高中物理競(jìng)賽的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)自用

1、普通物理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)選自趙凱華老師新概念力學(xué)一、微積分初步  物理學(xué)研究的是物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，因此我們經(jīng)常遇到的物理量大多數(shù)是變量，而我們要研究的正是一些變量彼此間的聯(lián)系。這樣，微積分這個(gè)數(shù)學(xué)工具就成為必要的了。我們考慮到，讀者在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)物理課時(shí)若能較早地掌握一些微積分的初步知識(shí)，對(duì)于物理學(xué)的一些基本概念和規(guī)律的深入理解是很有好處的。所以我們?cè)谶@里先簡(jiǎn)單地介紹一下微積分中最基本的概念和簡(jiǎn)單的計(jì)算方法，在講述方法上不求嚴(yán)格和完整，而是較多地借助于直觀并密切地結(jié)合物理課的需要。至于更系統(tǒng)和更深入地掌握微積分的知識(shí)和方法，讀者將通過(guò)高等數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)去完成。§1函數(shù)及其圖形 

2、; 11函數(shù)  自變量和因變量  絕對(duì)常量和任意常量 12函數(shù)的圖象  13物理學(xué)中函數(shù)的實(shí)例 §2導(dǎo)數(shù)  21極限  如果當(dāng)自變量x無(wú)限趨近某一數(shù)值x0（記作xx0）時(shí)，函數(shù)f（x）的數(shù)值無(wú)限趨近某一確定的數(shù)值a，則a叫做xx0時(shí)函數(shù)f（x）的極限值，并記作（A17）式中的“l(fā)im”是英語(yǔ)“l(fā)imit（極限）”一詞的縮寫(xiě)，（A17）式讀作“當(dāng)x趨近x0時(shí)，f（x）的極限值等于a”。極限是微積分中的一個(gè)最基本的概念，它涉及的問(wèn)題面很廣。這里我們不企圖給“極限”這個(gè)概念下一個(gè)普遍而嚴(yán)格的定義，只通過(guò)一個(gè)特例來(lái)說(shuō)明它的

3、意義。考慮下面這個(gè)函數(shù)：這里除x1外，計(jì)算任何其它地方的函數(shù)值都是沒(méi)有困難的。例如當(dāng)?shù)侨魡?wèn)x1時(shí)函數(shù)值f（1）？我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這時(shí)（A18）式的說(shuō)是沒(méi)有意義的。所以表達(dá)式（A18）沒(méi)有直接給出f（1），但給出了x無(wú)論如何接近1時(shí)的函數(shù)值來(lái)。下表列出了當(dāng)x的值從小于1和大于1兩方面趨于1時(shí)f（x）值的變化情況：表A-1 x與f（x）的變化值x3x2-x-2x-10.9-0.47-0.14.70.99-0.0497-0.014.970.999-0.004997-0.0014.9970.9999-0.0004997-0.00014.99971.10.530.15.31.010.5030.015.0

4、31.0010.0050030.0015.0031.00010.000500030.00015.0003 從上表可以看出，x值無(wú)論從哪邊趨近1時(shí)，分子分母的比值都趨于一個(gè)確定的數(shù)值5，這便是x1時(shí)f（x）的極限值。其實(shí)計(jì)算f（x）值的極限無(wú)需這樣麻煩，我們只要將（A18）式的分子作因式分解：3x2-x-2（3x2）（x-1），并在x1的情況下從分子和分母中將因式（x1）消去：即可看出，x趨于1時(shí)函數(shù)f（x）的數(shù)值趨于3×125。所以根據(jù)函數(shù)極限的定義，求極限公式（2）（3）（4） 等價(jià)無(wú)窮小量代換sinxx;tanx;arctanxx;arcsinxx;   22

5、極限的物理意義  （1）瞬時(shí)速度對(duì)于勻變速直線運(yùn)動(dòng)來(lái)說(shuō)，這就是我們熟悉的勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速率公式（A5）。（2）瞬時(shí)加速度時(shí)的極限，這就是物體在tt0時(shí)刻的瞬時(shí)加速度a：（3）水渠的坡度任何排灌水渠的兩端都有一定的高度差，這樣才能使水流動(dòng)。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們假設(shè)水渠是直的，這時(shí)可以把x坐標(biāo)軸取為逆水渠走向的方向（見(jiàn)圖A-5），于是各處渠底的高度h便是x的函數(shù)：h=h（x）知道了這個(gè)函數(shù)，我們就可以計(jì)算任意兩點(diǎn)之間的高度差。 就愈能精確地反映出x=x0這一點(diǎn)的坡度。所以在x=x0這一點(diǎn)的坡度k應(yīng)是  23函數(shù)的變化率導(dǎo)數(shù)  前面我們舉了三個(gè)例子，在前兩個(gè)例子

6、中自變量都是t，第三個(gè)例子中自變量是x這三個(gè)例子都表明，在我們研究變量與變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，除了它們數(shù)值上“靜態(tài)的”對(duì)應(yīng)關(guān)系外，我們往往還需要有“運(yùn)動(dòng)”或“變化”的觀點(diǎn)，著眼于研究函數(shù)變化的趨勢(shì)、增減的快慢，亦即，函數(shù)的“變化率”概念。當(dāng)變量由一個(gè)數(shù)值變到另一個(gè)數(shù)值時(shí)，后者減去前者，叫做這個(gè)變量的增量。增量，通常用代表變量的字母前面加個(gè)“”來(lái)表示。例如，當(dāng)自變量x的數(shù)值由x0變到x1時(shí)，其增量就是xx1-x0 （A25）與此對(duì)應(yīng)。因變量y的數(shù)值將由y0f（x0）變到y(tǒng)1=f（x1），于是它的增量為yy1-y0=f（x1）f（x0）f（x0+x）f（x0）（A26）應(yīng)當(dāng)指出，增量是可

7、正可負(fù)的，負(fù)增量代表變量減少。增量比可以叫做函數(shù)在xx0到xx0+x這一區(qū)間內(nèi)的平均變化率，它在x0時(shí)的極限值叫做函數(shù)yf（x）對(duì)x的導(dǎo)數(shù)或微商，記作y或f（x），f（x）等其它形式。導(dǎo)數(shù)與增量不同，它代表函數(shù)在一點(diǎn)的性質(zhì)，即在該點(diǎn)的變化率。應(yīng)當(dāng)指出，函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f（x）本身也是x的一個(gè)函數(shù)，因此我們可以再取它對(duì)x的導(dǎo)數(shù)，這叫做函數(shù)yf（x）據(jù)此類推，我們不難定義出高階的導(dǎo)數(shù)來(lái)。有了導(dǎo)數(shù)的概念，前面的幾個(gè)實(shí)例中的物理量就可表示為：  24導(dǎo)數(shù)的幾何意義  在幾何中切線的概念也是建立在極限的基礎(chǔ)上的。如圖A-6所示，為了確定曲線在P0點(diǎn)的切線，我們先在曲線上P0附近選另

8、一點(diǎn)P1，并設(shè)想P1點(diǎn)沿著曲線向P0點(diǎn)靠攏。P0P1的聯(lián)線是曲線的一條割線，它的方向可用這直線與橫坐標(biāo)軸的夾角來(lái)描述。從圖上不難看出，P1點(diǎn)愈靠近P0點(diǎn)，角就愈接近一個(gè)確定的值0，當(dāng)P1點(diǎn)完全和P0點(diǎn)重合的時(shí)候，割線P0P1變成切線P0T，的極限值0就是切線與橫軸的夾角。  在解析幾何中，我們把一條直線與橫坐標(biāo)軸夾角的正切tan叫做這條直線的斜率。斜率為正時(shí)表示是銳角，從左到右直線是上坡的（見(jiàn)圖A-7a）；斜率為負(fù)時(shí)表示是鈍角，從左到右直線是下坡的（見(jiàn)圖A-7b）?，F(xiàn)在我們來(lái)研究圖A-6中割線P0P1和切線P0T的斜率。設(shè)P0和P1的坐標(biāo)分別為（x0，y0）和（x0+x，y

9、0+y），以割線P0P1為斜邊作一直角三角形P0P1M，它的水平邊P0M的長(zhǎng)度為x，豎直邊MP1的長(zhǎng)度為y，因此這條割線的斜率為如果圖A-6中的曲線代表函數(shù)y=f（x），則割線P0P1的斜率就等于函數(shù)在 線P0P1斜率的極限值，即所以導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切線的斜率。§3導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算  在上節(jié)里我們只給出了導(dǎo)數(shù)的定義，本節(jié)將給出以下一些公式和定理，利用它們可以把常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出來(lái)。  31基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式  （1）yf（x）C（常量）（2）y=f（x）x（3）yf（x）=x2（4）yf（x）x3 上面推導(dǎo)的結(jié)果可以歸納成一個(gè)普遍公式：當(dāng)y=xn時(shí)，

10、等等。利用（A33）式我們還可以計(jì)算其它冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（見(jiàn)表A-2）。除了冪函數(shù)xn外，物理學(xué)中常見(jiàn)的基本函數(shù)還有三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)。我們只給出這些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（見(jiàn)表A-2）而不推導(dǎo)，讀者可以直接引用。  32有關(guān)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的幾個(gè)定理  定理一證：定理二表A-2基本導(dǎo)數(shù)公式函數(shù)y=f(x)導(dǎo)數(shù)y=f(x)c(任意常量)0xn(n為任意常量)nxn-1n=1,x1n=2,x22xn=3,x33x2sinxcosxcosx-sinxlnxexex定理三定理四例題1求y=x2±a2（a為常量）的導(dǎo)數(shù)。例題3求y=ax2（a為常量）的導(dǎo)數(shù)。例題4求y=x2ex的導(dǎo)

11、數(shù)。例題6求ytanx的導(dǎo)數(shù)。 例題7求ycos（axb）（a、b為常量）的導(dǎo)數(shù)。解：令vaxb，yu（v）cosv，則例題9求y=x2eax2（a為常量）的導(dǎo)數(shù)。解：令uev，vax2，則§4微分和函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)  41微分  自變量的微分，就是它的任意一個(gè)無(wú)限小的增量x用dx代表x的微分，則dx=x（A38）一個(gè)函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)f（x）乘以自變量的微分dx，叫做這個(gè)函數(shù)的微分，用dy或df（x）表示，即dydf（x）f（x）dx，   （A39）一個(gè)整體引入的。當(dāng)時(shí)它雖然表面上具有分?jǐn)?shù)的形式，但在運(yùn)算時(shí)并不象普通分?jǐn)?shù)那樣可

12、以拆成“分子”和“分母”兩部分。在引入微分的概念之后，我們就可把導(dǎo)數(shù)看成微分dy與dx之商（所謂“微商”），即一個(gè)真正的分?jǐn)?shù)了。把導(dǎo)數(shù)寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式，常常是很方便的，例如，把上節(jié)定理四（A37）此公式從形式上看就和分?jǐn)?shù)運(yùn)算法則一致了，很便于記憶。下面看微分的幾何意義。圖A-8是任一函數(shù)yf（x）的圖形，P0（x0，y0）和P1（x0+x，y0+y）是曲線上兩個(gè)鄰近的點(diǎn)，P0T是通過(guò)P0的切線。直角三角形P0MP1的水平邊的交點(diǎn)為N，則 但tanNP0M為切線P0T的斜率，它等于x=x0處的導(dǎo)數(shù)f（x0），因此所以微分dy在幾何圖形上相當(dāng)于線段MN的長(zhǎng)度，它和增量是正比于（x）2以及x更

13、高冪次的各項(xiàng)之和例如對(duì)于函數(shù)y=f（x）x3，y3x2x3x（x）2（x）3，而dy=f（x）x=3x2x當(dāng)x很小時(shí)，（x）2、（x）3、比x小得多，中的線性主部。這就是說(shuō)，如果函數(shù)在x=x0的地方象線性函數(shù)那樣增長(zhǎng)，則它的增量就是dy   §5.積分  5.1幾個(gè)物理中的實(shí)例  (1)變速直線運(yùn)動(dòng)的路程我們都熟悉勻速直線運(yùn)動(dòng)的路程公式。如果物體的速率是v，則它在ta到tb一段時(shí)間間隔內(nèi)走過(guò)的路程是sv(tbta).  (A.45)對(duì)于變速直線運(yùn)動(dòng)來(lái)說(shuō)，物體的速率v是時(shí)間的函數(shù)：vv(t)，函數(shù)的圖形是一條曲線(見(jiàn)圖A-10a)，只有

14、在勻速直線運(yùn)動(dòng)的特殊情況下，它才是一條直線(參見(jiàn)圖A-4b)。對(duì)于變速直線運(yùn)動(dòng)，(A.45)式已不適用。但是，我們可以把tta到ttb這段時(shí)間間隔分割成許多小段，當(dāng)小段足夠短時(shí)，在每小段時(shí)間內(nèi)的速率都可以近似地看成是不變的。這樣一來(lái)，物體在每小段時(shí)間里走過(guò)的路程都可以按照勻速直線運(yùn)動(dòng)的公式來(lái)計(jì)算，然后把各小段時(shí)間里走過(guò)的路程都加起來(lái)，就得到ta到tb這段時(shí)間里走過(guò)的總路程。  設(shè)時(shí)間間隔(tbta)被tt1(=ta)、t2、t3、tn、tb分割成n小段，每小段時(shí)間間隔都是t，則在t1、t2、t3、tn各時(shí)刻速率分別是v(t1)、v(t2)、v(t3)、v(tn)。如果我們把

15、各小段時(shí)間的速率v看成是不變的，則按照勻速直線運(yùn)動(dòng)的公式，物體在這些小段時(shí)間走過(guò)的路程分等于v(t1)t、v(t2)t、v(t3)t、v(tn)t.于是，在整個(gè)(tb-ta)這段時(shí)間里的總路程是現(xiàn)在我們來(lái)看看上式的幾何意義。在函數(shù)vv(t)的圖形中，通過(guò)t=t1、t2、t3、tn各點(diǎn)垂線的高度分別是v(t1)、v(t2)、v(t3)、v(tn)(見(jiàn)圖A-10b)，所以v(t1 )t、v(t2)t、v(t3)t、v(tn)t就分這些矩形面積的總和，即圖中畫(huà)了斜線的階梯狀圖形的面積。在上面的計(jì)算中，我們把各小段時(shí)間t里的速率v看做是不變的，實(shí)際上在每小段時(shí)間里v多少還是有些變化的，所以上面的計(jì)算并

16、不精確。要使計(jì)算精確，就需要把小段的數(shù)目n加大，同時(shí)所有小段的t縮短(見(jiàn)圖A-10c)。t愈短，在各小段里v就改變得愈少，把各小段里的運(yùn)動(dòng)看成勻速運(yùn)動(dòng)也就愈接近實(shí)際情況。所以要嚴(yán)格地計(jì)算變速運(yùn)動(dòng)的路程s，我們就應(yīng)對(duì)(A.46)式取n、t0的極限，即當(dāng)n愈來(lái)愈大，t愈來(lái)愈小的時(shí)候，圖A-10中的階梯狀圖形的面積就愈來(lái)愈接近v(t)曲線下面的面積(圖A-10d)。所以(A.47)式中的極限值等于(tbta)區(qū)間內(nèi)v(t)曲線下的面積?？傊?，在變速直線運(yùn)動(dòng)中，物體在任一段時(shí)間間隔(tbta)里走過(guò)的路程要用(A.47)式來(lái)計(jì)算，這個(gè)極限值的幾何意義相當(dāng)于這區(qū)間內(nèi)v(t)曲線下的面積。  (

17、2)變力的功當(dāng)力與物體移動(dòng)的方向一致時(shí)，在物體由位置ssa移到ssb的過(guò)程中，恒力F對(duì)它所作的功為AF(sbsa)     A.48)如果力F是隨位置變化的，即F是s的函數(shù)：FF(s)，則不能運(yùn)用(A.48)式來(lái)計(jì)算力F的功了。這時(shí)，我們也需要象計(jì)算變速運(yùn)動(dòng)的路程那樣，把(sbsa)這段距離分割成n個(gè)長(zhǎng)度為s的小段(見(jiàn)圖A-11) 并把各小段內(nèi)力F的數(shù)值近似看成是恒定的，用恒力作功的公式計(jì)算出每小段路程s上的功，然后加起來(lái)取n、s0的極限值。具體地說(shuō)，設(shè)力F在各小段路程內(nèi)的數(shù)值分別為F(s1)、F(s2)、F(s3)、F(sn)，則在各小段路程

18、上力F所作的功分別為F(s1)s、F(s2)s、F(s3)s、F(sn)s.在(sbsa)整段路程上力F的總功A就都是變化的，所以嚴(yán)格地計(jì)算，還應(yīng)取n、s0的極限值，即同上例，這極限值應(yīng)是(sbsa)區(qū)間內(nèi)F(s)下面的面積(見(jiàn)圖A-12)。  5 2定積分  以上兩個(gè)例子表明，許多物理問(wèn)題中需要計(jì)算象(A.47)和(A.49)式中給出的那類極限值。概括起來(lái)說(shuō)，就是要解決如下的數(shù)學(xué)問(wèn)題：給定一個(gè)函數(shù)f(x)，用xx1(=a)、x2、x3、xn、b把自變量x在(ba)區(qū)間內(nèi)的數(shù)值分成n小段，設(shè)每小段的大小為x，求n、x0時(shí)函數(shù)，b和a分別叫做定積分的上限和下限。用定

19、積分的符號(hào)來(lái)表示，(A.47)和(A.49)式可分別寫(xiě)為 在變速直線運(yùn)動(dòng)的路程公式(A.51)里，自變量是t，被積函數(shù)是v(t)，積分的上、下限分別是tb和ta；在變力作功的公式(A.52)里，自變量是s，被積函數(shù)是F(s)，積分的上、下限分別是sb和sa.求任意函數(shù)定積分的辦法有賴于下面關(guān)于定積分的基本定理：如果被積函數(shù)f(x)是某個(gè)函數(shù)(x)的導(dǎo)數(shù)，即f(x)=(x)，則在xa到xb區(qū)間內(nèi)f(x)對(duì)x的定積分等于(x)在這區(qū)間內(nèi)的增量，即現(xiàn)在我們來(lái)證明上述定理。在axb區(qū)間內(nèi)任選一點(diǎn)xi，首先考慮(x)在x=xi到x=xi+xxi+1區(qū)間的增量(xi)=(xi+1)-(xi)：但

20、按照定理的前提，(x)=f(x)，故(xi)(xi)x=f(xi)x.式中表示“近似等于”，若取x0的極限，上式就是嚴(yán)格的等式。把a(bǔ)xb區(qū)間分成n1小段，每段長(zhǎng)x.上式適用于每小段。根據(jù)積分的定義和上式，我們有因x1a，xnb，于是得(A.53)式，至此定理證訖。下面看看函數(shù)(x)在f-x圖(見(jiàn)圖A-13)中所表現(xiàn)的幾何意義。如前所述，(xi)=(xi+1)-(xi)=f(xi)x，正是寬為x、高為積。它和曲線段PiPi+1下面的梯形xixi+1Pi+1Pi的面積只是相差一小三角形PiNPi1的面積。當(dāng)x0時(shí)，可認(rèn)為(xi)就是梯形xixi+1Pi+1Pi的面積。既然當(dāng)x由xi變到xi+1時(shí)，

21、(x)的增量的幾何意義是相應(yīng)區(qū)間f-x曲線下的面積，則(x)本身的幾何意義就是從原點(diǎn)O到x區(qū)間f-x曲線下面的面積加上一個(gè)常量C(0).例如(xi)的幾何意義是圖形OxiPiP0的面積加C，(xi1)的幾何意義是圖形Oxi+1Pi+1P0的面積加C，等等。這樣，(xi)=(xi+1)-(xi)就是：(Oxi+1Pi+1P0的面積+C)-(OxiPiP0的面積+C)=xixi+1Pi+1Pi的面積，而(b)-(a)的幾何意義是：(ObPbP0的面積+C)(OaPaP0的面積+C)abPbPa的面積。   5.3不定積分及其運(yùn)算  在證明了上述定積分的基本定理之后，我

22、們就可以著手解決積分的運(yùn)算問(wèn)題了。根據(jù)上述定理，只要我們求得函數(shù)(x)的表達(dá)式，利用(A.53)式立即可以算出定積分去求(x)的表達(dá)式呢？上述定理告訴我們，(x)=f(x)，所以這就相當(dāng)于問(wèn)f(x)是什么函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。由此可見(jiàn)，積分運(yùn)算是求導(dǎo)的逆運(yùn)算。如果f(x)是(x)的導(dǎo)數(shù)，我們可以稱(x)是f(x)的逆導(dǎo)數(shù)或原函數(shù)。求f(x)的定積分就可以歸結(jié)為求它的逆導(dǎo)數(shù)或原函數(shù)。在上節(jié)里我們講了一些求導(dǎo)數(shù)的公式和定理，常見(jiàn)的函數(shù)我們都可以按照一定的法則把它們的導(dǎo)數(shù)求出來(lái)。然而求逆導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題卻不像求導(dǎo)數(shù)那樣容易，而需要靠判斷和試探。例如，我們知道了(x)x3的導(dǎo)數(shù)(x)3x2，也就知道了F(x)3x2的

23、逆導(dǎo)數(shù)是(x)x3.這時(shí)，如果要問(wèn)函數(shù)f(x)x2的逆導(dǎo)數(shù)是什么，那么我們就不難想到，它的逆導(dǎo)數(shù)應(yīng)該是x3/3.這里要指出一點(diǎn)，即對(duì)于一個(gè)給定的函數(shù)f(x)來(lái)說(shuō)，它的逆導(dǎo)數(shù)并不是唯一的。1(x)x3/3是f(x)x2的逆導(dǎo)數(shù)，2(x)x3/31和3(x)=x3/35也都是它的逆導(dǎo)數(shù)，因?yàn)?(x)、2(x)、3(x)都等于x2.一般說(shuō)來(lái)，在函數(shù)f(x)的某個(gè)逆導(dǎo)數(shù)(x)上加一任意常量C，仍舊是f(x)的逆導(dǎo)數(shù)。通常把一個(gè)函數(shù)f(x)的逆導(dǎo)數(shù)的通式(x)C叫做它的不定積分，并記作f(x)dx，于是因在不定積分中包含任意常量，它代表的不是個(gè)別函數(shù)，而是一組函數(shù)。表A-4基本不定積分公式函數(shù)f(xxn

24、(n-1)n=1時(shí)，x1=xn=2時(shí)，x2n=3時(shí)，x3sinx-cosx+Ccosxsinx+Cln|x|+Cexex+C上面所給的例子太簡(jiǎn)單了，我們一眼就能猜到逆導(dǎo)數(shù)是什么。在一般的情況下求逆導(dǎo)數(shù)，首先要求我們對(duì)各種函數(shù)的導(dǎo)數(shù)掌握得很熟練，才能確定選用那一種形式的函數(shù)去試探。此外，掌握表A-4中給出的基本不定積分公式和其后的幾個(gè)有關(guān)積分運(yùn)算的定理，也是很重要的。(表中的公式可以通過(guò)求導(dǎo)運(yùn)算倒過(guò)來(lái)驗(yàn)證，望讀者自己去完成)下面是幾個(gè)有關(guān)積分運(yùn)算的定理。定理一  如果f(x)au(x)(a是常量)，則定理二  如果f(x)=u(x)±v(x)，則這兩個(gè)定理的證明是顯

25、而易見(jiàn)的，下面我們利用這兩個(gè)定理和表A4中的公式計(jì)算兩個(gè)例題。定理三  如果f(x)=u(v)v(x)，則此定理表明，當(dāng)f(x)具有這種形式時(shí)，我們就可以用v來(lái)代替x作自變量，這叫做換元法。經(jīng)過(guò)換元往往可以把比較復(fù)雜的積分化成表A-4中給出的現(xiàn)成結(jié)果。下面看幾個(gè)例題。解：令u(v)sinv，v(x)axb， dvv(x)dxadx，經(jīng)換元得解：令v(x)=sinx，則dvv(x)dxcosx dx，于是于是  5.4通過(guò)不定積分計(jì)算定積分  當(dāng)我們求得不定積分之后，將上、下限的數(shù)值代入相減，就得到定積分的值：作定積分運(yùn)算時(shí)，任意常量就被消掉了。圖A14是

26、f(x)=sin2x的曲線，它在x0到1/2一段是正的，在x1/2到1一段是負(fù)的。從x0到1的定積分為0，是因?yàn)闄M軸上下兩塊面積大小相等，一正一負(fù)，相互抵消了。  例題17  推導(dǎo)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的路程公式。解：v(t)=v0+at，例題18 若在(A.52)式中力F(s)與距離平方成反比：F(s)a/s2，求功A(見(jiàn)圖A-15).習(xí)  題  A-1.(1)若f(x)=x2，寫(xiě)出f(0)、f(1)、f(2)、f(3)之值。(3)若f(x)abx，f(0)？x0為多少時(shí)f(x0)=0？  A-2.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y3x42x28， 

27、;                               (2)y=53x4x3，  (11)yx tanx，