非常全面的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)材料

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)大綱第一章 隨機(jī)事件與概率基本概念隨機(jī)試驗(yàn)E-指試驗(yàn)可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行，試驗(yàn)的結(jié)果具有多種可能性（每次試驗(yàn)有且僅有一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)，且事先知道試驗(yàn)可能出現(xiàn)的一切結(jié)果，但不能預(yù)知每次試驗(yàn)的確切結(jié)果。樣本點(diǎn)w -隨機(jī)試驗(yàn)E的每一個(gè)可能出現(xiàn)的結(jié)果樣本空間W-隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本點(diǎn)的全體隨機(jī)事件-由樣本空間中的若干個(gè)樣本點(diǎn)組成的集合，即隨機(jī)事件是樣本空間的一個(gè)子集。必然事件-每次試驗(yàn)中必定發(fā)生的事件。 不可能事件Æ-每次試驗(yàn)中一定不發(fā)生的事件。事件之間的關(guān)系包含AÌB相等A=B對立事件，也稱A的逆事件互斥事件AB=Æ也稱不相容事件A，B相互獨(dú)立 P(AB)

2、=P(A)P(B)例1事件A，B互為對立事件等價(jià)于（D）A、A，B互不相容 B、A，B相互獨(dú)立 C、AB D、A，B構(gòu)成對樣本空間的一個(gè)剖分例2設(shè)P(A)=0，B為任一事件，則（ C ）A、A=Æ B、AÌB C、A與B相互獨(dú)立 D、A與B互不相容事件之間的運(yùn)算事件的交AB或AB例1設(shè)事件A、B滿足A=Æ，由此推導(dǎo)不出 (D)A、AÌB B、É C、AB=B D、AB=B例2若事件B與A滿足 B A=B，則一定有 (B)A、A=Æ B、AB=Æ C、A=Æ D、B=事件的并AB事件的差A(yù)-B 注意： A-B = A

3、 = A-AB = (AB)-BA1,A2,An構(gòu)成W的一個(gè)完備事件組(或分斥)¾¾指A1,A2,An兩兩互不相容，且Ai=W運(yùn)算法則交換律AB=BA AB=BA結(jié)合律(AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC) 分配律(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC)對偶律 = =文氏圖 事件與集合論的對應(yīng)關(guān)系表記號概率論集合論W樣本空間，必然事件全集Æ不可能事件空集w基本事件元素A事件全集中的一個(gè)子集A的對立事件A的補(bǔ)集AÌB事件A發(fā)生導(dǎo)致事件B發(fā)生A是B的子集A=B事件A與事件B相等A與B相等AB事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生A與B的并集A

4、B事件A與事件B同時(shí)發(fā)生A與B的交集A-B事件A發(fā)生但事件B不發(fā)生A與B的差集AB=Æ事件A與事件B互不相容（互斥）A與B沒有相同的元素古典概型古典概型的前提是W=w1, w2, w3, wn, n為有限正整數(shù)，且每個(gè)樣本點(diǎn)wi出現(xiàn)的可能性相等。例1設(shè)3個(gè)球任意投到四個(gè)杯中去，問杯中球的個(gè)數(shù)最多為1個(gè)的事件A1，最多為2個(gè)的事件A2的概率。解：每個(gè)球有4種放入法，3個(gè)球共有43種放入法，所以|W|=43=64。(1)當(dāng)杯中球的個(gè)數(shù)最多為1個(gè)時(shí)，相當(dāng)于四個(gè)杯中取3個(gè)杯子，每個(gè)杯子恰有一個(gè)球，所以|A1|= C3！=24；則P(A1)=24/64 =3/8. (2) 當(dāng)杯中球的個(gè)數(shù)最多為

5、2個(gè)時(shí)，相當(dāng)于四個(gè)杯中有1個(gè)杯子恰有2個(gè)球(CC)，另有一個(gè)杯子恰有1個(gè)球(CC)，所以|A2|= CCCC=36；則P(A2)=36/64 =9/16 例2從1,2,9，這九個(gè)數(shù)中任取三個(gè)數(shù)，求：(1)三數(shù)之和為10的概率p1；(2)三數(shù)之積為21的倍數(shù)的概率p2。解：p1=, p2= = P(A)= =幾何概型前提是如果在某一區(qū)域W任取一點(diǎn)，而所取的點(diǎn)落在W中任意兩個(gè)度量相等的子區(qū)域的可能性是一樣的。若AÌW，則P(A)= 例1把長度為a的棒任意折成三段，求它們可以構(gòu)成一個(gè)三角形的概率。解：設(shè)折得的三段長度分別為x,y和a-x-y，那么，樣本空間，S=(x,y)|0£x

6、£a,0£y£a,0£a-x-y£a。而隨機(jī)事件A：”三段構(gòu)成三角形”相應(yīng)的區(qū)域G應(yīng)滿足兩邊之和大于第三邊的原則，得到聯(lián)立方程組，解得 0<x< , 0<y< , <x+y<a 。即G=(x,y)| 0<x< , 0<y< , <x+y<a 由圖中計(jì)算面積之比，可得到相應(yīng)的幾何概率 P(A)= 1/4。古典概型基本性質(zhì)(1)非負(fù)性，對于任一個(gè)事件A，有P(A)³0;(2)規(guī)范性:P(W)=1或P(Æ)=0;(3)有限可加性：對兩兩互斥事件A1,A2,An

7、有P(A1A2An)=P(A1)+ P(A2)+ P(An)概率的公理化定義要求函數(shù)P(A)滿足以下公理：(1)非負(fù)性，有P(A)³0;(2)規(guī)范性:P(W)=1;(3)可列可加性：對兩兩互斥事件A1,A2,An有P(A1A2An)=P(A1)+ P(A2)+ P(An)概率公式求逆公式 P()=1- P(A)加法公式 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)求差公式：P(A-B)=P(A)-P(AB); 當(dāng)AÉB時(shí)，有P(A-B)=P(A)-P(B) 注意： A-B = A =

8、 A-AB = (AB)-B概率公式條件概率公式：P(A|B)= ; (P(B)>0) P(A|B)表示事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率。乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)= P(B)P(A|B) (其中P(A)>0, P(B)>0) 一般有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (其中P(AB)>0)全概率公式：P(B)= P(B|Ai)P(Ai) 其中A1,A2,An構(gòu)成W的一個(gè)分斥。貝葉斯公式：P(Ak|B)= = 應(yīng)用題例1設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三個(gè)事件A, B和C滿足條件：ABC=Æ，P(A)=P(B)=P(C)<1/2, 且已

9、知P(ABC)=9/16，則 P(A)= 。解: P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)+P(AC)+P(BC)+P(ABC),令P(A)=x, 則3x 3x2=9/16 Þ 16x2-16x+3=0 Þ x=1/4 或3/4(舍去) 則P(A)=1/4 例2某射擊隊(duì)共有20個(gè)射手，其中一級射手4人，二級射手8人，三級射手7人，四級射手1人，一、二、三、四級射手能夠進(jìn)入正式比賽的概率分別是0.9、0.7、0.5和0.2，求任選一名選手能進(jìn)入正式比賽的概率。解:設(shè)Ak=選中第k級選手, k=1,2,3,4，B=進(jìn)入正式比賽。由已知P(A1)=1/5, P(A2

10、)=2/5, P(A3)=7/20, P(A4)=1/20; P(B|A1)=0.9, P(B|A2)=0.7, P(B|A3)=0.5, P(B|A4)=0.2. P(B)=P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3)+ P(A4)P(B|A4)=1/5´0.9+2/5´0.7+7/20´0.5+1/20´0.2=0.645 例3某物品成箱出售，每箱20件，假設(shè)各箱中含0、1件次品的概率分別為0.8和0.2，一顧客在購買時(shí)，他可以開箱，從箱中任取三件檢查，當(dāng)這三件都是合格品時(shí)，顧客才買下該箱物品，否則退貨。試求：（1

11、）顧客買下該箱的概率 a ；（2）顧客買下該箱物品，問該箱確無次品的概率 b 。解:設(shè)事件A0箱中0件次品, A1箱中1件次品，事件B買下該箱。由已知P(A0)=0.8, P(A1)=0.2,P(B|A0)=1, P(B|A1)=19/20 ´ 18/19 ´ 17/18=17/20,(1) a=P(B)= P(A0)P(B|A0)+ P(A1)P(B|A1)=0.8´1+0.2´7/20=0.97 ;(2) b=P(A0|B)= P(A0B)/P(B)= P(A0)P(B|A0)/P(B)=0.8/0.97= 0.8247 事件的獨(dú)立性如果事件A與事件

12、B滿足P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立。結(jié)論：1. 如果P(A)>0，則事件A與B獨(dú)立Û P(B|A)=P(B)2. 事件A與事件B獨(dú)立Û事件A與事件獨(dú)立Û事件與事件B獨(dú)立Û事件與事件獨(dú)立事件A1,A2,An相互獨(dú)立-指任意k個(gè)事件Ai1,Ai2,Aik滿足P(Ai1Ai2Aik)=P( Ai1)P(Ai2)P(Aik)，其中k=2,3,n?？煽啃栽目煽啃訮(A)=r系統(tǒng)的可靠性： 串聯(lián)方式 P(A1A2An)=rn并聯(lián)方式 P(A1A2An)=1-(1-r)n , 貝努里概型指在相同條件下進(jìn)行n次試驗(yàn)；每次試驗(yàn)的結(jié)果有

13、且僅有兩種A與；各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立；每次試驗(yàn)的結(jié)果發(fā)生的概率相同P(A)=p, P()=1-p。二項(xiàng)概率-在n重獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為b(k;n,p)，則b(k;n,p)= Cpk(1-p)n-k (k=0,1,2,3,n)。第二章 隨機(jī)變量與概率分布隨機(jī)變量的分布函數(shù)分布函數(shù)定義：F(x)=Pxx, -¥<x<+¥分布函數(shù)(x)實(shí)質(zhì)上表示隨機(jī)事件Pxx發(fā)生的概率。分布函數(shù)F(x)的性質(zhì) (1)0F(x)1;(2) F(x)=0, F(x)=1(3)單調(diào)非減，當(dāng)x1<x2時(shí)，F(xiàn)(x1)F(x2)(4)右連續(xù) F(x)=F(x0)一些概率可用

14、分布函數(shù)來表示Pa<xb=F(b)-F(a),Px=a=F(a)-F(a-0), Px<a=F(a-0), Px>a=1-F(a), Pxa=1-F(a-0), 例1.設(shè)隨機(jī)變量x的分布函數(shù)為 F(x)= , 則 Pxp/4 = ( ) (選C，因?yàn)镻xp/4 =F(p/4)=sinp/4)A、0 B、1/2 C、/2 D、1例2.設(shè)隨機(jī)變量x1和x2的分布函數(shù)分別為F1(x)和F2(x)，為使F(x)=aF1(x) - bF2(x)是某隨機(jī)變量的分布函數(shù)，則在下列給定的各組數(shù)值中應(yīng)取 ( ) A、a=3/5,b=-2/5 B、a=3/5,b=2/5 C、a=3/5,b=-3

15、/5 D、a=2/5,b=2/5(選A，因?yàn)镕(+)=1= aF1(+) - bF2(+)=a-b )例3.連續(xù)型隨機(jī)變量 x 的分布函數(shù)為 F(x) = A + B arctanx, -<x<求：(1) 常數(shù)A,B； (2) x 落入（-1，1）的概率。解：因?yàn)镕(+)=1, F(-)=0，所以A + Bp/2=1，A - Bp/2=0，解得 A=1/2, B=1/p . 即F(x) = + arctanx .x 落入（-1，1）的概率為P-1<x<1=F(1)-F(-1) = + arctan1 ( + arctan(-1)= + = 離散型隨機(jī)變量定義：隨機(jī)變量只

16、能取有限個(gè)或可數(shù)個(gè)孤立的值離散型隨機(jī)變量的概率分布簡稱為分布列： 其中每一個(gè) pi0 且 =1離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是非降的階梯函數(shù)。離散型隨機(jī)變量常見分布：1)兩點(diǎn)分布X(0,1)；X的取值只有0或1，其概率為PX=0=p, PX=1=1-p2)二項(xiàng)分布XB(n,p)；分布律為 b(k;n,p)= PX=k= Cpk(1-p)n-k (k=0,1,2,3,n) 其中 0<p<13)泊松分布XP(l)；分布律為 PX=k= e-l (k=0,1,2,3,) 。4)幾何分布：XGe(p)；分布列為 PX=k= (1-p)k-1p (k=0,1,2,3,) 。在伯努利試驗(yàn)序列中，記每

17、次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，如果X為事件A首次出現(xiàn)時(shí)的試驗(yàn)次數(shù)，則X的可能取值為1,2,稱X服從幾何分布。5)超幾何分布：X h(n,N,M)；分布列為 PX=k= (k=0,1,2,3,r, 其中r=minM,n) 。 設(shè)有N個(gè)產(chǎn)品，其中有M個(gè)不合格品，若從中不放回地隨機(jī)抽取n個(gè)，則其中含有的不合格品個(gè)數(shù)X服從超幾何分布。離散型例題例1設(shè)隨機(jī)變量x的分布列為Px=k=，k=1,2,，則常數(shù)C= ( )A、1/4 B、1/2 C、1 D、2(因?yàn)镻x=k=1, 即=1, 所以c=1 )例2某射手有5發(fā)子彈，射一次命中的概率為0.9，如果命中了就停止射擊，否則一直射到子彈用僅。求耗用子彈數(shù)x的

18、分布列。解：x的分布列為x 1 2 3 4 5概率p 0.9 0.09 0.009 0.0009 0.0001例3設(shè)離散型隨機(jī)變量x的概率分布為x 0 1 2p 0.3 0.5 0.2其分布函數(shù)為F(x)，則F(3)= ( )A、0 B、0.3 C、0.8 D、1(選D，因?yàn)镕(3)=p(0)+p(1)+p(2)=1)連續(xù)性隨機(jī)變量定義：-隨機(jī)變量可能取的值連續(xù)地充滿一個(gè)范圍, 如果對于隨機(jī)變量x的分布函數(shù)F(x)，存在非負(fù)可積函數(shù)p(x)，使得對于任意實(shí)數(shù)x，有 F(x)= ò p(u)du， 則稱x為連續(xù)型隨機(jī)變量，其中p(x)為的概率密度函數(shù).密度函數(shù)必須滿足條件：(1) p(

19、x)³0, -<x<+(2) ò p(x)dx=F(+)=1連續(xù)型型隨機(jī)變量的性質(zhì)：1.分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)；2 F¢(x)=p(x);3 Px=a=0, 所以Pa<x£b= Pa£x£b= Pa£x<b= Pa<x<b= ò p(x)dx 4 Px<x£x+Dx» p(x)Dx常見連續(xù)型型隨機(jī)變量的分布：1)均勻分布xUa,b；密度函數(shù) p(x)= 分布函數(shù)F(x)= 2)指數(shù)分布xexp(l)；密度函數(shù) p(x)= 分布函數(shù)F(x)= 3)正態(tài)分布xN

20、(m,s2)；密度函數(shù)p(x)= e (-<x<+) 分布函數(shù)F(x)= òedt標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，它的分布函數(shù)F(x)可查表得到，一般F(x)=F( )。正態(tài)分布的密度函數(shù)的曲線是鐘形對稱曲線，對稱軸為直線x=m，y=0是它的水平漸近線。連續(xù)型例題例1設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的泊松分布，則PX=EX2= .解：因?yàn)閄 服從參數(shù)為1的泊松分布，所以 EX2=DX+ (EX)2=1+12=2， 于是 PX=EX2=PX=2=e 1 例2設(shè)一設(shè)備開機(jī)后無故障工作的時(shí)間X服從指數(shù)分布，平均無故障工作的時(shí)間EX為5小時(shí)。設(shè)備定時(shí)開機(jī)，出現(xiàn)故障時(shí)自動(dòng)關(guān)機(jī)，而在無故障的情況下

21、工作2小時(shí)便關(guān)機(jī)。試求該設(shè)備每次開機(jī)無故障的時(shí)間Y的分布函數(shù) F(y)。解: XE(l), 因?yàn)镋X=1/l=5 Þ l=1/5, 每次開機(jī)無故障的時(shí)間Y=minX,2,易見當(dāng)y<0 時(shí)，F(xiàn)(y)=0；當(dāng)y³2時(shí)，F(xiàn)(y)=1；當(dāng)0£y<2時(shí)，F(xiàn)(y)=PY£y=P minX,2£y=PX£y=1-e-y/5。所以Y的分布函數(shù) F(y)= 隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布1離散型的求法設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為： ,則X的函數(shù)Y=g(X)的分布律為：, 當(dāng)g(xj)有相同情況時(shí)，概率為相應(yīng)之和。2連續(xù)型的公式法：設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)

22、變量，其密度函數(shù)為fX(x)，設(shè)g(x)是一嚴(yán)格單調(diào)的可導(dǎo)函數(shù)，其值域a,b，且g¢(x)¹0，記x=h(y)為y=g(x)的反函數(shù)，則Y=g(X)的密度函數(shù)為fY(y)=3連續(xù)型的直接變換法(分布函數(shù)法)：FY(y)=PY£y= Pg(x)£y= PXÎS，其中S=x|g(x)£y，然后再把FY(y)對y求導(dǎo)，即得fY(y)fY(y)=隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布的例題例1設(shè)X的分布律為：，求Y=(X-1)2的分布律。解：先由X的值確定Y的值，得到，將Y的值相同的X的概率合在一起，得到Y(jié)的分布律。例2設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為FX(x)，

23、求隨機(jī)變量Y=3X+2的分布函數(shù)FY(y).解：FY(y)=PY£y= P3X+2£y= PX£= FX() 例3設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為fX(x)= ,求隨機(jī)變量Y=3X+2的密度函數(shù)fY(y).解：用公式法：設(shè)y=g(x)=3x+2, y=g(x)的反函數(shù)為x=h(y)= , -1<<1Þ -1<y<5, |h¢(y)|= 則Y=g(X)的密度函數(shù)為fY(y)= = 例4設(shè)X在區(qū)間0,2上服從均勻分布，試求Y=X3的概率密度。解：因XU0,2，所以 fX(x)= 。 用分布函數(shù)法分段討論：當(dāng)y<0時(shí), FY(y

24、)=PY£y= PX3£y= 0，當(dāng)0<y<8時(shí), FY(y)=PY£y= PX3£y= PX£=òdx，fY(y)= F¢Y(y)= (y)= ,當(dāng)y³8時(shí), FY(y)=PY£y= PX3£y= PX£=òdx =1，fY(y)= F¢Y(y)= 0. fY(y)= 第三章 多維隨機(jī)變量及其概率分布二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)向量(x,h)的聯(lián)合分布函數(shù)指F(x,y)=Px£x,h£y0£F(x,y)£1 ; F(-,

25、+)= F(x,-)= F(-,y)=0; F(+,+)=1; Px1x£x2,y1<h£y2=F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2)+F(x1,y1)二維隨機(jī)向量(x,h)的邊緣分布函數(shù)Fx(x)= Px£x=F(x,+), Fh(y)= Ph£y=F(+,y)二維離散隨機(jī)變量二維離散型隨機(jī)變量及其概率分布 Px=xi,h=yj=pij , 其中 pij=1 且 pij³0 可用一個(gè)分布列表或分布列矩陣 (pij) 來表示x的邊緣分布列為 Px=xi=pij = pi*h的邊緣分布列為 Ph=yj=pij = p*j例

26、1設(shè)二維隨機(jī)向量（x,h）的聯(lián)合分布律為hx1211/61/321/4a則常數(shù)a= （ ）A、1/6 B、1/4 C、1/3 D、1/2答案：pij=1 所以 a=1/4 , 選B. 二維連續(xù)隨機(jī)變量二維連續(xù)型隨機(jī)向量(x,h)的分布函數(shù)F(x,y)= òòp(u,v)dudv p(x,y) 稱為隨機(jī)向量(x,h)的聯(lián)合密度函數(shù)p(x,y)³0, òòp(x,y)dxdy=1 , =p(x,y)利用密度函數(shù)求概率 P(x,h)ÎD=二維連續(xù)型隨機(jī)向量(x,h)的邊緣分布, px(x)，ph(y) 稱為邊緣密度函數(shù)px(x)= 

27、2;p(x,y)dy ph(y)= òp(x,y)dx條件分布離散型：在條件Y=yj下隨機(jī)變量X的條件概率分布為PX=xi|Y=yj= = , i=1,2,連續(xù)型：在條件Y=y下隨機(jī)變量X的條件分布函數(shù)FX|Y(x|y)與條件概率密度函數(shù)fX|Y(x|y)分別為：FX|Y(x|y)= fX|Y(x|y) = 例1：設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間 (0,1)上服從均勻分布，在X=x (0<x<1)的條件下，隨機(jī)變量Y在區(qū)間(0,x)上服從均勻分布，求：隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度；解：X的概率密度為 fX(x)= ，在X=x (0<x<1)的條件下，Y的條件概率密度為fY|

28、X(y|x)= 當(dāng) 0<y<x<1時(shí)，隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度為 f(x,y)=fX(x)fY|X(y|x) = 1/x在其它點(diǎn) (x,y)處，有 f(x,y) =0，即X和Y的聯(lián)合概率密度為f(x,y) = 例2：設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，X概率分布為PX=i=1/3 (i=-1, 0 1)，概率密度為fY(y)= ，記Z=X+Y， 求PZ£1/2 | X=0。解：(1) PZ£|X=0= PX+Y£|X=0= PY£=ò1dy= . 二元正態(tài)分布二元正態(tài)分布N(m1,m2,s12,s22,r)的密度函數(shù)p(x,y)=

29、exp- - + 二元正態(tài)分布N(m1,m2,s12,s22,r)的邊緣密度分布仍是正態(tài)分布 xN(m1,s12) , hN(m2,s22)邊緣概率密度為 fX(x)= e, fY(y)= e二元均勻分布(X,Y)在區(qū)域D上服從均勻分布¾設(shè)D是xOy面上的有界區(qū)域，其面積為A。如果二維隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度 f(x,y)= ，則稱(X,Y)在區(qū)域D上服從均勻分布。例1:設(shè) (X,Y) 服從區(qū)域D：(x, y)：axb, cyd上的均勻分布，求（1）(X,Y) 的聯(lián)合概率密度p(x, y)； （2）X, Y 的邊際概率密度 pX(x) , pY(y) ;解：(1) f(x,y)

30、= ;(2) pX(x)= òp(x,y)dy =, pY(y)= òp(x,y)dx=例1設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)F(x,y)=A(B+arctan)(C+arctan)。試求：(1)常數(shù)A,B,C；(2) (X,Y)的概率密度。解：由分布函數(shù)性質(zhì)，得到F(+,+)=A(B+)(C+), F(x,-)=A(B+arctan)(C-)=0, F(-,y)=A(B-)(C+arctan)=0, 解得 A=, B=C= . 即F(x,y)= (+arctan)(+arctan)。(2) f(x,y) = = . 例2: 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間0,3上的

31、均勻分布，求PmaxX,Y£1。.解：PmaxX,Y£1=PX£1且Y£1，因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立，所以PX£1且Y£1= PX£1PY£1=´= 。（這里PX£1=òdx= ） 例3:設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y) = 求：(1) (X,Y) 的邊緣概率密度fX(x), fY(y)；(2) Z=2X-Y的概率密度 fZ(z) 。解：(1) fX(x)= òf(x,y)dyò1dy= 2x, 所以邊緣概率密度fX(x)= fY(y)= òf(

32、x,y)dxò1dx= 1-y, 所以邊緣概率密度fY(y)= (2) FZ(z)=P2x-y£z=1-=1-òdxò1dy =1-ò(2x-z)dx= z - 得到FZ(z)= ，所以Z的概率密度 fZ(z)=FZ¢(z)= 例4設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為 f(x,y)= 求(1)常數(shù)C; (2)PX+Y³1;(3)聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y).解：(1)由的概率密度性質(zhì)得到1=òòf(x,y)dxdy=òò(x2+cxy)dxdy=+c Þ c= ;(2)PX+Y&

33、#179;1=òdxò(x2+)dy=ò(x3+x2+x)dx = (3) 當(dāng)x<0或y<0時(shí)，F(xiàn)(x,y)= òòp(u,v)dudv=0;當(dāng)0£x1, 0£y<2時(shí)，F(xiàn)(x,y)= òòp(u,v)dudv=òò(u2+)dudv=+;當(dāng)0£x1, y³2時(shí)，F(xiàn)(x,y)= òòp(u,v)dudv=òò(u2+)dudv=+; 當(dāng)x³1, 0£y<2時(shí)，F(xiàn)(x,y)= 

34、2;òp(u,v)dudv=òò(u2+)dudv=+;當(dāng)x³1, y³2時(shí)，F(xiàn)(x,y)= òòp(u,v)dudv=1綜上所述F(x,y)= 獨(dú)立性若F(x,y)=Fx(x)Fh(y)，則稱隨機(jī)變量x與h相互獨(dú)立。幾個(gè)充要條件：連續(xù)型隨機(jī)變量x與h相互獨(dú)立Û p(x,y)=px(x)ph(y) 離散型隨機(jī)變量x與h相互獨(dú)立Û pij=pipj 二元正態(tài)分布N(m1,s12,m2,s22,r) 隨機(jī)變量x與h相互獨(dú)立Ûr=0。X與Y相互獨(dú)立Þf(X)與g(Y)也相互獨(dú)立。例：袋中有2

35、只白球，3只黑球,現(xiàn)進(jìn)行無放回地摸球，定義：x = h= 求:(1)（x，h）的聯(lián)合分布；（2）x，h 的邊際分布；（3）x，h 是否相互獨(dú)立？解:(x,h)的聯(lián)合分布與邊際分布為x h01px03/103/106/1013/101/104/10ph6/104/10因?yàn)閜(0,0)=3/10¹px(0)ph(0)=9/25所以x與h不獨(dú)立。 例2：設(shè)A, B是二隨機(jī)事件；隨機(jī)變量 X= Y=試證明隨機(jī)變量X和Y不相關(guān)的充分必要條件是A與B相互獨(dú)立。例3設(shè)(X,Y)的概率密度為，f(x,y)= , 求：關(guān)于X及關(guān)于Y的邊緣概率密度，并判斷X與Y是否相互獨(dú)立。解：關(guān)于X的邊緣概率密度fX

36、(x)= òf(x,y)dy, 當(dāng)0£x£1時(shí)，fX(x)= ò8xydy=4x3, 當(dāng)x<0或x>1時(shí)，fX(x)=0; 所以 fX(x)= 。同理當(dāng)0£y£1時(shí)，fY(y)= ò8xydx=4y(1-y2), 其它情況fY(y)=0, 所以關(guān)于Y的邊緣概率密度fY(y)= . 因?yàn)楫?dāng)0£x£1, 0£y£1時(shí)，f(x,y)¹ fX(x)fY(y)，所以X與Y不獨(dú)立。兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布幾條結(jié)論：1. XP(l1), YP(l2), 若X與Y相互獨(dú)立，則X+

37、YP(l1+l2);2. XN(m1,s12), Y N(m2,s22), X與Y相互獨(dú)立，則X+Y N(m1+m2,s12+s22);3.(卷積公式)設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x,y)，關(guān)于X,Y的邊緣概率密度分別為fX(x), fY(y)，設(shè)X與Y相互獨(dú)立，則Z=X+Y的概率密度為 fZ(z)= òfX(x)fY(z-x)dx=òf(x, z-x)dx 或fZ(z)= òfX(z-y)fY(y)dy=òf(z-y, y)dy.例1:已知的聯(lián)合概率分布為 , 求(1)X+Y的概率分布；(2)XY的概率分布。解：令Z1=X+Y，則

38、Z1的加法表為,令Z2=XY，則Z2的乘法表為,(1) Z1的分布律為, 即(2) Z2的分布律為, 即 例2:設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，且都服從0,1上的均勻分布，求X+Y的概率密度。解：XU0,1, YU0,1, 所以Z=X+Y在有效區(qū)間0,2上取值。利用卷積公式得到fZ(z)= òfX(x)fY(z-x)dx。 積分變量的有效區(qū)域?yàn)?0£x£1, 0£z-x£1 Û 0£x£z, z-1£x£1.當(dāng)0£z£1時(shí)，fZ(z)= ò1´1dx=z; 當(dāng)1

39、<z£2時(shí)，fZ(z)= ò1´1dx=2-z;當(dāng)?shù)钠溆嗳≈禃r(shí)，fZ(z)=0。所以Z的概率密度fZ(z)= 多維隨機(jī)變量n維隨機(jī)變量(X1,X2,Xn)的分布函數(shù)F(x1,x2,xn)=PX1£x1, X2£x2,Xn£xn.如果X1,X2,Xn相互獨(dú)立，且每個(gè)XiN(mi,si2), 則X=a1X1+a2X2+anXn N(, )如果X1,X2,Xn相互獨(dú)立，Xj的分布函數(shù)為FXj(xj)，則M=maxX1,X2,Xn的分布函數(shù)為 Fmax(z)=FX1(x1)FX2(x2) FXn(x1n)， 則m=minX1,X2,Xn

40、 的分布函數(shù)為 Fmin(z)=1- (1-FX1(x1)(1-FX2(x2) (1-FXn(x1n)第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望1. 隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義離散型 E(x)= E(g(x)= 連續(xù)型E(x)=ò xp(x)dx E(g(x)=ò g(x)p(x)dx 2. 二維隨機(jī)變量(X,Y)的數(shù)學(xué)期望：離散型 E(X)=*=xipij E(Y)= yjp*j=yipij 連續(xù)型E(X)=ò xfX(x)dx=ò ò xf(x,y)dxdyE(Y)=ò yfY(y)dy=ò ò yf(x,y)dxdy3.

41、 二維隨機(jī)變量X的函數(shù)Y=g(X)的數(shù)學(xué)期望：Eg(X,Y)= g(xi,yj)pij Eg(X,Y)= ò ò g(x,y)f(x,y)dxdy 4. 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)E(c)=c , E(ax)=ax , E(x±h)=Ex±Eh若x與h相互獨(dú)立，則 E(xh)=ExEh例1：設(shè)x的密度函數(shù)p(x) = 求：Ex解1=ò p(x)dx c=3/2;Ex=ò xp(x)dx=ò xdx=lnx=ln3. 例2設(shè) x1，x2 是隨機(jī)變量 x 的兩個(gè)任意取值，證明：E(x - )2 ³ Dx 。證：E(x - )2=E

42、x2-x(x1+x2)+ ()2= Ex2-(Ex)(x1+x2)+ ()2- (Ex)2+(Ex)2=Dx+(Ex)2- (Ex)(x1+x2)+ ()2=Dx +(Ex - )2³Dx . 例3設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為fX(x)= e- |x| ,-<x<+, 求D(X).解：E(X)= ò xfX(x)dx=ò x e- |x| dx=0(奇函數(shù)，對稱區(qū)間上的積分)E(X2)= ò x2fX(x)dx=ò x2 e- |x| dx =´2ò x2 e- - x dx =G(3)=2(偶函數(shù)，對稱區(qū)間上的積分)

43、 所以D(X)= EX2 (EX)2=2. 例4設(shè)(X,Y)的協(xié)方差矩陣為C=，求X與Y的相關(guān)系數(shù)rXY 。解：由協(xié)方差矩陣得到：D(X)=cov(X,X)=4,D(Y)=cov(Y,Y)=9, Cov(X,Y)= -3rXY= = = - 方差1.隨機(jī)變量方差的定義¾¾- D(X)=EX-E(X)2 = EX2 (EX)2 D(X)= ò x-E(X)2 f(x)dx2.方差性質(zhì)：D(c)=0 , D(ax)=a2x , D(ax+b)=a2Dx , D(x±h)=Dx+Dh±2cov(x,h)若x與h相互獨(dú)立，則 D(x±h)=D

44、x+Dh協(xié)方差1.x與h的協(xié)方差cov(x,h)=E(x-Ex)(h-Eh) (或?yàn)閟xh)2.協(xié)方差的性質(zhì)：cov(x,x)= Dxcov(x,h)=cov(h,x), cov(x,c)=0cov(ax,bh)=ab cov(x,h) , cov(x,h±z)=cov(x,h)±cov(x,z)3.協(xié)方差矩陣：設(shè)n維隨機(jī)變量X1,X2,Xn, 記cij=cov(Xi,Xj)，則稱階矩陣C=(cij)n´n為X1,X2,Xn的協(xié)方差矩陣相關(guān)系數(shù)x與h的相關(guān)系數(shù)rxh的定義 rxh=相關(guān)系數(shù)rxh反映了隨機(jī)變量x與h之間的線性相關(guān)的程度。注意|rxh|£1

45、。當(dāng)rxh=0，則稱x與h不相關(guān)；當(dāng)|rxh|=1，則稱x與h完全相關(guān)幾個(gè)結(jié)論： rxh=0 Û cov(x,h)=0 Û E(xh)=ExEh Û D(x+h)=Dx+DhÛ D(x-h)=Dx+Dh注意隨機(jī)變量x與h相互獨(dú)立，則x與h不相關(guān)；反之x與h不相關(guān)，不能推出x與h相互獨(dú)立。例5設(shè)X與Y相互獨(dú)立且都服從N(0,s2)，若x=aX+bY, h=aX-bY, 證明：x與h的相關(guān)系數(shù)，rxh= 。證：cov(x,h)=cov(aX+bY,aX-bY)=a2cov(X,X) b2cov(Y,Y) = a2DX b2DY=(a2 b2)s2 。 又因?yàn)?/p>

46、Dx=D(aX+bY)=a2DX+b2DY=(a2 + b2)s2Dh=D(aX - bY)=a2DX+b2DY=(a2 + b2)s2所以：rxh= = = 其他k階原點(diǎn)矩：E(Xk) k=1,2,。 k+s階混合原點(diǎn)矩：E(XkYs) k,s =1,2,k階中心矩：E(X-EX)k k=1,2,。 k+s階混合階中心矩：E(X-EX)k(E-EY)s k,s=1,2,協(xié)方差矩陣：C=(cij)n´x 其中cij=E(Xi-EXi)( Xj-EXj)分布分布列和概率密度數(shù)學(xué)期望方差分布(0,1)Px=0=p, Px=1=1-ppp(1-p)二項(xiàng)分布B(n,p)b(k；n,p)= P

47、x=k= Cpk(1-p)n-k (k=0,1,2,3,n)npnp(1-p)泊松分布P(l)Px=k= e-l k=0,1,2, l>0ll均勻分布Ua,bp(x)=幾何分布XGe(p)分布列為 PX=k= (1-p)k-1p (k=0,1,2,3,) 超幾何分布X h(n,N,M)PX=k= k=0,1,2,3, minM,n指數(shù)分布exp(l)p(x)=正態(tài)分布N(m,s2)p(x)= e (-<x<+)ms2二維正態(tài)分布N(m1,s12,m2,s22,r)p(x,y)= exp- - + Ex=m1Eh=m2Dx=s12Dh=s22第五章 大數(shù)定律及中心極限定理切比雪

48、夫不等式切比雪夫不等式：P|x-Ex|³e£ , P|x-Ex|<e³ 1 - 例1：設(shè)隨機(jī)變量x1, x2, x3，獨(dú)立同分布，且xi服從參數(shù)為l的指數(shù)分布，i=1,2,3，試根據(jù)切比雪夫不等式證明：P0<x1+x2+x3<6/l2/3 .證：xiexp(l), ExI=1/l; 令X=x1+x2+x3 ,則EX=E(x1+x2+x3)=3/l，DX=D(x1+x2+x3)=3/l2.P0<x1+x2+x3<6/l= P0<X<6/l= P-3/l<X-3/l<3/l= P|X-3/l|<3/l

49、9;1 - = 1- = 1- = 例2：已知隨機(jī)變量X的期望E(X)=100，方差D(X)=10，估計(jì)X落在(80,120)內(nèi)的概率。解：P80<X<120= P-20<X-100<20= P|X-E(X)|<20³ 1 - = 1 - = 0.975. 大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定理：設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,Xn相互獨(dú)立，分別具有數(shù)學(xué)期望與方差，且方差一致有上界，則對任意給定正數(shù)e，恒有P| | <e= 1。伯努利大數(shù)定理：設(shè)nA是在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對任意給定正數(shù)e，恒有P| - p|<e=

50、 1 (或 P| - p| ³e= 0)辛欽大數(shù)定理：設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,Xn,相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有數(shù)學(xué)期望EXk=m，則對任意給定正數(shù)e，恒有P| m | <e= 1中心極限定理棣莫弗(Demoiver)-拉普拉斯(Laplace)定理：設(shè)隨機(jī)變量Yn (n=1,2,3,)服從參數(shù)為n, p的二項(xiàng)分布，即YnB(n,p)，則對任意實(shí)數(shù)x，恒有 P£x= F(x) = òedt ®òedt這一定理說明，服從二項(xiàng)分布B(n,p)的隨機(jī)變量Yn作標(biāo)準(zhǔn)化后的隨機(jī)變量的極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)。中心極限定理(林德貝格-勒維)：設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,Xn,相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有數(shù)學(xué)期望EXk=m，和方差D(Xk)=s2¹0，隨機(jī)變量Yn=(-nm)/s 的分布函數(shù)為 Fn(x)，則對任意實(shí)數(shù)x，恒有 Fn(x)= PYn£x= F(x) = òedt這一定理說明，的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量Yn=(-nm)/s