高次無理指數(shù)對數(shù)不等式的解法及應(yīng)用分析

1、高次、無理、指數(shù)、對數(shù)不等式的解法及應(yīng)用分析 解不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)解決問題的重要工具，在研究函數(shù)的性質(zhì)、確立問題成立的條件等方面都有廣泛的應(yīng)用。 本階段的重點是不等式的“等價轉(zhuǎn)化”，將高次不等式低次化，無理不等式有理化、超越不等式代數(shù)化，最終回歸到一元一次不等式（組）或一元二次不等式（組）來解。難點是解含參數(shù)的不等式，對于如何選擇參數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)、如何把握分類的時機(jī)是有難度和深度的。 一、高次不等式 1概念： 形如不等式(x-x1)(x-x2)(x-xn)0（其中x1, x2, ,xn是互不相等的實常數(shù)）叫做一元n次不等式(nN)。 2解題思路： 作出相應(yīng)函數(shù)的圖象草圖。具體步驟如下：(a)明確標(biāo)

2、出曲線與x軸的交點，(b)分析在每一個開區(qū)間上函數(shù)的那段曲線是在x軸的上方還是下方（除此之外，對草圖不必做更細(xì)致的要求）。然后根據(jù)圖象草圖，寫出滿足不等式的解集。 3例題： 例1解不等式：(1) (x-2)(x+2)(x-1)(x+1)0；(2)(x2-5x-6)(1-x)0。 解：(1)做出函數(shù)y=(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)的圖象的草圖（圖1）。 所以不等式的解集為(-,-2)(-1,1)(2,+)。 (2)先把原不等式化成與它等價的：(x+1)(x-6)(x-1)0。 分析：此例中y=(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)出現(xiàn)了重因式，當(dāng)x值從大于-1變化到小于-1時（

3、不含-1），y值符號沒有發(fā)生變化，而x值從大于1到小于1時（不含1），y值符號發(fā)生了變化，如圖3， 故解集為(-2,-1)(-1,1)(3,+)。 注：本題可以先對不等式化簡再解。原不等式等價于 二、無理不等式 1概念：如果函數(shù)f(x)是關(guān)于x的無理式，那么f(x)0或f(x) (2)g(x) 或 或 (3) y2的x的取值范圍。在同一坐標(biāo)系中分別作出兩個函數(shù)的圖象（圖4）。設(shè)它們交點的橫坐標(biāo)是x0, 則=x0-20。解之，得x0=5或x0=1（舍）。所以原不等式解集為5，+）。 評述：解法1是通法，要求必須熟練掌握，解法2是換元法，由于不等式兩邊次數(shù)恰是倍數(shù)關(guān)系，故換元后變?yōu)槎尾坏仁?，但?/p>

4、終還要解x的方程。解法3是數(shù)形結(jié)合法，用圖象解題，一般比較簡捷、形象、直觀，但要注意作圖的正確和表達(dá)的清晰和完整。 例2解不等式a-x (a0)。 解：a-x (I) 或 (II) 而(I) (2-)a0)。 (II) xa (因為a0)。 所以原不等式的解集是，即。 例3解不等式 解： 或 x1或x=1或x=-2。 所以原不等式的解集是1,+)-2。 三、指數(shù)不等式，對數(shù)不等式 1解題思路：化超越不等式為代數(shù)不等式，依據(jù)是指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性。 2常見題型及等價轉(zhuǎn)化： (1) (a0,a1)。當(dāng)0a1時，f(x)1時，f(x)g(x)。 (2)m(ax)2+n(ax)+k0。令ax=t

5、(t0)，轉(zhuǎn)化為mt2+nt+k0，先求t的取值范圍，再確定x的集合。 (3)logaf(x)logag(x) (a0, a1)。 當(dāng)0a1時， (4) 。 令logaf(x)=t (tR)，轉(zhuǎn)化為mt2+nt+k0，先求t的取值范圍，再確定x的集合。 3例題 例1解不等式。 解：，所以x2-2x-33-3x，所以x2+x-60, 所以-3x0), 則t2-12t-640。 所以-4t16，因為t0。所以0t16, 故02x16, 從而x4。 所以原不等式的解集是（-，4。 例3解不等式 解：原不等式可化為： 所以所以所以1x5。 所以原不等式的解集為（1，5）。 注意：(1)解對數(shù)不等式要考

6、慮原不等式中的定義域；(2)如出現(xiàn)，往往將此項移項，這樣可以避開分式運算；(3)如出現(xiàn)以2和4為底數(shù)的對數(shù)，最好統(tǒng)一成4為底的對數(shù)，這樣可以避開無理式運算。 四、作業(yè) 解下列關(guān)于x的不等式： 1. (x-a)(x+2)(x-3)0 3. 4. 5. 6. 作業(yè)參考答案： 解：1. 當(dāng)a-2時，解集為(-,a)(-2,3)。 當(dāng)a=-2時，解集為(-,-2)(-2,3)。 當(dāng)-2a3時，解集為(-,-2)(3,a)。 2x(x-1)3(x-2)2(x+1)(x2+x+1)0，所以x(x-1)3(x-2)2(x+1)(x+)2+)0 所以x(x-1)3(x-2)2(x+1)0。 所以解集為(-1,

7、0)(1,2)(2,+ )。 3因為(x+4)(x-3)=x2+x-12，(x+3)(x-2)=x2+x-6 設(shè)(t0)。則(x+4)(x-3)=t2-6，所以原不等式可化為t2-6+t36, 即t2+t-420，所以-7t6，因為t0, 所以0t6, 所以，所以0x-3或2x6, 所以解集為 4.所以所以所以 所以, 所以,所以解集為。 5(1)當(dāng)x=1時，顯然原不等式不成立， 所以x1。 (2)當(dāng)0x1時，即，所以，所以0x1時，即，所以，所以x2。 綜上所述，原不等式的解集為(0,1)(2,+)。 6. (1)當(dāng)0a1時，原不等式等價于 ，所以，所以， 因為 ， 所以， （因為a1），所

8、以，所以xa。綜上所述，當(dāng)0a1時，解集為(a, +)。 在線測試窗體頂端選擇題1不等式mx2+nx+30的解集是x|-1x2則m，n的值是（ ） A、m=-，n=1 B、m=n=- C、m=-，n= D、m=-，n=-1 窗體底端窗體頂端2關(guān)于x的不等式0)的解集是（ ） A、(0，a)B、(0，aC、D、(-，-)(0,+) 窗體底端窗體頂端3已知不等式kx2-kx-20的解集是空集，則k的取值范圍是（ ） A、-8k0B、-4k0C、0kD、1k4 窗體底端窗體頂端4已知不等式loga(x2+2x+5)0B、a2C、0a0，且x2y=2，xy+x2的最小值是（ ） A、3B、2C、1D、

9、-3 答案與解析 答案：1、C 2、B 3、A 4、C 5、A解析：1、分析：根據(jù)一元二次不等式和一元二次方程之間的關(guān)系，我們知道-1和2是方程mx2+nx+3=0的根。 2、分析：利用函數(shù)圖象來解，在同一個坐標(biāo)系下畫出y=和y=2x+a的圖象，滿足前面的圖象在后面圖象下面的x的取值即是所求。也可以用代入法，代入x=a不等式成立，選項A，C中沒有a，錯。代入x=-a，不等式不成立，選項D錯。 3、分析：根據(jù)一元二次函數(shù)圖象的性質(zhì)和一元二次不等式的解法，要滿足條件，則k0，且根的判別式應(yīng)該小于等于0。也可以用代入法。k=0符合題意，D中沒有0，錯。k=1，不合題意，C錯。k=-8代入，符合題意，

10、B錯。 4、分析：這是一個關(guān)于對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的不等式問題，我們注意到左邊對數(shù)的真數(shù)的最小值是4，要滿足條件，則0a0，y0，將y=代入xy+x2，得到（當(dāng)且僅當(dāng)x=1等號成立）。 注：涉及到不等式解集的選擇題多數(shù)都可以用代入法。這是比較簡單的方法。解無理不等式的若干求簡策略 解無理不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容。無理不等式的常規(guī)解法是先將原不等式化成或g(x)或g(x)等基本形式，再兩邊平方去根號轉(zhuǎn)化為有理不等式組求解。但對某些無理不等式，上述解法往往運算量大，過程冗長。解題中若能注意到某些特殊要素的功能作用，或利用某些特殊手段將原不等式作適當(dāng)轉(zhuǎn)化，常能簡化解題過程，優(yōu)化數(shù)學(xué)思維，提高解題效率

11、。在具體的解題過程中，有以下幾方面的策略。 1借用“定義域”確定符號，簡化或避免討論，從而使解題過程簡化。 使無理不等式中各代數(shù)式都有意義的未知數(shù)的取值范圍，不妨稱為不等式的“定義域”。顯然，不等式的解集應(yīng)是其“定義域”的子集。將不等式化為基本形式并確定其“定義域”，再考慮不等式另一邊的取值符號，有時能簡化分類，迅速求解。 例1設(shè)a0為常數(shù)，解不等式：。分析：一般的解法要分x+a0和x+a0討論，去根號求解。 注意到不等式的“定義域”，有a2-2x20，即, a0為常數(shù)，解不等式.(2000年全國高考試題) 分析：不等式化為，若按常規(guī)思路求解，則不等式再化為： 即（I） 如果注意到，則有ax+

12、11,即ax0. 由于a0，因而x0是一個隱含條件。 可將不等式化為 即（II） 不難發(fā)現(xiàn)，解不等式組（II）比解不等式組（I）要簡捷得多。 對不等式組（II），易得。 3簡化不等式結(jié)構(gòu) 對某些無理不等式，若直接化為基本形式求解就會很復(fù)雜，如果通過同解變形，改變原不等式的結(jié)構(gòu)，將它化為另一種較簡單的基本形式求解，不失為一種有效手段。 例3解不等式：。 分析：若將不等式直接化為基本形式，則有=。再往下解就比較復(fù)雜了。如果將原不等式變形為：， 即。 注意到1-x20且x+10，即-10. 不等式化為, 即. 這樣，原不等式就得以簡化，從而有 解得0-1, 且x0, t0且t1, 不等式化為， 即，

13、 6t(t+1)12(t0). 解得2t3，從而, 即4x+19。不等式的解集是3，8。 5數(shù)形結(jié)合 將不等式化為基本形式，再將不等式兩邊分別看作兩個函數(shù)，考察這兩個函數(shù)圖象的相對位置關(guān)系，常能簡捷地獲得結(jié)論。 例5設(shè)a時，函數(shù)y=f(x)的圖象位于函數(shù)y=g(x)的圖象的上方。 不等式的解集是(,+). 6作非形式化處理 不拘泥于將無理不等式化為基本形式求解，是一種非形式化的解題思想。將不等式兩邊按正負(fù)值分類，平方去根號，也是一種好的策略。 例6設(shè)ab0為常數(shù)，解不等式。 分析：雖然該不等式可化為基本形式求解，但較繁鎖。若作非形式化處理，則有下面的簡明解法。 ab0，-a-b-b時，不等式化

14、為 ，即。 (a-b)x3-(a-b)abx0. ab0，. x或-bx0. （3）當(dāng) 即x-a時， 不等式化為， 即x(x-)(x+)0. ，x0時，不等式等價于0，或f(x)=0時，不等式等價于0即可。 1）當(dāng)x-10。即x1時，原不等式等價于x2-x-20，解得x2。 2）當(dāng)x-1=0，即x=1時，顯然g(x)無意義，故為。 綜上知，原不等式的解集是x|x2。剖析：以上錯解的原因是分類不徹底，有遺漏,應(yīng)補(bǔ)充第三種情況：當(dāng)x-1”、“=”合成的，故不等式f(x)0可轉(zhuǎn)化為f(x)0或f(x)=0。 解法1 原不等式等價于 1）(x-1)0，或2）(x-1)=0。 解1），由得x2；解2），由x2-x-2=0或x-1=0且x2-x-2有意義，得x=-1或x=2。 綜上知，原不等式的解集是x|x2, 或x=-1。 方法2：（分類討論法）在不等式f(x)0中，按g(x)的取值情況分類，有兩種情形： 1）g(x)0時，不等式等價于 2）g(x)=0時，此時只須f(x)有意義即可。 解法2 分兩種情況討論