高中數(shù)學(xué)概率 重點問題探討

1、高中數(shù)學(xué)中古典概率應(yīng)用上之易錯處探究一、基本概念（1）分類計數(shù)原理：（2）分步計算原理：（3）排列:一般地，從個元素中取出個元素（），按照一定的順序排成一列， 叫做從個元素中取出個元素的一個排列。從個元素中取出個元素（）的所有排列的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，用符號表示，。（4）組合：一般地，從個不同元素中取出個元素（）并成一組，叫做從個元素中取出個元素的一個組合。從個元素中取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)，用符號表示。 （5）必然事件：在一定的條件下必然要發(fā)生的事件。（6）不可能事件：在一定的條件下不可能發(fā)生的事件。（7）隨機事件：在一定的條件

2、下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件。（8）在相同的條件下，進行了次試驗，在這次試驗中，事件發(fā)生的次數(shù)稱為事件發(fā)生的頻數(shù)。比值稱為事件發(fā)生的頻率。（9）一般地，在大量重復(fù)進行同一實驗時，事件發(fā)生的頻率總是接近于某個常數(shù)，在它附近擺動，這時就把這個常數(shù)叫做事件的頻率，記作，且一次實驗連同其中可能出現(xiàn)的每一個結(jié)果稱為一個基本事件，通常此試驗中的某一個事件由幾個基本事件組成，如果一次實驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有個，即此實驗由個基本事件組成。而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，那么每一個基本事件的概率都是。如果某個事件包含的結(jié)果有個，那么事件的概率 。 二、重點問題剖析1.“有放回摸球”與“無放回摸球”“有放回摸球”與“

3、無放回摸球”主要有以下區(qū)別：（1）無放回摸球主要是指每次摸出的球放在袋外，下次再摸球時總數(shù)比前次少一；而有放回的摸球是每次摸出一球放在袋內(nèi)，下次再摸球時袋內(nèi)球的總數(shù)不變。（2）“無放回摸球”各次抽取不是相互獨立的，而“有放回摸球”每次是相互獨立的。下面通過一個例題來進一步的說明“無放回摸球”與“有放回摸球”的區(qū)別。例1 袋中有1，2，3，號球各一個，采用無放回，有放回的兩種方式摸球，試求在第次摸球時首先摸到一號球的概率。解：設(shè)為事件“第i次摸到一號球” 。無放回摸球若把次摸出的個球排成一排，則從個球任取個球的每個排列就是一個基本事件，因此基本事件的總數(shù)為以數(shù)碼1，2，中任取個數(shù)碼的排列數(shù)，。下

4、面求事件包含的基本事件數(shù)，事件可分兩步完成：先在第個位置上排上1號球，只有一種排法，再在前個位置排其它個球，共有種排法，由乘法原理知，事件包含的基本事件數(shù)為，從而 。有放回的摸球因為有放回摸球，每次袋中都有個球，共摸次，故共有種可能結(jié)果，既基本事件總數(shù)為。事件可分為兩步完成：前次未摸到1號球，共有，于是。分析：對于有放回摸球與無放回摸球題型，在審題時一定要注意是有放回還是無放回，然后根據(jù)題意來考慮排列與組合的應(yīng)用，總之，一定要抓住題目的隱含條件與已知條件的關(guān)系，所要求的問題與已知條件之間的連接點，這樣才能夠很快的解決問題而不至于錯誤。2.“隔板法”隔板法是插空法的一種特殊情況，它的使用非常廣泛

5、，能解決一大類組合問題。下面用一個具體的例子來說明它的使用的優(yōu)越性。例2 將9個相同的小球放到六個不同的盒子里，每個盒子至少放一個球，有多少種不同放法。解法一：先在盒子里各放一個球，再把剩下的3個球放到6個盒子里，分三類： 3個球放到一個盒子里，有種放法； 3個球放到兩個盒子里，球數(shù)分別為2，1，共種放法； 3個球放到3個盒子里，每個盒子各一個球，共種放法。根據(jù)分類計數(shù)原理，共有種放法。解法二（隔板法）：把 6個盒子看做由平行的7個隔板組成的，每一個滿足要求的放法、相當(dāng)于9個小球和7個隔板的一個排列，其中2個隔板在兩頭，任何2個隔板之間至少有1個球（既任何2個隔板不相鄰），把兩頭的2個隔板拿掉

6、，每一個滿足要求的放法還相當(dāng)于再排成一列的9個小球間8個空檔中插入5個隔板，不同的放球方法即插隔板的方法，共有種。分析：對于用隔板法解決概率問題，一般都是將問題的思考角度進行轉(zhuǎn)化，使問題從多向思維向單一思維轉(zhuǎn)化，然后把問題的本質(zhì)找出來進行剖析，問題自然就很好理解了。上述解法2應(yīng)用了對應(yīng)的方法，轉(zhuǎn)化為插空問題，計算比較簡單，但不易理解，等理解透徹后，就會發(fā)現(xiàn)隔板法是非常好用的，是具有普適性的方法。但一定要注意的是應(yīng)用此法的前提是小球是完全相同（不加區(qū)分），盒子是不同的，每個盒子至少放一球。例3 要從高一年級8個班中產(chǎn)生12學(xué)生代表，每個班至少產(chǎn)生一名代表，則代表名額的分配的方案至少有多少種?解：

7、這個問題如果用原始的方法來分析，是比較麻煩的額，但如果轉(zhuǎn)化問題的角度，用“隔板法”來理解，這個問題就容易解決了。把12個名額看做12個相同小球，8個班看做8個不同的盒子，用隔板法知道名額分配方法共有種。 3. 分組問題分組問題時排列組合中的一個難點，主要有以下兩種情況。（1）非平均分組問題在非平均分組問題中，不管是給出組名或不給出組名，其分組的方法相同。例4 把12人分成如下三組，分別求出以下各種分組的方法數(shù)：分成甲、乙、丙三組，其中甲組7人、乙組3人、丙組2人。分成三組，其中一組7人、一組3人、一組2人。解：先從12人中任選7人為甲組，余下5人中任選3人為乙組，剩下2人為丙組，則共有種不同的

8、方法。先從12人中任選7人為一組有種選法，再從余下5人中任選3人有種選法，剩下的兩人為一組，共有種不同的選法。分析：在第一個問題中，學(xué)生很容易受到干擾，就是對于甲、乙、丙三組，和分成三組時否需要乘以的問題。但是由于各組的人數(shù)不同，這個問題屬于非平均分組問題，雖然第一小問給出了分組的名稱，但是這個并不影響最后的結(jié)果，它們的分組方法都是一樣的。（2）平均分分組問題。分析：上面的非平均分組問題中，是否給出組名對結(jié)果沒有影響，但在平均分組問題中一定要注意問題是否給出了具體的組名，它們的結(jié)果是不同的。 例5 有6本不同的書，按下列要求分配，各有多少種分發(fā)。分給甲、乙、丙三人，每人2本；平均分成三份。解：

9、從6本書中任取2本給一個人，再從剩下的4本中取2本給另外一個人，剩下的2本給最后一個人，共有種分法。設(shè)平均分成三堆有x種分法，在分給甲乙、丙三人每人各2本，則應(yīng)有種分法。所以有 種不同的分法。說明：上面例子中可以看出：兩個問題都是分成三堆，每堆兩本，屬于平均分組問題，而（1）分到甲、乙、丙三人，屬于到位問題，相當(dāng)于給出了甲、乙、丙三個指定的組，但（2）沒有給出組名，因而是不同的。規(guī)律：一般地，把個元素平均分到個不同的位置，有種方法，把個不同元素平均分成組有種分法。4. 圓排列與重復(fù)組合問題（1）圓排列 定義1：從個不同的元素中任取個，按照一定的順序排成圓形，叫做一個圓排列。定義2：從個不同的元

10、素中取出個元素的所有圓排列的個數(shù)，叫做圓排列數(shù)，用符號表示。例6 5個朋友坐在圓桌周圍時，席位排列方法有幾種？解：設(shè)5個人分別為a，b，c，d，e，把他們排成一排時，排列的數(shù)目是5！，排成圓形時，像下圖那樣只是轉(zhuǎn)了一個地方的排法被看做是一樣的，所以根據(jù)乘法原理得： 所以 答：席位的排列方法有24種。命題1： n個不同的元素的圓排列數(shù)。例7 有6名同學(xué)做成一圓圈做游戲，有多少種做法？解: 據(jù)命題一，種。答：共有120種。命題2：從個元素中取出個元素的圓排列數(shù)。證明：從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)為種，而將這個元素排成圓形由命題1共有種方法，于是由乘法原理得 .（2）重復(fù)組合定義3：從個不同的元

11、素中任取個元素，元素可以重復(fù)選取，不管怎樣的順序并成一組，叫做重復(fù)組合。定義4：從個不同的元素中取出個元素的所有重復(fù)組合的個數(shù)，叫做重復(fù)組合數(shù)，用符號表示。例8 有5個數(shù)1，2，3，4，5，同一個數(shù)允許選用任意次，求從中選出3個的重復(fù)組合數(shù)。解：如果從5個中選出3個時，選的都是不同的數(shù)，那么很明顯組合數(shù)為，但是同一個數(shù)允許選用任意次，因此像（1，1，1），（1，2，1），（4，4，5），的組合也應(yīng)在算內(nèi)，所以要想辦法，把問題轉(zhuǎn)化成選取的全是不同元素的問題，為了把上述（1，1，1），（1，2，1），（4，4，5）改成全是不同的數(shù)，先把這些數(shù)按從小到大的順序排列起來得到（1，1，1），（1，2，1

12、），（4，4，5）。然后第一個數(shù)不 變，在第二個數(shù)上加1，在第三個數(shù)上加2，這就變成：（1，2，3），（1，2，4），（4，6，7）。一般地，可以證明左右兩邊是一一對應(yīng)的（左右各有一組互相對應(yīng)，一組不能和兩組以上對應(yīng)）。這樣，中即使有相同的元素，在上述的一一對應(yīng)中，也能夠改變成沒有相同的元素組，所以從整體上來說，結(jié)果就成了從1，2，3，4，5，6，7的7個數(shù)中選取3個不同的元素的組合問題了，即 。答：從1，2，3，4，5中選取3個數(shù)的重復(fù)組合數(shù)為35。命題3：從n個不同的元素中選取出m個元素的重復(fù)組合數(shù)為 。例9 從3，5，7，11這4個質(zhì)數(shù)中任取兩個相乘，同一個數(shù)允許重復(fù)使用，可以得到多少個

13、不相同的乘積？解：根據(jù)命題3有：個。答：可以得到10個不相等的乘積。分析：圓排列和重復(fù)組合問題時高考中的難點，學(xué)生在平時的理解過程中往往也存在很多的理解上的問題，主要是因為他們在平時的訓(xùn)練當(dāng)中已經(jīng)習(xí)慣性的接受了全排列和不重復(fù)組合的很多的例題，導(dǎo)致了思維的本能反應(yīng)而導(dǎo)致錯誤，老師在講解這兩個知識點的時候最好能夠重新給學(xué)生建立相應(yīng)的知識體系，在講完這一個知識點以后再與前兩個知識點進行相應(yīng)的對照理解和學(xué)習(xí)，這樣可能更好的促進教學(xué)，學(xué)生也能夠很好的接受。5.連排與間隔排(1)排列中的“連排”問題（我們稱要求某些元素必須排在一起的排列問題為“連排”問題）：例10 某班有學(xué)生38人，其中男生24人，女生1

14、4人，現(xiàn)將他們排成一排，女生必須排在一起的排法有多少種？我們稱要求某些元素必須排在一起的排列問題為“連排”問題。解：由于14名學(xué)生必須排在一起，所以我們可以將14名學(xué)生看成1個“人”，把38人的排列問題看成24+1=25人的問題，共有種，再考慮到14名學(xué)生之間的排法，因此女生必須排在一起的排法種數(shù)為種。一般地，在個不同的元素中，某個元素排在一起的排法種數(shù)有種。例11 某班有38名同學(xué)，其中第一組的12名同學(xué)必須排在一起且第一組中的5名女同學(xué)又必須排在一起的排列方法有多少種？解：將第一組的12名同學(xué)看成一個“人”。將38名同學(xué)的排列問題看成27人的排列的問題，共有排法種，再考慮到12名同學(xué)的排列

15、方法，依照例1，可知第一組的12名同學(xué)要求5名女生排在一起的排法共有種。因此總的排法種數(shù)有種。命題4：一般地，個不同元素的排列中，某個元素必須排在一起的且在這個元素中的某個元素有必須排在一起的排法共有種。分析：“連排”問題的類型很多，不可能一一例舉，處理“連排”問題的基本方法，就是將要求排列在一起的元素看成一個整體，將它作為一個元素放到問題中去處理，之后再考慮這個整體的內(nèi)部排列。（2）“間隔排”問題我們稱要求某些元素中的任何兩個都不能排列在一起的排列問題為“間隔排”問題。例12 某班有59名同學(xué)，其中第一小組有14名，現(xiàn)將他們排成一排且要求第一小組的任何兩名同學(xué)都不排在一起的排法有多少種？解：

16、首先將不要求間隔的同學(xué)先排列有種排法，然后再將要求間隔排的同學(xué)插入已排的45位同學(xué)的46個空檔（包括兩頭）中去，有種插入方法，所以總的排法種數(shù)共有種。命題5：一般地，在n個不同元素的排列中，某個元素中的任何兩個元素不排列在一起的排法有種。例13 現(xiàn)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，用它們（不重復(fù)）可組成多少個各位上奇偶相間的六位數(shù)？解：首先將1，3，5先排共有種排法，再將2，4，6插入已排的1，3，5的空檔中去，考慮到奇偶數(shù)字要相間排列，故只有兩大插法。在2，4，6之間還要考慮順序關(guān)系，所以插法共有種，故可組成個奇偶相間的六位數(shù)。分析：處理“間隔排”問題的基本方法是將不要求間排的元素先排，之后再考

17、慮將要求間隔排的元素插入已排元素的空檔中間去。 重復(fù)計算或者漏計算 求解排列組合問題時，常有遺漏或重復(fù)的情況，導(dǎo)致解答錯誤，下面將求解排列組合問題時幾類常見的錯誤進行分析，以引起注意。(1)對一些數(shù)學(xué)概念的意義把握不準，出現(xiàn)遺漏或重復(fù)。例14 數(shù)2310有多少個正約數(shù)？ 錯解：因為，所以從這5個質(zhì)數(shù)中分別取1個，取2個，取3個，取4個，取5個的積都是2310的正約數(shù)，故正約數(shù)有（個）。分析：上述解法其實有遺漏，原因?qū)φs數(shù)的概念掌握不深入，所謂的正約數(shù)是指：若有一個正約數(shù)（此處的整數(shù)指正整數(shù)），使得整數(shù)與之間適合，則稱可整除，記作，這時稱為的倍數(shù)，稱為的約數(shù)，因為12310，所以1也是2310

18、的一個正約數(shù)，所以正確的解答為（個）。 (2)對題意要求或約束條件考慮不周，出現(xiàn)遺漏或重復(fù)或者不符題意的解答。例15 用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù)，能夠組成多少個大于240135的正整數(shù)？錯解：用這6個數(shù)字組成比240135大而且沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，可按各數(shù)位排數(shù)字分類。首位上數(shù)字從3，4，5中任取一個安排，取法有種，而后其余數(shù)字在余下的各位數(shù)上全排列，有個；首位數(shù)字上安排2，萬位上數(shù)字分別安排4和5，而后其余數(shù)字在余下的個位數(shù)字上全排列，有個，于是，大于240135的正整數(shù)一共有（個）分析：上述解法的答案其實不符合題意，原因是考慮不夠周全，因為，在第類中，當(dāng)首位上安排2，萬位上安排4，其余各數(shù)字在余下各數(shù)位上全排列時，已含有了2640135本身，顯然它不符合“大于240135”的題意要求，應(yīng)去掉，所以正確答案（個）(3)對欲求問題停留在