高等代數(shù)習(xí)題及答案1

1、高等代數(shù)試卷一、判斷題（下列命題你認(rèn)為正確的在題后括號(hào)內(nèi)打“”，錯(cuò)的打“×”；每小題1分，共10分）1、若是數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式，那么在中必定沒有根。 （ ）2、若線性方程組的系數(shù)行列式為零，由克萊姆法則知，這個(gè)線性方程組一定是無解的。 （ ）3、實(shí)二次型正定的充要條件是它的符號(hào)差為。 （ ）4、是線性空間的一個(gè)子空間。（ ）5、數(shù)域上的每一個(gè)線性空間都有基和維數(shù)。 （ ）6、兩個(gè)元實(shí)二次型能夠用滿秩線性變換互相轉(zhuǎn)化的充要條件是它們有相同的正慣性指數(shù)和負(fù)慣性指數(shù)。 （ ）7、零變換和單位變換都是數(shù)乘變換。 （ ）8、線性變換的屬于特征根的特征向量只有有限個(gè)。 （ ）9、歐氏空間上的線

2、性變換是對(duì)稱變換的充要條件為關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正交基的矩陣為實(shí)對(duì)稱矩陣。 （ ）10、若是歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基，且，那么。 （ ）二、單項(xiàng)選擇題（從下列各題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，并將其號(hào)碼寫在題干后面的括號(hào)內(nèi)。答案選錯(cuò)或未作選擇者，該題無分。每小題1分，共10分）1、關(guān)于多項(xiàng)式的最大公因式的下列命題中，錯(cuò)誤的是（ ）； ；若。2、設(shè)是一個(gè)階行列式，那么（ ）行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等； 中兩行互換，則行列式不變符號(hào)；若，則中必有一行全是零； 若，則中必有兩行成比例。3、設(shè)矩陣的秩為>，那么（ ）中每個(gè)<階子式都為零； 中每個(gè)階子式都不為零； 中可能存在不為零的階子式； 中肯定有不為

3、零的階子式。4、設(shè)為元實(shí)二次型，則負(fù)定的充要條件為（ ）負(fù)慣性指數(shù)=的秩； 正慣性指數(shù)=0； 符號(hào)差=； 的秩=。5、設(shè)是線性空間的一個(gè)向量組，它是線性無關(guān)的充要條件為（ ）任一組不全為零的數(shù)，都有；任一組數(shù)，有；當(dāng)時(shí)，有；任一組不全為零的數(shù)，都有。6、若都是維線性空間的子空間，那么（ ）維+維=維+維； 維=維+維； 維+維=維+維；維-維 =維-維。7、設(shè)是維線性空間的線性變換，那么下列錯(cuò)誤的說法是（ ）是單射的虧=0； 是滿射的秩=； 是可逆的核=； 是雙射是單位變換。8、同一個(gè)線性變換在不同基下的矩陣是（ ）合同的； 相似的； 相等的； 正交的。9、設(shè)是維歐氏空間 ，那么中的元素具有如

4、下性質(zhì)（ ）若； 若；若； 若>。10、歐氏空間中的標(biāo)準(zhǔn)正交基是（ ）； ； 三、填空題（將正確的內(nèi)容填在各題干預(yù)備的橫線上，內(nèi)容填錯(cuò)或未填者，該空無分。每空2分，共20分）1、多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解為 。2、利用行列式的性質(zhì)可知四階行列式的值為 。3、若一個(gè)非齊次線性方程組無解且它的系數(shù)矩陣的秩為3，那么該方程組的增廣矩陣的秩等于 。4、在線性空間中，定義（其中是中一個(gè)固定向量），那么當(dāng) 時(shí)，是的一個(gè)線性變換。5、實(shí)對(duì)稱矩陣的屬于不同特征根的特征向量是彼此 的。6、階實(shí)對(duì)稱矩陣的集合按合同分類，可分為 類。7、若基到的過渡矩陣為，而向量關(guān)于基和的坐標(biāo)分別為和，那么著兩個(gè)坐標(biāo)的關(guān)系是

5、 。8、設(shè)是線性空間的非空子集，若對(duì)的加法和數(shù)乘 ，則稱為的子空間。9、若線性變換關(guān)于基的矩陣為，那么關(guān)于基的矩陣為 。10、兩個(gè)歐氏空間同構(gòu)的充要條件是它們有 。四、改錯(cuò)題（請(qǐng)?jiān)谙铝忻}中你認(rèn)為錯(cuò)誤的地方劃線，并將正確的內(nèi)容寫在預(yù)備的橫線上面。指出錯(cuò)誤1分，更正錯(cuò)誤2分。每小題3分，共15分）1、如果是的導(dǎo)數(shù)的重因式，那么就是的重因式。 2、若線性方程組相應(yīng)的齊次線性方程組有無窮多解，那么也有無窮多解。 3、設(shè)是一個(gè)矩陣，若用階初等矩陣右乘，則相當(dāng)對(duì)施行了一次“的第三列乘5加到第四列”的初等變換。 4、若都是數(shù)域上的方陣的屬于特征根的特征向量，那么任取也是的屬于的特征向量。 5、設(shè)是歐氏空間

6、的線性變換，那么是正交變換的充分必要條件是能保持任二個(gè)非零向量的夾角。 五、計(jì)算題（每小題10分，共40分）1、計(jì)算階行列式 2、用相應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系表示下列線性方程組的全部解3、解矩陣方程 4、設(shè)是的一個(gè)基，而是另一組基，求由到的過渡矩陣，并求向量在下的坐標(biāo)。六、證明題設(shè)是三維歐氏空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，試證：也是的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。 高等代數(shù)試卷參考解答一、判斷題 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10× × × × 二、單項(xiàng)選擇題 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 三、填空題1、； 2、； 3、4； 4、0； 5、正交； 6、； 7、； 8、封閉；9、； 10、相同的維數(shù)。四、改錯(cuò)題1、如果是的導(dǎo)數(shù)的重因式，那么就是的重因式。是的因式且是的重因式2、若線性方程組相應(yīng)的齊次線性方程組有無窮多解，那么也有無窮多解。當(dāng)AX=B有解時(shí)，AX=B也有無窮多解3、設(shè)是一個(gè)矩陣，若用階初等矩陣右乘，則相當(dāng)對(duì)施行了一次“A的第三列乘5加到第四列”的初等變換。A的第4列乘5