高等代數(shù)試題及答案

1、中國海洋大學(xué) 2007-2008學(xué)年 第2學(xué)期 期末考試試卷 數(shù)學(xué)科學(xué) 學(xué)院 高等代數(shù)課程試題(A卷)優(yōu)選專業(yè)年級 XXX XXXX 學(xué)號 姓名 授課教師 座號 -裝-訂-線- 共 2 頁 第 1 頁考試說明：本課程為閉卷考試，可攜帶 文具，滿分為：100 分.題號一二三四五六七八總分得分一.判斷題(每題2分,共10分)1.線性空間V ,則dim+dim=dimV. ( ) 2.特征向量的和仍是特征向量. ( ) 3.歐氏空間中不同基的度量矩陣是相似的. ( ) 4.一個線性變換的不變子空間之和仍是它的不變子空間. ( ) 5.全體階上三角矩陣對于矩陣的加法和數(shù)乘構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間. (

2、)二(20分)已知,.求的特征值和特征向量,并求一正交陣使成對角形.三(20分)設(shè)是數(shù)域上形如的循環(huán)矩陣的集合，(1) 證明:是線性空間 的子空間.（2）證明:有.（3）求的維數(shù)和一組基.四(10分)設(shè)為3階復(fù)數(shù)矩陣,與 等 價.，求的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.授課教師命題教師或命題負(fù)責(zé)人簽字 年 月 日院系負(fù)責(zé)人簽字年 月 日共 2 頁 第 2 頁五(10分)證明：設(shè)為n級矩陣,是矩陣的最小多項式,則多項式以為根的充要條件是|.六(10分)設(shè)V是數(shù)域上的n維線性空間,是上的線性變換，且.證明:的值域與核都是的不變子空間.七(10分)設(shè)階矩陣,求的最小多項式.八(10分)設(shè)是數(shù)域上線性空間上的線性變換,多項

3、式互素,且滿足(零變換)求證：中國海洋大學(xué) XXXX-XXXX學(xué)年 第X學(xué)期 期末考試試卷 學(xué)院XXX XXXXX課程試題(A卷)優(yōu)選專業(yè)年級 XXX XXXX 學(xué)號 姓名 授課教師 座號 -裝-訂-線- 優(yōu)選專業(yè)年級 XXX XXXX 學(xué)號 姓名 授課教師 座號 -裝-訂-線- 共 頁 第 頁中國海洋大學(xué) 2007-2008學(xué)年 第2學(xué)期 期末考試 數(shù)學(xué)科學(xué) 學(xué)院 高等代數(shù)試題(A卷)答案一.判斷題 1.× 2.× 3.× 4. 5.二.解：=，所以特征值為0，4（3重）.將特征值代入，求解線性方程組，得4個線性無關(guān)的特征向量（答案可以不唯一），再正交單位化，得4個單位正交向量：，.所以正交陣 而.三.證：(1) 驗證即可. (2) 令，為循環(huán)陣，(為階單位陣)則在上線性無關(guān).且，令有.，必上次多項式，使，反之亦真.(3)由上可知：是的一組基，且.四.解：A的行列式因子為, .所以，不變因子為, ，初等因子為，因而A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為五證：設(shè), 或.所以, 因而.因為為最小多項式，所以.六證：在的核中任取一向量，則 所以在下的像是零，即即證明了是的不變子空間在的值域中任取一向量，則.因此，也是的不變子空間綜上，