高中物理中的相似三角形

1、相似三角形在高中物理試題中的應(yīng)用 陳慶威 2013.7.22 高中物理中我們常會用到一些數(shù)學(xué)知識來解決一些與生活實際相關(guān)的事情。在高考的考試說明中明確指出，要求學(xué)生能應(yīng)用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識處理物理問題。如三角函數(shù)、正弦定理、余弦定理、矢量三角形、相似三角形等。 其中“相似三角形法”指的是在對物體進(jìn)行受力分析（尤其是準(zhǔn)平衡態(tài)，即動態(tài)平衡過程）時找到兩個相似三角形，其中一個三角形的邊長表示長度（我們稱之為“幾何三角形”），另一個三角形的邊長表示力的大小（我們稱之為“矢量三角形”）。利用相似三角形法解題，往往能起到化繁為簡，化難為易的良好效果?，F(xiàn)把高中物理中常遇到的此類問題總結(jié)如下：例1、半徑為的球形物

2、體固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑輪，滑輪到球面的距離為，輕繩的一端系一小球，靠放在半球上的點，另一端繞過定滑輪后用力拉住，使小球靜止，如圖1-1所示，現(xiàn)緩慢地拉繩，在使小球由到的過程中，半球?qū)π∏虻闹С至屠K對小球的拉力的大小變化的情況是（）、變大，變小、變小，變大、變小，先變小后變大、不變，變小解析：如圖1-2所示，對小球：受力平衡，由于緩慢地拉繩，所以小球運動緩慢視為始終處于平衡狀態(tài)，其中重力不變，支持力，繩子的拉力一直在改變，但是總形成封閉的動態(tài)三角形（圖1-2中小陰影三角形）。由于在這個三角形中有四個變量：支持力的大小和方向、繩子的拉力的大小和方向，所以還要利用其它條件。實

3、物（小球、繩、球面的球心）形成的三角形也是一個動態(tài)的封閉三角形（圖1-2中大陰影三角形），并且始終與三力形成的封閉三角形相似，則有如下比例式：可得：運動過程中變小，變小。運動中各量均為定值，支持力不變。正確答案D。例2、如圖2-1所示，豎直絕緣墻壁上的處由一固定的質(zhì)點，在的正上方的點用細(xì)線懸掛一質(zhì)點，、兩點因為帶電而相互排斥，致使懸線與豎直方向成角，由于漏電使、兩質(zhì)點的電量逐漸減小，在電荷漏空之前懸線對懸點的拉力大?。ǎ?、變小、變大、不變、無法確定解析：有漏電現(xiàn)象，減小，則漏電瞬間質(zhì)點的靜止?fàn)顟B(tài)被打破，必定向下運動。對小球漏電前和漏電過程中進(jìn)行受力分析有如圖2-2所示，由于漏電過程緩慢進(jìn)行，則

4、任意時刻均可視為平衡狀態(tài)。三力作用構(gòu)成動態(tài)下的封閉三角形，而對應(yīng)的實物質(zhì)點、及繩墻和點構(gòu)成動態(tài)封閉三角形，且有如圖2-3不同位置時陰影三角形的相似情況，則有如下相似比例：可得：變化過程、均為定值，所以不變。正確答案。以上兩例題均通過相似關(guān)系求解，相對平衡關(guān)系求解要直觀、簡潔得多，有些問題也可以直接通過圖示關(guān)系得出結(jié)論。例3. 如圖1所示，支架ABC，其中，在B點掛一重物，求AB、BC上的受力。解：受力分析如圖2所示，桿AB受到拉力作用為，桿BC受到支持力為，這兩個力的合力與重力G等大反向，顯然由矢量構(gòu)造的三角形與圖1中相似，由對應(yīng)邊成比例得： 把代入上式，可解得，。例4. 如圖3所示，長為5m

5、的細(xì)繩的兩端分別系于豎立的地面上相距為4m的兩桿的頂端A、B上，繩上掛一個光滑的輕質(zhì)掛鉤，其下連著一個重為12N的物體。平衡時，繩中的張力T=_N。解：受力分析，如圖4所示。因輕質(zhì)掛鉤光滑，所以AO、BO兩段繩的拉力相等，設(shè)均為T，且這兩個力的合力與重力G等大反向。現(xiàn)在構(gòu)建相似三角形，如圖3所示，延長AO交左桿于，不難證明，又過作右桿的垂線交于，顯然，圖3、圖4兩圖中陰影部分的三角形相似，又依題意知，。由相似三角形對應(yīng)邊成比例得：，代入數(shù)據(jù)解得。圖4例5. 兩根等長的輕繩，下端結(jié)于一點掛一質(zhì)量為m的物體，上端固定在天花板上相距為S的兩點上，已知兩繩能承受的最大拉力均為T，則每根繩長度不得短于多

6、少？解：因為天花板水平，兩繩又等長，所以受力相等。又因MN兩點距離為S固定，所以繩子越短，兩繩張角越大，當(dāng)合力一定時，繩的張力越大。設(shè)繩子張力為T時，長度為L，受力分析如圖6所示。在圖5中過O點作MN的垂線，垂足為P，顯然，圖5、圖6兩圖中陰影部分的三角形相似，由對應(yīng)邊成比例得： 解得：例6：如圖所示，豎直絕緣墻壁上的Q處有一固定的質(zhì)點A，在Q的正上方的P點用絲線懸另一質(zhì)點B，A、B兩質(zhì)點因為帶電而相互排斥，致使懸線與豎直方向成角，由于漏電使A、B兩質(zhì)點的帶電荷量逐漸減少，在電荷漏電完之前懸線對懸點P的拉力大小（ ） A. 變小B. 變大C. 不變D. 無法確定解：受力分析如圖所示，設(shè)PAL，

7、PBl 由幾何知識知：APBBDC 因為T和T是作用力和反作用力，故TT，故選CF1GF2圖1-3例7 如圖1所示，一個重力G的勻質(zhì)球放在光滑斜面上，斜面傾角為，在斜面上有一光滑的不計厚度的木板擋住球，使之處于靜止?fàn)顟B(tài)。今使板與斜面的夾角緩慢增大，問：在此過程中，擋板和斜面對球的壓力大小如何變化？圖1-2GF1F2圖1-1解析：取球為研究對象，如圖1-2所示，球受重力G、斜面支持力F1、擋板支持力F2。因為球始終處于平衡狀態(tài)，故三個力的合力始終為零，將三個力矢量構(gòu)成封閉的三角形。F1的方向不變，但方向不變，始終與斜面垂直。F2的大小、方向均改變，隨著擋板逆時針轉(zhuǎn)動時，F(xiàn)2的方向也逆時針轉(zhuǎn)動，動

8、態(tài)矢量三角形圖1-3中一畫出的一系列虛線表示變化的F2。由此可知，F(xiàn)2先減小后增大，F(xiàn)1隨增大而始終減小。例8一輕桿BO，其O端用光滑鉸鏈固定在豎直輕桿AO上，B端掛一重物，且系一細(xì)繩，細(xì)繩跨過桿頂A處的光滑小滑輪，用力F拉住，如圖2-1所示。現(xiàn)將細(xì)繩緩慢往左拉，使桿BO與桿AO間的夾角逐漸減少，則在此過程中，拉力F及桿BO所受壓力FN的大小變化情況是( )AFN先減小，后增大 B.FN始終不變CF先減小，后增大 D.F始終不變AFBOGFNFLlH圖2-2AFBO圖2-1解析：取BO桿的B端為研究對象，受到繩子拉力(大小為F)、BO桿的支持力FN和懸掛重物的繩子的拉力(大小為G)的作用，將F

9、N與G合成，其合力與F等值反向，如圖2-2所示，將三個力矢量構(gòu)成封閉的三角形(如圖中畫斜線部分)，力的三角形與幾何三角形OBA相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例可得：(如圖2-2所示，設(shè)AO高為H，BO長為L，繩長l,)，式中G、H、L均不變，l逐漸變小，所以可知FN不變，F(xiàn)逐漸變小。正確答案為選項B例9：如圖2-3所示，光滑的半球形物體固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑輪，輕繩的一端系一小球，靠放在半球上的A點，另一端繞過定滑輪，后用力拉住，使小球靜止現(xiàn)緩慢地拉繩，在使小球沿球面由A到半球的頂點B的過程中，半球?qū)π∏虻闹С至和繩對小球的拉力T的大小變化情況是( D )。ACBO圖2-

10、3(A)N變大，T變小，(B)N變小，T變大(C)N變小，T先變小后變大(D)N不變，T變小此題是一道典型的利用相似三角形解題的方法,這種方法很巧妙,當(dāng)然同學(xué)也可以用三角函數(shù)求解.解析：首先對這個小球進(jìn)行受力分析,找出那些力是始終不變,我們可以知道重力的大小和方向始終是不發(fā)生改變,在根據(jù)力構(gòu)成的三角形和繩子、半球組成的三角形相似,列出mg/h+r=N/r=T/L,在拉動的過程當(dāng)中,重力mg是不變的,h+R、R都是不變的,那么拉動繩子后,L會變小,那么保持等式成立,拉力T就必須減小才滿足例10、如圖3-1所示，物體G用兩根繩子懸掛，開始時繩OA水平，現(xiàn)將兩繩同時順時針轉(zhuǎn)過90°，且保持

11、兩繩之間的夾角不變，物體保持靜止?fàn)顟B(tài)，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)繩OA的拉力為F1，繩OB的拉力為F2，則（ ）。(A)F1先減小后增大(B)F1先增大后減小 (C)F2逐漸減小F1F2F3CDEDDD圖3-3(D)F2最終變?yōu)榱鉇BaOGF1F2F3圖3-2ABaOG圖3-1解析：取繩子結(jié)點O為研究對角，受到三根繩的拉力，如圖3-2所示分別為F1、F2、F3，將三力構(gòu)成矢量三角形(如圖3-3所示的實線三角形CDE)，需滿足力F3大小、方向不變，角 CDE不變(因為角不變)，由于角DCE為直角，則三力的幾何關(guān)系可以從以DE邊為直徑的圓中找，則動態(tài)矢量三角形如圖3-3中一畫出的一系列虛線表示的三角形。由此

12、可知，F(xiàn)1先增大后減小，F(xiàn)2隨始終減小，且轉(zhuǎn)過90°時，當(dāng)好為零。正確答案選項為B、C、DMNO圖3-4例11如圖3-4所示，在做“驗證力的平行四邊形定則”的實驗時，用M、N兩個測力計通過細(xì)線拉橡皮條的結(jié)點，使其到達(dá)O點，此時+= 90°然后保持M的讀數(shù)不變，而使角減小，為保持結(jié)點位置不變，可采用的辦法是（ A ）。(A)減小N的讀數(shù)同時減小角(B)減小N的讀數(shù)同時增大角(C)增大N的讀數(shù)同時增大角(D)增大N的讀數(shù)同時減小角例12如圖4-1所示，在水平天花板與豎直墻壁間，通過不計質(zhì)量的柔軟繩子和光滑的輕小滑輪懸掛重物G=40N，繩長L=2.5m，OA=1.5m，求繩中張力

13、的大小，并討論：（1）當(dāng)B點位置固定，A端緩慢左移時，繩中張力如何變化？（2）當(dāng)A點位置固定，B端緩慢下移時，繩中張力又如何變化？ABCGDF1F2F3O圖42圖41ABCGOABCGDF1F2F3OCB圖44ABCGDF1F2F3OAD圖43解析：取繩子c點為研究對角，受到三根繩的拉力，如圖4-2所示分別為F1、F2、F3，延長繩AO交豎直墻于D點，由于是同一根輕繩，可得：，BC長度等于CD，AD長度等于繩長。設(shè)角OAD為；根據(jù)三個力平衡可得： ；在三角形AOD中可知，。如果A端左移，AD變?yōu)槿鐖D43中虛線AD所示，可知AD不變，OD減小，減小，F(xiàn)1變大。如果B端下移，BC變?yōu)槿鐖D44虛線B

14、C所示，可知AD、OD不變，不變，F(xiàn)1不變。同鞏固練習(xí)：1、如圖所示，兩球A、B用勁度系數(shù)為k1的輕彈簧相連，球B用長為L的細(xì)繩懸于O點，球A固定在O點正下方，且點O、A之間的距離恰為L，系統(tǒng)平衡時繩子所受的拉力為F1.現(xiàn)把A、B間的彈簧換成勁度系數(shù)為k2的輕彈簧，仍使系統(tǒng)平衡，此時繩子所受的拉力為F2，則F1與F2的大小之間的關(guān)系為(B) AF1>F2 BF1F2 CF1<F2 D無法確定2、如圖甲所示，AC是上端帶定滑輪的固定豎直桿，質(zhì)量不計的輕桿BC一端通過鉸鏈固定在C點，另一端B懸掛一重為G的重物，且B端系有一根輕繩并繞過定滑輪A.現(xiàn)用力F拉繩，開始時BCA90°

15、，使BCA緩慢減小，直到桿BC接近豎直桿AC.此過程中，桿BC所受的力( A )A大小不變B逐漸增大C逐漸減小 D先增大后減小 O L L A X B 圖63、如圖所示，有兩個帶有等量的同種電荷的小球A和B，質(zhì)量都是m，分別懸于長為L的懸線的一端。今使B球固定不動，并使OB在豎直立向上，A可以在豎直平面內(nèi)自由擺動，由于靜電斥力的作用，A球偏離B球的距離為x。如果其它條件不變，A球的質(zhì)量要增大到原來的幾倍，才會使AB兩球的距離縮短為。A球受三個力作用mgTF電,且三力平衡.,4、如圖所示，硬桿BC一端固定在墻上的B點，另一端裝有滑輪C，重物D用繩拴住通過滑輪固定于墻上的A點。若桿、滑輪及繩的質(zhì)量和摩擦均不計，將繩的固定端從A點稍向下移，則在移動過程中( C )ACBA.繩的拉力、滑輪對繩的作用力都增大B.繩的拉力減小，滑輪對繩的作用力增大C.繩的拉力不變，滑輪對繩的作用力增大D.繩的拉力、滑輪對繩的作用力都不變 5、如圖所示，豎直桿CB頂端有光滑輕質(zhì)滑輪，輕質(zhì)桿OA自重不計，可繞O點自由轉(zhuǎn)動OAOB當(dāng)繩緩慢放下，使AOB由00逐漸增大到1800的過程中（不包括00和180°