖中球缺的體積. 解：在R-H,R上任取一點(diǎn)y,過點(diǎn)y且垂直于y軸的截面面積為:A(y)= (R2-y2).V=(R2-y2)dy=H2(R-H/3).注：在求平行截面面積已知的立體體積時(shí)，重點(diǎn)是找出x點(diǎn)處截面面積函數(shù)A(x) ,然后用體積公式即可求出.三、平面曲線的弧長1. 平面曲線弧長的概念設(shè)A、B為弧上的兩個(gè)端點(diǎn).在 上任取分點(diǎn)A=M0, M1, M2,Mn-1, Mn=B,并依次連接相鄰分點(diǎn)得一折線.當(dāng)分點(diǎn)數(shù)目無限增加時(shí),小

14、弧段都縮向一點(diǎn),如果極限:|Mi-1Mi| 存在，稱此極限為曲線弧的弧長，并稱此曲線弧是可求長的.定理：光滑曲線弧是可求長的.1）直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線弧的方程為：y=f(x) (axb).其中f(x)在a,b上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù). 取x為積分變量，則曲線上對(duì)應(yīng)區(qū)間x,x+dx一段小弧段的長度用對(duì)應(yīng)的切線上一小段近似代替,則有ds=dx.s=dx例21計(jì)算曲線y=(2/3)x3/2上對(duì)應(yīng)與x從a到b的一段弧長.解:ds=dx=dx.s=dx=2/3(1+b)3/2-(1+a)3/2.例22計(jì)算半立方拋物線y2=(2/3)(x-1)3被拋物線y2=x/3截得的一段弧的長度.解：交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,

15、7;).半立方拋物線的定義域?yàn)?,+,因此,積分區(qū)間為1,2. 由y2=(2/3)(x-1)3得：2yy=2(x-1)2 ，所以y2=3(x-1)/2.又立方拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱,因此,所求弧長為:s =2dx=2dx=dx=d(3x-1)=2）參數(shù)方程情形設(shè)曲線的參數(shù)方程為：x=(t),y=(t).(t)則其弧長元素為:ds=dt.弧長為:s=dt.例23計(jì)算擺線x=a(-sin),y=a(1-cos)的一拱(02)的長度.解：ds=d=2asinds=2asind=8a.例24在擺線x=a(-sin),y=a(1-cos)上求分?jǐn)[線第一拱成1:3的點(diǎn)的坐標(biāo).解：設(shè)分?jǐn)[線第一拱的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為

16、=.則s=2asind=-4acos/2=4a(1-cos/2)=2a,解得=2/3.所求點(diǎn)為 ()a,a). 例25將繞在圓(半徑為a)上的細(xì)線放開拉直,使細(xì)線與圓周始終相切,細(xì)線端點(diǎn)畫出的軌跡稱為圓的漸伸線,其方程為:x=a(cost+tsint),y=a(sint-tcost).求這曲線上相應(yīng)于t從0到的一段弧的長度.解：ds=dt=atdts=atdt=a2/23）極坐標(biāo)情形設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為：=() ().弧長元素為:ds=d.弧長為:s=d例26求阿基米德螺線=a(a>0)相應(yīng)于從0到2一段的弧長.解：ds=d=ad.s =ad=shtachtdsht=achtsht|0a

17、rcsh2-sh2tdt=a2-(ch2t-1)dt=a2+arsh2-achtdsht=2+ln(2+)例27求心形線=a(1+cos)的全長.解：=as= a=2a=4acos/2d=8a.例28求曲線=1(雙曲螺線)相應(yīng)于=3/4到=4/3的一段弧長.解:ds=d=ds =d=-d()=-+d=5/12+ln(+)=5/12+ln3/2注：求平面曲線的弧長時(shí)，重點(diǎn)是記住公式ds=.例29求曲線 的弧長，（的整數(shù)）解： s =講授內(nèi)容 6.3 定積分在物理上的應(yīng)用教學(xué)目的與要求1. 了解有關(guān)物理的一些實(shí)際問題如做功，水壓力，引力等.2. 能正確應(yīng)用定積分計(jì)算物理學(xué)中的一些實(shí)際問題.重難點(diǎn)重

18、點(diǎn):變力沿直線作功和液體的側(cè)壓力.難點(diǎn)：物體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力.教學(xué)方法:講授教學(xué)建議 應(yīng)用定積分計(jì)算物理學(xué)中的一些實(shí)際問題，首先把實(shí)際問題化為數(shù)學(xué)問題，由相應(yīng)的物理原理通過元素法寫出積分形式.學(xué)時(shí)：2學(xué)時(shí)教學(xué)過程一、 變力沿直線所作的功設(shè)物體在作直線運(yùn)動(dòng)時(shí)有一個(gè)恒力F作用在此物體上，當(dāng)力的方向與運(yùn)動(dòng)方向一致時(shí)，力F所作的功為:W=Fs . 當(dāng)力為變力時(shí)，則為變力作功.例1將一個(gè)帶+q電量的點(diǎn)電荷放在r軸上坐標(biāo)原點(diǎn)O處,產(chǎn)生一個(gè)電場(chǎng).此電場(chǎng)對(duì)周圍的電荷有作用力.如果將一個(gè)單位正電荷放在這個(gè)電場(chǎng)中距離原點(diǎn)O為r的地方,則電場(chǎng)對(duì)它的作用力的大小為F=k(k常數(shù)).將這個(gè)單位正電荷在電中從r=a處沿r軸移

19、動(dòng)到r=b(a<b)處時(shí),計(jì)算電場(chǎng)力F對(duì)它作的功.解:功元素為: dW= W= .例2用鐵錘將一鐵釘擊入木板,設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘擊入木板的深度成正比,在擊第一次時(shí),將鐵釘擊入木板1cm.如果鐵釘每次打擊鐵釘所作的功相等,問第二次時(shí),鐵釘又擊入多少?解：設(shè)y軸正向與打擊方向一致.由于鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘擊入木板的深度成正比,從而阻力為ky.(y為鐵釘擊入木板的深度,k為阻力系數(shù))功元素為dW=kydy.設(shè)第二次又擊入了h(cm).則第一次鐵鐵錘所作的功為:W1=kydy=k/2. 第二次鐵錘所作的功為:W2=kydy=k(1+h)2-1/2.由W1=W2得:h=-1(cm).例3半徑為r

20、的球沉入水中,球的上部與水面相切,球的比重與水的比重相同,現(xiàn)將球從水中取出,需要作多少功?解: 建立圖示坐標(biāo)系.取x為積分變量.將球從水中取出所作的功,相當(dāng)于將圖中小薄片提升2r的高度所作的功的和的極限.將薄片從點(diǎn)A提升到點(diǎn)B,由于球的比重與水的比重相同,從而在水中浮力與重力的合力為零,所以提升力所作的功為零.再由水面提升到點(diǎn)B時(shí),此時(shí)只有克服重力.又薄片在水中的行程為r+x,從而在水面上的行程為:2r-(r+x)=r-x.從而功元素為:dW=mg(r-x)=1·y2(x)dx(r-x)=g(r-x)(r2-x2)dx.所作的功為:g(r-x)(r2-x2)dx=4gr4/3.解法2：如圖,以水面與球相切的切點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).已知球缺的體積為:V=x2(r-x/3).由于球的比重與水的比重相同,將球提升x高度時(shí),球的全部合外力的和為提升力F,重力mg和浮力U.由于球在水中的部分其重力與浮力的合力為零.因此提升力即為球在水面上方的部分的重力.且提升力為:F=將球提升dx高度,功元素為dW=F·dx,積分區(qū)間為0,2r.W=dx+dxdx2r-x=t-dtW=dr=4gr4/3.例4設(shè)一錐形貯水池,深15m,口徑20m,盛滿水,現(xiàn)用唧筒將水吸盡,問要作多少功?解：如圖建立坐標(biāo)系,取一薄層水,將此水吸