高中數學競賽講義一──集合與簡易邏輯

1、高中數學競賽講義（一）集合與簡易邏輯一、基礎知識定義1  一般地，一組確定的、互異的、無序的對象的全體構成集合，簡稱集，用大寫字母來表示；集合中的各個對象稱為元素，用小寫字母來表示，元素在集合A中，稱屬于A，記為，否則稱不屬于A，記作。例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分別表示自然數集、整數集、有理數集、實數集、正有理數集，不含任何元素的集合稱為空集，用來表示。集合分有限集和無限集兩種。集合的表示方法有列舉法：將集合中的元素一一列舉出來寫在大括號內并用逗號隔開表示集合的方法，如1，2，3；描述法：將集合中的元素的屬性寫在大括號內表示集合的方法。例如有理數，分別表示有理數集和正實數集。定

2、義2  子集：對于兩個集合A與B，如果集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，則A叫做B的子集，記為，例如。規(guī)定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，則稱A與B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不屬于A，則A叫B的真子集。定義3  交集，定義4  并集，定義5  補集，若稱為A在I中的補集。定義6  差集，。定義7  集合記作開區(qū)間，集合記作閉區(qū)間，R記作定理1  集合的性質：對任意集合A，B，C，有：（1） （2）；（3） （4）【證明】這里僅證（1）、（3），其余由讀者自己完成。（1）若，則，且

3、或，所以或，即；反之，則或，即且或，即且，即（3）若，則或，所以或，所以，又，所以，即，反之也有定理2  加法原理：做一件事有類辦法，第一類辦法中有種不同的方法，第二類辦法中有種不同的方法，第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事一共有種不同的方法。定理3  乘法原理：做一件事分個步驟，第一步有種不同的方法，第二步有種不同的方法，第步有種不同的方法，那么完成這件事一共有種不同的方法。二、方法與例題1利用集合中元素的屬性，檢驗元素是否屬于集合。例1  設，求證：（1）；（2）；（3）若，則證明（1）因為，且，所以（2）假設，則存在，使，由于和有相同的奇偶性，所以是奇

4、數或4的倍數，不可能等于，假設不成立，所以（3）設，則（因為）。2利用子集的定義證明集合相等，先證，再證，則A=B。例2  設A，B是兩個集合，又設集合M滿足，求集合M（用A，B表示）?！窘狻肯茸C，若，因為，所以，所以； 再證，若，則1）若，則；2）若，則。所以綜上，3分類討論思想的應用。例3  ，若，求【解】依題設，再由解得或，因為，所以，所以，所以或2，所以或3。因為，所以，若，則，即，若，則或，解得綜上所述，或；或。4計數原理的應用。例4  集合A，B，C是I=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的子集，（1）若，求有序集合對（A，B）的個數；（2）求I的

5、非空真子集的個數?！窘狻浚?）集合I可劃分為三個不相交的子集；AB，BA，中的每個元素恰屬于其中一個子集，10個元素共有310種可能，每一種可能確定一個滿足條件的集合對，所以集合對有310個。（2）I的子集分三類：空集，非空真子集，集合I本身，確定一個子集分十步，第一步，1或者屬于該子集或者不屬于，有兩種；第二步，2也有兩種，第10步，0也有兩種，由乘法原理，子集共有個，非空真子集有1022個。5配對方法。例5 給定集合的個子集：，滿足任何兩個子集的交集非空，并且再添加I的任何一個其他子集后將不再具有該性質，求的值?！窘狻繉的子集作如下配對：每個子集和它的補集為一對，共得對，每一對不能同在這

6、個子集中，因此，；其次，每一對中必有一個在這個子集中出現，否則，若有一對子集未出現，設為C1A與A，并設，則，從而可以在個子集中再添加，與已知矛盾，所以。綜上，。6競賽常用方法與例問題。定理4  容斥原理；用表示集合A的元素個數，則，需要xy此結論可以推廣到個集合的情況，即定義8  集合的劃分：若，且，則這些子集的全集叫I的一個-劃分。定理5  最小數原理：自然數集的任何非空子集必有最小數。定理6  抽屜原理：將個元素放入個抽屜，必有一個抽屜放有不少于個元素，也必有一個抽屜放有不多于個元素；將無窮多個元素放入個抽屜必有一個抽屜放有無窮多個元素。例6

7、60; 求1，2，3，100中不能被2，3，5整除的數的個數?！窘狻?記，由容斥原理，所以不能被2，3，5整除的數有個。例7  S是集合1，2，2004的子集，S中的任意兩個數的差不等于4或7，問S中最多含有多少個元素？【解】將任意連續(xù)的11個整數排成一圈如右圖所示。由題目條件可知每相鄰兩個數至多有一個屬于S，將這11個數按連續(xù)兩個為一組，分成6組，其中一組只有一個數，若S含有這11個數中至少6個，則必有兩個數在同一組，與已知矛盾，所以S至多含有其中5個數。又因為2004=182×11+2，所以S一共至多含有182×5+2=912個元素，另一方面，當時，恰有，且S

8、滿足題目條件，所以最少含有912個元素。例8    求所有自然數，使得存在實數滿足：【解】  當時，；當時，；當時， 。下證當時，不存在滿足條件。令，則所以必存在某兩個下標，使得，所以或，即，所以或，。（）若，考慮，有或，即，設，則，導致矛盾，故只有考慮，有或，即，設，則，推出矛盾，設，則，又推出矛盾， 所以故當時，不存在滿足條件的實數。（）若，考慮，有或，即，這時，推出矛盾，故?？紤]，有或，即=3，于是，矛盾。因此，所以，這又矛盾，所以只有，所以。故當時，不存在滿足條件的實數。例9  設A=1，2，3，4，5，6，B=7，8，9，n，在A中取

9、三個數，B中取兩個數組成五個元素的集合，求的最小值?！窘狻?設B中每個數在所有中最多重復出現次，則必有。若不然，數出現次（），則在出現的所有中，至少有一個A中的數出現3次，不妨設它是1，就有集合1，其中，為滿足題意的集合。必各不相同，但只能是2，3，4，5，6這5個數，這不可能，所以20個中，B中的數有40個，因此至少是10個不同的，所以。當時，如下20個集合滿足要求：1，2，3，7，8，   1，2，4，12，14，  1，2，5，15，16，  1，2，6，9，10，1，3，4，10，11， 1，3，5，13，14，  1，3，6，12，1

10、5，  1，4，5，7，9，1，4，6，13，16， 1，5，6，8，11，   2，3，4，13，15，  2，3，5，9，11，2，3，6，14，16， 2，4，5，8，10，   2，4，6，7，11，   2，5，6，12，13，3，4，5，12，16， 3，4，6，8，9，    3，5，6，7，10，   4，5，6，14，15。例10 集合1，2，3n可以劃分成個互不相交的三元集合，其中，求滿足條件的最小正整數【解】 設其中第個三元集為則1+2+所以。

11、當為偶數時，有，所以，當為奇數時，有，所以，當時，集合1，11，4，2，13，5，3，15，6，9，12，7，10，14，8滿足條件，所以的最小值為5。三、基礎訓練題1給定三元集合，則實數的取值范圍是_。2若集合中只有一個元素，則=_。3集合的非空真子集有_個。4已知集合，若，則由滿足條件的實數組成的集合P=_。5已知，且，則常數的取值范圍是_。6若非空集合S滿足，且若，則，那么符合要求的集合S有_個。7集合之間的關系是_。8若集合，其中，且，若，則A中元素之和是_。9集合，且，則滿足條件的值構成的集合為_。10集合，則_。11已知S是由實數構成的集合，且滿足1）若，則。如果，S中至少含有多少

12、個元素？說明理由。12已知，又C為單元素集合，求實數的取值范圍。四、高考水平訓練題1已知集合，且A=B，則_，_。 2，則_。3已知集合，當時，實數的取值范圍是_。4若實數為常數，且_。5集合，若，則_。6集合，則中的最小元素是_。7集合，且A=B，則_。8已知集合，且，則的取值范圍是_。9設集合，問：是否存在，使得，并證明你的結論。10集合A和B各含有12個元素，含有4個元素，試求同時滿足下列條件的集合C的個數：1）且C中含有3個元素；2）。11判斷以下命題是否正確：設A，B是平面上兩個點集，若對任何，都有，則必有，證明你的結論。五、聯賽一試水平訓練題1已知集合，則實數的取值范圍是

13、_。2集合的子集B滿足：對任意的，則集合B中元素個數的最大值是_。3已知集合，其中，且，若P=Q，則實數_。4已知集合，若是平面上正八邊形的頂點所構成的集合，則_。5集合，集合，則集合M與N的關系是_。6設集合，集合A滿足：，且當時，則A中元素最多有_個。7非空集合，則使成立的所有的集合是_。8已知集合A，B，aC（不必相異）的并集, 則滿足條件的有序三元組（A，B，C）個數是_。9已知集合，問：當取何值時，為恰有2個元素的集合？說明理由，若改為3個元素集合，結論如何？10求集合B和C，使得，并且C的元素乘積等于B的元素和。11S是Q的子集且滿足：若，則恰有一個成立，并且若，則，試確定集合S。

14、12集合S=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的若干個五元子集滿足：S中的任何兩個元素至多出現在兩個不同的五元子集中，問：至多有多少個五元子集？六、聯賽二試水平訓練題1是三個非空整數集，已知對于1，2，3的任意一個排列，如果，則。求證：中必有兩個相等。2求證：集合1，2，1989可以劃分為117個互不相交的子集，使得（1）每個恰有17個元素；（2）每個中各元素之和相同。3某人寫了封信，同時寫了個信封，然后將信任意裝入信封，問：每封信都裝錯的情況有多少種？4設是20個兩兩不同的整數，且整合中有201個不同的元素，求集合中不同元素個數的最小可能值。5設S是由個人組成的集合。求證：其中必定有兩個人