隨機變量及其分布考點總結

1、第二章 隨機變量及其分布 復習一、隨機變量.1. 隨機試驗的結構應該是不確定的.試驗如果滿足下述條件：試驗可以在相同的情形下重復進行；試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些結果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結果.它就被稱為一個隨機試驗.2. 離散型隨機變量：如果對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.若是一個隨機變量，a，b是常數(shù).則也是一個隨機變量.一般地，若是隨機變量，是連續(xù)函數(shù)或單調函數(shù)，則也是隨機變量.也就是說，隨機變量的某些函數(shù)也是隨機變量.3、分布列：設離散型隨機變量可能取的值為：取

2、每一個值的概率，則表稱為隨機變量的概率分布，簡稱的分布列.P有性質； .注意：若隨機變量可以取某一區(qū)間內的一切值，這樣的變量叫做連續(xù)型隨機變量.例如：即可以取05之間的一切數(shù)，包括整數(shù)、小數(shù)、無理數(shù).典型例題：1、隨機變量的分布列為則2、袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取兩個球都是白球的概率為，現(xiàn)在甲乙兩人從袋中輪流摸去一球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時終止，用表示取球的次數(shù)。（1）求的分布列（2）求甲取到白球的的概率3、5封不同的信，放入三個不同的信箱，且每封信投入每個信箱的機會均等，X表示三哥信箱中放有信件樹木的最大值，求X的分布列。4、為了解某班學生

3、喜愛打籃球是否與性別有關，對本班50人進行了問卷調查得到了如下的列聯(lián)表：喜愛打籃球不喜愛打籃球合計男生5女生10合計已知在全部50人中隨機抽取1人抽到喜愛打籃球的學生的概率為（1）請將上面的列聯(lián)表補充完整；（2）是否有99.5的把握認為喜愛打籃球與性別有關？說明你的理由；（3）已知喜愛打籃球的10位女生中，還喜歡打羽毛球，還喜歡打乒乓球，還喜歡踢足球，現(xiàn)再從喜歡打羽毛球、喜歡打乒乓球、喜歡踢足球的女生中各選出1名進行其他方面的調查，求和不全被選中的概率下面的臨界值表供參考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87

4、910.828 (參考公式：，其中)二、幾種常見概率1、條件概率與事件的獨立性 （1）B|A與AB的區(qū)別：_ （2）P(B|A)的計算公式_,注意分子分母事件的性質相同 （3）P(AB)的計算公式_ 注意三點：前提，目標，一般情況_ （4）P（A+B）的計算公式_注意三點：前提，目標，一般情況_典型例題：1、市場上供應的燈泡，甲廠產品占70%，乙廠產品占30%，甲廠產品的合格率是95%，乙廠產品的合格率80%，則從市場上買到一個是甲廠產的合格品的概率是多少？2、把一副撲克52張隨即均分給趙錢孫李四家，A=趙家得到六章草花，B=孫家得到3張草花，計算P(B|A)，P(AB)3、從混有5張假鈔的2

5、0張百元鈔票中任取兩張，將其中1張在驗鈔機上檢驗發(fā)現(xiàn)是假鈔，求兩張都是假鈔的概率。4、有外形相同的球分裝在三個盒子，每個盒子10個，其中第一個盒子7球標有字母A，3個球標有字母B；第二個盒子中五個紅球五個白球；第三個盒子八個紅球，兩個白球；在如下規(guī)則下：先在第一個盒子取一個球，若是A球，則在第二個盒子取球；如果第一次取出的是B球，則在第三個盒子中取球，如果第二次取出的球是紅球，則稱試驗成功，求試驗成功的概率。5、在圖所示的電路中，5只箱子表示保險匣，箱中所示數(shù)值表示通電時保險絲被切斷的概率，當開關合上時，電路暢通的概率是_6、甲、乙二射擊運動員分別對一目標射擊次，甲射中的概率為，乙射中的概率為

6、，求：（1）人都射中目標的概率； （2）人中恰有人射中目標的概率；（3）人至少有人射中目標的概率； （4）人至多有人射中目標的概率？三、幾種分布1. 獨立重復試驗與二項分布：如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是：其中 于是得到隨機變量的概率分布如下：我們稱這樣的隨機變量服從二項分布，記作B（np），其中n，p為參數(shù)，并記.二項分布的判斷與應用.二項分布，實際是對n次獨立重復試驗.關鍵是看某一事件是否是進行n次獨立重復，且每次試驗只有兩種結果，如果不滿足此兩條件，隨機變量就不服從二項分布.當隨機變量的總體很大且抽取的樣本容量相對于總體來說又比

7、較小，而每次抽取時又只有兩種試驗結果，此時可以把它看作獨立重復試驗，利用二項分布求其分布列.2. 幾何分布：“”表示在第k次獨立重復試驗時，事件第一次發(fā)生，如果把k次試驗時事件A發(fā)生記為，事A不發(fā)生記為，那么.根據(jù)相互獨立事件的概率乘法分式：于是得到隨機變量的概率分布列.123kPq qp 我們稱服從幾何分布，并記，其中3. 超幾何分布：一批產品共有N件，其中有M（MN）件次品，今抽取件，則其中的次品數(shù)是一離散型隨機變量，分布列為.分子是從M件次品中取k件，從N-M件正品中取n-k件的取法數(shù)，如果規(guī)定時，則k的范圍可以寫為k=0，1，n.超幾何分布的另一種形式：一批產品由 a件次品、b件正品組

8、成，今抽取n件（1na+b），則次品數(shù)的分布列為.超幾何分布與二項分布的關系.設一批產品由a件次品、b件正品組成，不放回抽取n件時，其中次品數(shù)服從超幾何分布.若放回式抽取，則其中次品數(shù)的分布列可如下求得：把個產品編號，則抽取n次共有個可能結果，等可能：含個結果，故，即.我們先為k個次品選定位置，共種選法；然后每個次品位置有a種選法，每個正品位置有b種選法 可以證明：當產品總數(shù)很大而抽取個數(shù)不多時，因此二項分布可作為超幾何分布的近似，無放回抽樣可近似看作放回抽樣.典型例題：1、某氣象站天氣預報的準確率為，計算（結果保留兩個有效數(shù)字）：（1）5次預報中恰有4次準確的概率；（2）5次預報中至少有4次

9、準確的概率2、在一個圓錐體的培養(yǎng)房內培養(yǎng)了40只蜜蜂，準備進行某種實驗，過圓錐高的中點有一個不計厚度且平行于圓錐底面的平面把培養(yǎng)房分成兩個實驗區(qū)，其中小錐體叫第一實驗區(qū)，圓臺體叫第二實驗區(qū)，且兩個實驗區(qū)是互通的。假設蜜蜂落入培養(yǎng)房內任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪個位置相互之間是不受影響的。（1）求蜜蜂落入第二實驗區(qū)的概率；（2）若其中有10只蜜蜂被染上了紅色，求恰有一只紅色蜜蜂落入第二實驗區(qū)的概率；（3）記為落入第一實驗區(qū)的蜜蜂數(shù)，求隨機變量的數(shù)學期望。3、A 、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗組進行對比試驗。每個試驗組由4只小白鼠組成，其中兩只服用A，兩只服用B，然后觀察療效。若在一個試驗組中，服用A有效的小白鼠只數(shù)比服用B有效的多，就稱該試驗組為甲類組。設每只小白鼠服用A有效的概率為2/3，服用B有效的概率為1/2.（