高三一輪復(fù)習(xí)集合的概念與運算教師

1、§1.1集合的概念與運算【2014高考會這樣考】1.考查集合中元素的互異性，以集合中含參數(shù)的元素為背景，探求參數(shù)的值；2.求幾個集合的交、并、補集；3.通過集合中的新定義問題考查創(chuàng)新能力【復(fù)習(xí)備考要這樣做】1.注意分類討論，重視空集的特殊性；2.會利用Venn圖、數(shù)軸等工具對集合進(jìn)行運算；3.重視對集合中新定義問題的理解1 集合與元素(1)集合元素的三個特征：確定性、互異性、無序性(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于關(guān)系，用符號或表示(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法(4)常見數(shù)集的記法集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集復(fù)數(shù)集符號NN*(或N)ZQRC2. 集合間的關(guān)系

2、(1)子集：對任意的xA，都有xB，則AB(或BA)(2)真子集：若AB，且AB，則AB(或BA)(3)空集：空集是任意一個集合的子集，是任何非空集合的真子集即A，B(B)(4)若A含有n個元素，則A的子集有2n個，A的非空子集有2n1個(5)集合相等：若AB，且BA，則AB.3集合的運算集合的并集集合的交集集合的補集圖形符號ABx|xA或xBABx|xA且xBUAx|xU，且xA4. 集合的運算性質(zhì)并集的性質(zhì)： AA；AAA；ABBA；ABABA.交集的性質(zhì)： A；AAA；ABBA；ABAAB.補集的性質(zhì)： A(UA)U；A(UA)；U(UA)A.難點正本疑點清源1 正確理解集合的概念正確理

3、解集合的有關(guān)概念，特別是集合中元素的三個特征，尤其是“確定性和互異性”在解題中要注意運用在解決含參數(shù)問題時，要注意檢驗，否則很可能會因為不滿足“互異性”而導(dǎo)致結(jié)論錯誤2 注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集在解題時，若未明確說明集合非空時，要考慮到集合為空集的可能性例如：AB，則需考慮A和A兩種可能的情況3 正確區(qū)分，0，是不含任何元素的集合，即空集0是含有一個元素0的集合，它不是空集，因為它有一個元素，這個元素是0.是含有一個元素的集合0，0.題型一集合的基本概念例1(1)下列集合中表示同一集合的是 (B)AM(3,2)，N(2,3)BM2,3，N3,2CM(x，y

4、)|xy1，Ny|xy1DM2,3，N(2,3)例如：(2)設(shè)a，bR，集合1，ab，a，則ba_2_.思維啟迪：解決集合問題首先要考慮集合的“三性”：確定性、互異性、無序性，理解集合中元素的特征解析(1)選項A中的集合M表示由點(3,2)所組成的單點集，集合N表示由點(2,3)所組成的單點集，故集合M與N不是同一個集合選項C中的集合M表示由直線xy1上的所有的點組成的集合，集合N表示由直線xy1上的所有的點的縱坐標(biāo)組成的集合，即Ny|xy1R，故集合M與N不是同一個集合選項D中的集合M有兩個元素，而集合N只含有一個元素，故集合M與N不是同一個集合對選項B，由集合元素的無序性，可知M，N表示同

5、一個集合(2)因為1，ab，a，a0，所以ab0，得1，所以a1，b1.所以ba2.探究提高(1)用描述法表示集合時要把握元素的特征，分清點集、數(shù)集；(2)要特別注意集合中元素的互異性，在解題過程中最容易被忽視，因此要對計算結(jié)果進(jìn)行檢驗，防止所得結(jié)果違背集合中元素的互異性若集合Ax|ax23x20的子集只有兩個，則實數(shù)a0或_.解析集合A的子集只有兩個，A中只有一個元素當(dāng)a0時，x符合要求當(dāng)a0時，(3)24a×20，a.故a0或.題型二集合間的基本關(guān)系例2已知集合Ax|2x7，Bx|m1<x<2m1，若BA，求實數(shù)m的取值范圍思維啟迪：若BA，則B或B，要分兩種情況討論

6、解：當(dāng)B時，有m12m1，則m2.當(dāng)B時，若BA，如圖則，解得2<m4.綜上，m的取值范圍為m4.變式：（1）集合A與B中的等號問題，（四種情況：兩開兩閉，一開一閉）（2）集合A與B的關(guān)系。例如：探究提高(1)集合中元素的互異性，可以作為解題的依據(jù)和突破口；(2)對于數(shù)集關(guān)系問題，往往利用數(shù)軸進(jìn)行分析；(3)對含參數(shù)的方程或不等式求解，要對參數(shù)進(jìn)行分類討論 已知集合Ax|log2x2，B(，a)，若AB，則實數(shù)a的取值范圍是(c，)，其中c_4_.解析由log2x2，得0<x4，即Ax|0<x4，而B(，a)，由于AB，如圖所示，則a>4，即c4.變式：集合A與B的關(guān)系

7、。題型三集合的基本運算例3設(shè)UR，集合Ax|x23x20，Bx|x2(m1)xm0若(UA)B，則m的值是_1或2_思維啟迪：本題中的集合A，B均是一元二次方程的解集，其中集合B中的一元二次方程含有不確定的參數(shù)m，需要對這個參數(shù)進(jìn)行分類討論，同時需要根據(jù)(UA)B對集合A，B的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化解析A2，1，由(UA)B，得BA，方程x2(m1)xm0的判別式(m1)24m(m1)20，B.B1或B2或B1，2若B1，則m1；若B2，則應(yīng)有(m1)(2)(2)4，且m(2)·(2)4，這兩式不能同時成立，B2；若B1，2，則應(yīng)有(m1)(1)(2)3，且m(1)·(2)2，由這兩

8、式得m2.經(jīng)檢驗知m1和m2符合條件m1或2.探究提高本題的主要難點有兩個：一是集合A，B之間關(guān)系的確定；二是對集合B中方程的分類求解集合的交、并、補運算和集合的包含關(guān)系存在著一些必然的聯(lián)系，這些聯(lián)系通過Venn圖進(jìn)行直觀的分析不難找出來，如ABABA，(UA)BBA等，在解題中碰到這種情況時要善于轉(zhuǎn)化，這是破解這類難點的一種極為有效的方法設(shè)全集是實數(shù)集R，Ax|2x27x30，Bx|x2a<0(1)當(dāng)a4時，求AB和AB；(2)若(RA)BB，求實數(shù)a的取值范圍解(1)Ax|x3，當(dāng)a4時，Bx|2<x<2，ABx|x<2，ABx|2<x3(2)RAx|x<

9、;或x>3，當(dāng)(RA)BB時，BRA，即AB.當(dāng)B，即a0時，滿足BRA；當(dāng)B，即a<0時，Bx|<x<，要使BRA，需，解得a<0.綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是a.題型四集合中的新定義問題例4設(shè)符號是數(shù)集A中的一種運算：如果對于任意的x，yA，都有xyxyA，則稱運算對集合A是封閉的設(shè)Ax|xmn，m、nZ，判斷A對通常的實數(shù)的乘法運算是否封閉？解設(shè)xm1n1，ym2n2，那么xy(m1n1)×(m2n2)(m1n2m2n1)m1m22n1n2.令mm1m22n1n2，nm1n2m2n1，則xymn，由于m1，n1，m2，n2R，所以m，nR.故A對通

10、常的實數(shù)的乘法運算是封閉的探究提高本題旨在考查我們接受和處理新信息的能力，解題時要充分理解題目的含義，進(jìn)行全面分析，靈活處理已知集合S0,1,2,3,4,5，A是S的一個子集，當(dāng)xA時，若有x1A，且x1A，則稱x為A的一個“孤立元素”，那么S中無“孤立元素”的4個元素的子集共有_6_個解析由成對的相鄰元素組成的四元子集都沒有“孤立元素”，如0,1,2,3，0,1,3,4，0,1,4,5，1,2,3,4，1,2,4,5，2,3,4,5，這樣的集合共有6個集合中元素特征認(rèn)識不明致誤典例：(5分)(2012·課標(biāo)全國)已知集合A1,2,3,4,5，B(x，y)|xA，yA，xyA，則B中

11、所含元素的個數(shù)為 (D)A3B6C8D10易錯分析本題屬于創(chuàng)新型的概念理解題，準(zhǔn)確地理解集合B是解決本題的關(guān)鍵，該題解題過程易出錯的原因有兩個，一是誤以為集合B中的元素(x，y)不是有序數(shù)對，而是無序的兩個數(shù)值；二是對于集合B的元素的性質(zhì)中的“xA，yA，xyA”，只關(guān)注“xA，yA”，而忽視“xyA”的限制條件導(dǎo)致錯解解析B(x，y)|xA，yA，xyA，A1,2,3,4,5，x2，y1；x3，y1,2；x4，y1,2,3；x5，y1,2,3,4.B(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，B中所含元素的個數(shù)為10

12、.答案D溫馨提醒判斷集合中元素的性質(zhì)時要注意兩個方面：一是要注意集合中代表元素的字母符號，區(qū)分x、y、(x，y)；二是準(zhǔn)確把握元素所具有的性質(zhì)特征，如集合x|yf(x)表示函數(shù)yf(x)的定義域，y|yf(x)表示函數(shù)yf(x)的值域，(x，y)|yf(x)表示函數(shù)yf(x)圖象上的點遺忘空集致誤典例：(4分)若集合Px|x2x60，Sx|ax10，且SP，則由a的可取值組成的集合為 易錯分析從集合的關(guān)系看，SP，則S或S，易遺忘S的情況解析(1)P3,2當(dāng)a0時，S，滿足SP；當(dāng)a0時，方程ax10的解集為x，為滿足SP可使3或2，即a或a.故所求集合為.溫馨提醒(1)根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)

13、是高考的一個重點內(nèi)容解答此類問題的關(guān)鍵是抓住集合間的關(guān)系以及集合元素的特征(2)在解答本題時，存在兩個典型錯誤一是忽略對空集的討論，如S時，a0；二是易忽略對字母的討論如可以為3或2.因此，在解答此類問題時，一定要注意分類討論，避免漏解.方法與技巧1 集合中的元素的三個特征，特別是無序性和互異性在解題時經(jīng)常用到解題后要進(jìn)行檢驗，要重視符號語言與文字語言之間的相互轉(zhuǎn)化2 對連續(xù)數(shù)集間的運算，借助數(shù)軸的直觀性，進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化；對已知連續(xù)數(shù)集間的關(guān)系，求其中參數(shù)的取值范圍時，要注意單獨考察等號3 對離散的數(shù)集間的運算，或抽象集合間的運算，可借助Venn圖這是數(shù)形結(jié)合思想的又一體現(xiàn)失誤與防范1 空集在解

14、題時有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，時刻關(guān)注對空集的討論，防止漏解2 解題時注意區(qū)分兩大關(guān)系：一是元素與集合的從屬關(guān)系；二是集合與集合的包含關(guān)系3 解答集合題目，認(rèn)清集合元素的屬性(是點集、數(shù)集或其他情形)和化簡集合是正確求解的兩個先決條件4 Venn圖圖示法和數(shù)軸圖示法是進(jìn)行集合交、并、補運算的常用方法，其中運用數(shù)軸圖示法要特別注意端點是實心還是空心5 要注意AB、ABA、ABB、UAUB、A(UB)這五個關(guān)系式的等價性A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練一、選擇題(每小題5分，共20分)1 (2012·廣東)設(shè)集合U1,2,3,4,5,6，M1,2,4，則UM等于(C)AU

15、B1,3,5 C3,5,6 D2,4,6解析U1,2,3,4,5,6，M1,2,4，UM3,5,62 (2011·課標(biāo)全國)已知集合M0,1,2,3,4，N1,3,5，PMN，則P的子集共有(B)A2個 B4個 C6個 D8個解析M0,1,2,3,4，N1,3,5，MN1,3MN的子集共有224個3 (2012·山東)已知全集U0,1,2,3,4，集合A1,2,3，B2,4，則(UA)B為 (C)A1,2,4 B2,3,4 C0,2,4 D0,2,3,4解析UA0,4，B2,4，(UA)B0,2,44 已知集合Mx|0，xR，Ny|y3x21，xR，則MN等于 (C)A B

16、x|x1 Cx|x>1 Dx|x1或x<0解析由0，得x>1或x0，Mx|x>1或x0，Ny|y1， MNx|x>1二、填空題(每小題5分，共15分)5 已知集合A1,3，a，B1，a2a1，且BA，則a_1或2_.解析由a2a13，得a1或a2，經(jīng)檢驗符合由a2a1a，得a1，由于集合中不能有相同元素，所以舍去故a1或2.6 已知集合A(0,1)，(1,1)，(1，2)，B(x，y)|xy10，x，yZ，則AB_(0,1)，(1,2)_.解析A、B都表示點集，AB即是由A中在直線xy10上的所有點組成的集合，代入驗證即可7(2012·天津)已知集合Ax

17、R|x2|<3，集合BxR|(xm)(x2)<0，且AB (1，n)，則m_1_，n_1_.解析Ax|5<x<1，因為ABx|1<x<n， Bx|(xm)(x2)<0，所以m1，n1.三、解答題(共22分)8 (10分)已知集合Ax|x22x30，Bx|x22mxm240，xR，mR(1)若AB0,3，求實數(shù)m的值；(2)若ARB，求實數(shù)m的取值范圍解由已知得Ax|1x3， Bx|m2xm2(1)AB0,3，m2.(2)RBx|x<m2或x>m2，ARB，m2>3或m2<1，即m>5或m<3.9(13分)已知集合Ay

18、|y2(a2a1)ya(a21)>0，By|yx2x，0x3(1)若AB，求a的取值范圍；(2)當(dāng)a取使不等式x21ax恒成立的a的最小值時，求(RA)B.解Ay|y<a或y>a21，By|2y4(1)當(dāng)AB時，a2或a.(2)由x21ax，得x2ax10，依題意a240，2a2.a的最小值為2.當(dāng)a2時，Ay|y<2或y>5RAy|2y5，(RA)By|2y4B組專項能力提升一、選擇題(每小題5分，共15分)1 (2012·湖北)已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0<x<5，xN，則滿足條件ACB的集合C的個數(shù)為(D)A1 B2 C3 D4解析用列舉法表示集合A，B，根據(jù)集合關(guān)系求出集合C的個數(shù)由x23x20得x1或x2，A1,2由題意知B1,2,3,4，滿足條件的C可為1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,42 (2011·安徽)設(shè)集合A1,2,3,4,5,6，B4,5