高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目

1、電池剩余放電時(shí)間預(yù)測(cè)摘要 鉛酸電池的剩余放電時(shí)間是電池性能指標(biāo)中的一個(gè)重要參數(shù)，對(duì)電池的輸出性能和使用壽命有著至關(guān)重要的影響。但是在生活中不免遇到電池用完了卻沒(méi)有備用電池的情況，而且電池的使用時(shí)間在我們生活中與我們息息相關(guān)，有時(shí)候這會(huì)給我們的生活造成很大的困擾。本文就是對(duì)電池剩余電量和放電時(shí)間的矛盾進(jìn)行討論得出一個(gè)相對(duì)準(zhǔn)確的電池剩余放電時(shí)間預(yù)測(cè)的一個(gè)模型的建立。 針對(duì)問(wèn)題一：電池的剩余放電量這一問(wèn)題。首先，根據(jù)題目我們得知鉛酸電池在放電過(guò)程中電流時(shí)恒定的，并且鉛酸電池的額定保護(hù)電壓是9V，我們根據(jù)附件一給出的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，然后利用MATLAB軟件進(jìn)行圖像擬合，得到一個(gè)電壓與時(shí)間的放電曲線圖，并

2、且，根據(jù)MATLAB軟件擬合得出的圖像，經(jīng)過(guò)figure對(duì)圖像的精確處理，最終得出初等函數(shù)來(lái)表示各放電曲線。又根據(jù)平均相對(duì)誤差定義得出：平均相對(duì)誤差（MRE是預(yù)測(cè)誤差相對(duì)值的平均值，其計(jì)算公式為：）根據(jù)公式和附件一中給出的數(shù)據(jù)按照比例篩選出231組數(shù)據(jù)【附件二】，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，我們分別求出各放電曲線的平均相對(duì)誤差。并且根據(jù)測(cè)得電壓都為9.8V時(shí)，根據(jù)模型得出電池剩余放電時(shí)間分別是多少。針對(duì)問(wèn)題二：根據(jù)數(shù)據(jù)擬合的曲線圖像得出三種情況進(jìn)行討論。用初等函數(shù)表示A20-A100的放電曲線，并根據(jù)放電曲線的平均相對(duì)誤差。然后分別求出它們剩余放電時(shí)間。然后我們利用求平均數(shù)的方法大概繪制出55A的曲線圖

3、。針對(duì)問(wèn)題三：根據(jù)附件2中的數(shù)據(jù)，利用Excel表格數(shù)據(jù)整理得出圖形【附件三】，分析并計(jì)算得出模型1、模型2，通過(guò)優(yōu)化得出模型3。由于同一電池在不同衰減狀態(tài)下，在同一電流強(qiáng)度情況下從充滿電開(kāi)始放電，時(shí)間隨電壓不斷變化，所以我們從電壓方面進(jìn)行具體分析。一.問(wèn)題重述鉛酸電池作為電源被廣泛用于工業(yè)、軍事、日常生活中。在鉛酸電池以恒定電流強(qiáng)度放電過(guò)程中，電壓隨放電時(shí)間單調(diào)下降，直到額定的最低保護(hù)電壓（Um）。電池在當(dāng)前負(fù)荷下還能供電多長(zhǎng)時(shí)間（即以當(dāng)前電流強(qiáng)度放電到Um的剩余放電時(shí)間）是使用中必須回答的問(wèn)題。同時(shí)還要考慮到電池通過(guò)較長(zhǎng)時(shí)間使用或放置，充滿電后的荷電狀態(tài)會(huì)發(fā)生衰減。問(wèn)題1 附件1是同一生產(chǎn)

4、批次電池出廠時(shí)以不同電流強(qiáng)度放電測(cè)試的完整放電曲線的采樣數(shù)據(jù)。請(qǐng)根據(jù)附件1用初等函數(shù)表示各放電曲線，并分別給出各放電曲線的平均相對(duì)誤差（MRE，定義見(jiàn)附件1）。如果在新電池使用中，分別以30A、40A、50A、60A和70A電流強(qiáng)度放電，測(cè)得電壓都為9.8伏時(shí)，根據(jù)你獲得的模型，電池的剩余放電時(shí)間分別是多少？問(wèn)題2 試建立以20A到100A之間任一恒定電流強(qiáng)度放電時(shí)的放電曲線的數(shù)學(xué)模型，并用MRE評(píng)估模型的精度。用表格和圖形給出電流強(qiáng)度為55A時(shí)的放電曲線。問(wèn)題3 附件2是同一電池在不同衰減狀態(tài)下以同一電流強(qiáng)度從充滿電開(kāi)始放電的記錄數(shù)據(jù)。試預(yù)測(cè)附件2中電池衰減狀態(tài)3的剩余放電時(shí)間。二問(wèn)題分析針

5、對(duì)問(wèn)題一，我們對(duì)附表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，采用數(shù)據(jù)擬合的方法，根據(jù)數(shù)據(jù)擬合的曲線圖像得出三種情況進(jìn)行討論。用初等函數(shù)表示A20-A100的放電曲線，并根據(jù)放電曲線的平均相對(duì)誤差。然后分別求出它們剩余放電時(shí)間。針對(duì)問(wèn)題二，根據(jù)附件1給出的數(shù)據(jù)，篩選數(shù)據(jù)后擬合出20A-100A之間任一恒定電流強(qiáng)度放電時(shí)的放電曲線的模型，三.模型假設(shè)1假設(shè)外界環(huán)境不發(fā)生變化2假設(shè)電池容量恒定五.符號(hào)定義及說(shuō)明符號(hào)含義單位T電池剩余時(shí)間min(分鐘)U電壓V(伏)I電流A（安）Tn電池剩余時(shí)間預(yù)測(cè)min（分鐘）Um最低保護(hù)電壓V(伏)六.模型的建立與求解6.1 對(duì)問(wèn)題一建立模型與求解多項(xiàng)式模型：首先對(duì)以20A恒定電流放電

6、數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。利用MATLAB建立電壓放電時(shí)間的線性模型：，圖 1該模型較大，并且觀察數(shù)據(jù)容易發(fā)現(xiàn)前10組數(shù)據(jù)殘差較大，因此將前10組數(shù)據(jù)舍去，并且采用多項(xiàng)式擬合，擬合模型如下：，圖 2該多項(xiàng)式模型相對(duì)線性模型較小，已經(jīng)達(dá)到0.99并且二次項(xiàng)系數(shù)已經(jīng)很小，因此采用二次多項(xiàng)式擬合。20A100A二次多項(xiàng)式模型表1：電流/A模型MRE20A2.2980.99190.035030.58%30A2.0590.98850.041111.1440A1.3110.98930.039211.39%50A0.97060.98830.038791.093%60A0.69090.98920.03672.16%70A

7、0.59130.98860.037430.846%80A0.43790.98960.0350790A0.34460.99010.03383100A0.24940.99130.03097表 1根據(jù)以上二次多項(xiàng)式模型，分別求出和的時(shí)間和，則 即為在新電池使用中，分別以30A、40A、50A、60A和70A電流強(qiáng)度放電，測(cè)得電壓都為9.8伏時(shí)，電池的剩余放電時(shí)間，如下表：電流20A30A40A50A60A70A80A90A100A剩余放電時(shí)間/min1387.1953.8655.2514.1418.4348.5303.9262.7238.6表 26.2對(duì)問(wèn)題二建立模型與求解根據(jù)問(wèn)題一建立的電壓與放電

8、時(shí)間的二次多項(xiàng)式模型，建立多項(xiàng)式系數(shù)隨電流變化的模型。二次多項(xiàng)式模型中多項(xiàng)式系數(shù)與電流的關(guān)系如下表：電流/A二次項(xiàng)系數(shù)a一次項(xiàng)系數(shù)b常數(shù)項(xiàng)c20-7.25E-08-0.0000758910.5630-1.48E-07-0.000167910.5840-3.35E-07-0.000163910.5350-5.72E-07-0.000177510.4860-8.97E-07-0.000200310.4570-1.4E-06-0.000157910.3880-1.92E-06-0.000181410.3490-2.68E-06-0.000170210.31100-3.35E-06-0.0002689

9、10.28表 3利用MATLAB分別建立系數(shù)與電流的關(guān)系如下： 圖 3 圖 4 圖 5根據(jù)以上模型求出電流為55A時(shí)電壓隨時(shí)間變化的二次模型的系數(shù)分別是： 則以55A恒定電流放電時(shí)電壓隨放電時(shí)間的模型為：55A恒定電流放電時(shí)放電曲線：圖 66.3對(duì)問(wèn)題三建立模型與求解利用Excel建立不同衰減狀態(tài)下的放電時(shí)間與電壓的二次多項(xiàng)式模型，如圖7圖 7其中二次多項(xiàng)式系數(shù)呈現(xiàn)線性關(guān)系，如圖8可以得出不同衰減狀態(tài)下模型系數(shù)與衰減狀態(tài)的關(guān)系，從而預(yù)測(cè)出衰減狀態(tài)3下的二次多項(xiàng)式模型：圖 8根據(jù)衰減狀態(tài)3下的模型與已知衰減狀態(tài)3下的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較；得到下圖：圖 9針對(duì)模型三：于同一電池在不同衰減狀態(tài)下，在同一電流

10、強(qiáng)度情況下從充滿電開(kāi)始放電，時(shí)間隨電壓不斷變化，所以我們從電壓方面進(jìn)行具體分析。7.1 對(duì)問(wèn)題三建立模型與求解根據(jù)附件2中的數(shù)據(jù)，利用Excel表格圖表散點(diǎn)處理，生成圖像如圖1： 圖1 新電池狀態(tài)與放電時(shí)間的線性圖觀察圖1得出圖像逐漸遞增，新電池狀態(tài)不斷遞增，電壓逐漸減少為9V。根據(jù)此結(jié)論：新電池狀態(tài)不斷遞增時(shí)，電壓逐漸減少為定值9V。第一種情況：根據(jù)附件2中衰減狀態(tài)1的放電記錄得出放電曲線圖2： 圖2 衰減狀態(tài)1放電預(yù)測(cè)圖利用圖2所得的圖像進(jìn)行線性預(yù)測(cè)，并計(jì)算狀態(tài)1的剩余放電時(shí)間。從計(jì)算結(jié)果對(duì)比附件2中的數(shù)據(jù)存在誤差，跟實(shí)際不相符，為此不考慮采用圖2的預(yù)測(cè)曲線。第二種情況：根據(jù)附件2中衰減狀

11、態(tài)2的放電記錄得出放點(diǎn)曲線圖3： 圖3 衰減狀態(tài)2放電預(yù)測(cè)圖 利用圖3所得的圖像進(jìn)行分析，并驗(yàn)證衰減狀態(tài)2放電所測(cè)量的數(shù)據(jù)，驗(yàn)算結(jié)果與衰減狀態(tài)2的數(shù)據(jù)相差無(wú)幾，根據(jù)驗(yàn)算結(jié)果得出圖3預(yù)測(cè)圖可以采用。第三種情況：根據(jù)附件2中衰減狀態(tài)3的部分放電記錄，利用圖3得出的結(jié)論推導(dǎo)得出： U=0-0.01229t2+7.1221t-69.753 模型1通過(guò)模型1的轉(zhuǎn)換與推導(dǎo)得出： U=4.4081t-23.492 模型2根據(jù)模型2得出圖4： 圖4 衰減狀態(tài)3的預(yù)測(cè)圖利用圖4所得的圖像進(jìn)行分析，并驗(yàn)證衰減狀態(tài)3放電所測(cè)量的數(shù)據(jù)，驗(yàn)算結(jié)果與衰減狀態(tài)3的數(shù)據(jù)與測(cè)量值接近，該預(yù)測(cè)圖不僅較好地?cái)M合了電池衰減狀態(tài)3的變

12、化曲線，并較好的預(yù)測(cè)了電池衰減狀態(tài)3的剩余放電時(shí)間，證明圖4符合。通過(guò)Excel軟件得： U=-0.01075t2+5.7353t-47.814 模型3由模型3得： 剩余放電時(shí)間t=749(min)模型的優(yōu)點(diǎn)；1、 模型的建立便于理解，問(wèn)題一的圖像更接近于實(shí)際值，且附件一大數(shù)據(jù)支持具有一定的可靠性和普遍性2、 模型的建立簡(jiǎn)單明了，簡(jiǎn)單化了問(wèn)題，已于建立。3、 在建模過(guò)程中，采用MATLAB進(jìn)行擬合，進(jìn)行了大量數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)與篩選，更加優(yōu)化了整個(gè)模型，簡(jiǎn)單高效。模型的缺點(diǎn)；1、模型的建立比較理想化，忽略實(shí)際存在的問(wèn)題，算出的有結(jié)果有較大的誤差，數(shù)據(jù)由人工計(jì)算操作，會(huì)有一定的誤差。2、模型未考慮溫度等條件。模型推廣：本模型建立關(guān)于鉛酸電池的優(yōu)化模型，是解決很多實(shí)際問(wèn)題的行之有效的方法，同時(shí)，我們還運(yùn)用了E