B-S期權(quán)定價模型及其應用(共30頁).ppt

1、1Black-Scholes 期權(quán)定價模型期權(quán)定價模型王春雷王春雷2引引 言言l二叉樹期權(quán)定價模型： 變量離散、時間離散l當股價的變動是一個連續(xù)的運動過程 變量連續(xù)、時間連續(xù) 如何對以它為標的資產(chǎn)的衍生品定價？本節(jié)討論的問題31 1、股票價格的運動過程、股票價格的運動過程, dSdtdzdzdtS ：股票的瞬間收益率 ：股票的期望瞬間收益率 ：股價收益率的瞬間標準差dSS4波動率估計1 觀測證券價格的歷史數(shù)據(jù)S0 、 S1 、 、 Sn ，觀測時間間隔為t（以年為單位）2 計算每期以復利計算的回報率 uiLn(Si / Si-1 ), i=1,n3 計算回報率的標準差s4 波動率估計211()

2、1niisuunst5 2 2、伊藤引理、伊藤引理（Itos lemma）l若已知 x 的運動過程，利用伊藤引理能夠推知函數(shù) G (x, t ) 的運動過程l由于任何衍生品價格均為其標的資產(chǎn)價格及時間的函數(shù)，因而可利用伊藤引理推導衍生品價格的運動過程6l伊藤引理（伊藤引理（Ito，1951） 若隨機過程 x 遵循伊藤過程： 則G (x, t )將遵循如下伊藤過程： bdzxGdtbxGtGaxGdG)21(222dztxbdttxadx),(),(722221()2ffffdfSSdtSdzStSSSdzSdtdS股價運動是一種簡單的伊藤過程：以股票為標的資產(chǎn)的衍生品價格 f (S, t )

3、，其運動過程可通過伊藤引理得到：8例例1 1：伊藤引理的運用：伊藤引理的運用 若 ，則該微分方程的解為： ( , )lnf S tS22211, 0, fffSStSS 2ln()2dSdtdz2(/2)(), (0, )T tzTtSS ezNTt 2lnln(/2)()( ( )( )TtSST tz Tz t 93 3、Black-Scholes 微分方程微分方程（1）原理）原理l衍生品與標的資產(chǎn)（股票）價格不確定性的來源相同l與二叉樹期權(quán)定價模型的思想類似，我們 通過構(gòu)造股票與衍生品的組合來消除這種 不確定性10（2）假設條件）假設條件l股價遵循幾何布朗運動l股票交易連續(xù)進行，且股票無

4、限可分l不存在交易費用及稅收l允許賣空，且可利用所有賣空所得l在衍生品有效期間，股票不支付股利l在衍生品有效期間，無風險利率保持不變l所有無風險套利機會均被消除11（3）B-S微分方程的推導微分方程的推導222212dSSdtSdzffffdfSSdtSdzStSS股票及衍生品的運動過程分別為： 為消除不確定性，構(gòu)造投資組合： 衍生品：1；股票：fS12 投資組合的價值為：2222-1 ()2fddfdSSffSdttS 投資組合的價值變動為：-ffSS 價值變動僅與時間 dt 有關(guān)，因此該組合 成功消除了 dz 帶來的不確定性13 根據(jù)無套利定價原理，組合收益率應等于無風險利率 r (無套利

5、機會)：drdt 22221()(-)2fffSdtrfS dttSSrfSfSSfrStf222221 此即 Black-Scholes 微分方程微分方程。14l任意依賴于標的資產(chǎn) S 的衍生品價格 f 應 滿足該方程l衍生品的價格由微分方程的邊界條件決定 例：歐式看漲期權(quán)的邊界條件為： C(0，t) 0 C(ST ,T)= max（ST K，0） 理論上通過解B-S微分方程，可得 Call 的價格。 問題：微分方程難于求解！154 4、風險中性定價方法、風險中性定價方法l觀察B-S微分方程及歐式Call 的邊界條件發(fā)現(xiàn)：C(S, t)與 S、r、t、T、以及 K 有關(guān)，而與股票的期望收益率

6、無關(guān)。這說明歐式Call 的價格與投資者的風險偏好無關(guān)。l在對歐式Call 定價時，可假設投資者是風險中投資者是風險中性的性的（對所承擔的風險不要求額外回報，所有證券的期望收益率等于無風險利率）16用風險中性方法對歐式用風險中性方法對歐式 Call 定價定價l假設股價期望收益率為無風險利率 r，則：l歐式 Call 到期時的期望收益為： 將該期望收益以無風險利率折現(xiàn)，得到歐式 Call 價格：dSrSdtSdz()( , )max (,0)r T tTC S teESKmax(,0)TESK17得：其中：此即 Black-Scholes 期權(quán)定價公式期權(quán)定價公式。221ln( /)(/2)()

7、 S KrTtddTtTt()12 ( , )()() r T tC S tSN dKeN d21ln( /)(/2)() ()S KrTtdTt18如何理解如何理解B-S期權(quán)定價公式期權(quán)定價公式1()SN d1()N d（1） 可看作證券或無價值看漲期權(quán)的多頭； 可看作K份現(xiàn)金或無價值看漲期權(quán)的多頭。()2()r TtKeN d（2）可以證明， 。為構(gòu)造一份歐式看漲期權(quán)，需持有 份證券多頭，以及賣空數(shù)量為 的現(xiàn)金。1/()fSN d2 ()rTK eN d19lBlack-Scholes 期權(quán)定價公式用于不支付股利的 歐式看漲期權(quán)的定價（通過 Call-Put 平價公式 可計算歐式看跌期權(quán)的

8、價值）。l 注意：注意： 該公式只在一定的假設條件下成立該公式只在一定的假設條件下成立，如市場完美（無稅、無交易成本、資產(chǎn)無限可分、允許賣空）、無風險利率保持不變、股價遵循幾何布朗運動等。20例：例：Black-Scholes公式的運用公式的運用 假設一種不支付紅利股票目前的市價為42元， 某投資者購買一份以該股票為標的資產(chǎn)的歐式 看漲期權(quán)，6個月后到期，執(zhí)行價格為40元。假設該股票年波動率為20%，6月期國庫券年利率為10%，問：該份期權(quán)價格應為多少元？ 解：由上述條件知： 21 42 (0.7693) 38.049 (0.6278)4.76 ()CNN元22 根據(jù) Call - Put 平

9、價公式 有： 計算得到歐式看跌期權(quán)價格為：P =0.81(元)- ( - ) r T tPSCKe- ( - )()21 ()() r T tr T tPCKeSKeNdSNd23影響歐式看漲期權(quán)價格的因素影響歐式看漲期權(quán)價格的因素l當期股價 S 越高，期權(quán)價格越高l到期執(zhí)行價格 K 越高，期權(quán)價格越低l距離到期日時間 T-t 越長，期權(quán)價格越高l股價波動率越大，期權(quán)價格越高l無風險利率 r 越高，期權(quán)價格越高24B-S期權(quán)定價公式的擴展：紅利期權(quán)定價公式的擴展：紅利l股價運動過程l風險中性定價 僅需要將St變成St e-q(T-t) ，帶入原來的B-S微分方程即可()( , )max (,0

10、)r T tTC S teESK2(/2)(), (0, )rqTtzTtSS ezNTt 25B-S期權(quán)定價公式的運用期權(quán)定價公式的運用（1）對公司負債及資本進行估值）對公司負債及資本進行估值 一家公司A發(fā)行兩種證券：普通股100萬股及 1年后到期的總面值8000萬元的零息債券。已知 公司總市值為1億元，問：公司股票及債券如何 定價？ 令V為當前A公司資產(chǎn)市場價值，E為A公司資 本市場價值，D為A公司債券市場價值。V = E + D26 考慮股東1年之后的收益：當A公司價值VT大于債券面值時，收益為VT -8000；當A公司價值小于債券面值時，收益為0。股東相當于持有一個執(zhí)行價格為8000萬

11、元的歐式Call, 標的資產(chǎn)為公司價值.當前資本價值為： 給出其它具體數(shù)值，公司價值的波動率為0.3,無風險利率為8%，根據(jù)B-S公司得到E=2824萬元.公司負債價值D=V-E=7176萬元。12 ()() rTEVN dBeN d27l（2）確定貸款擔保價值或擔保費用）確定貸款擔保價值或擔保費用 假設某銀行為公司發(fā)行的債券提供了信用擔保。 1年之后，若公司價值VT大于債券面值時，銀行無須支付；若公司價值VT小于債券面值時,銀行須支付 VT B。這相當于銀行出售了一個歐式put, 標的資產(chǎn)仍為公司價值，執(zhí)行價格為債券面值B。 利用上面的例子，可采用B-S看跌期權(quán)定價公式或看漲看跌期權(quán)平價公式，得到歐式put 的價值為209萬元，A公司應支付209萬元的擔保費。28l（3）帶有可轉(zhuǎn)化特征的融資工具的定價）帶有可轉(zhuǎn)化特征的融資工具的定價 認股權(quán)證指賦予投資者在某一時期以約定價格向發(fā)行人購買公司新股的權(quán)利。 假設公司有N股流通股，M份流通歐式認股權(quán)證，一份認股權(quán)證使持有人在時刻T以每股K的價格購買x股新股的權(quán)利。 29 設時期T公司權(quán)益價值為ET ，若持有人選擇執(zhí)行認股權(quán)，公司權(quán)益價值變?yōu)?ET + MxK ，股票數(shù)量變?yōu)?N+Mx 。執(zhí)行