隨機過程考試試題及答案詳解1

1、隨機過程考試試題及答案詳解1、（15分）設(shè)隨機過程，為常數(shù)，服從區(qū)間上的均勻分布。（1）求的一維概率密度和一維分布函數(shù)；（2）求的均值函數(shù)、相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)?！纠碚摶A(chǔ)】（1），則為密度函數(shù)；（2）為上的均勻分布，概率密度函數(shù)，分布函數(shù)，；（3）參數(shù)為的指數(shù)分布，概率密度函數(shù)，分布函數(shù)，；（4）的正態(tài)分布，概率密度函數(shù)，分布函數(shù)，若時，其為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布?！窘獯稹勘绢}可參加課本習(xí)題2.1及2.2題。（1）因為上的均勻分布，為常數(shù)，故亦為均勻分布。由的取值范圍可知，為上的均勻分布，因此其一維概率密度，一維分布函數(shù)；（2）根據(jù)相關(guān)定義，均值函數(shù)；相關(guān)函數(shù)；協(xié)方差函數(shù)（當(dāng)時為方差函數(shù)）【注】；求概

2、率密度的通解公式2、（15分）設(shè)是參數(shù)為的維納過程，是正態(tài)分布隨機變量；且對任意的，與均獨立。令，求隨機過程的均值函數(shù)、相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。【解答】此題解法同1題。依題意，因此服從于正態(tài)分布。故：均值函數(shù)；相關(guān)函數(shù)；協(xié)方差函數(shù)（當(dāng)時為方差函數(shù)）3、（10分）設(shè)到達(dá)某商場的顧客人數(shù)是一個泊松過程，平均每小時有180人，即；且每個顧客的消費額是服從參數(shù)為的指數(shù)分布。求一天內(nèi)（8個小時）商場營業(yè)額的數(shù)學(xué)期望與方差。【解答】此題可參見課本習(xí)題3.10題。由題意可知，每個顧客的消費額是服從參數(shù)為的指數(shù)分布，由指數(shù)分布的性質(zhì)可知：，故，則由復(fù)合泊松過程的性質(zhì)可得：一天內(nèi)商場營業(yè)額的數(shù)學(xué)期望；一天內(nèi)商場營

3、業(yè)額的方差。4、（15分）設(shè)馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣為：（1）求兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣及當(dāng)初始分布為時，經(jīng)兩步轉(zhuǎn)移后處于狀態(tài)2的概率。（2）求馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布?！窘獯稹靠蓞⒖冀滩睦?.3題及4.16題（1）兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣當(dāng)初始分布為時，故經(jīng)兩步轉(zhuǎn)移后處于狀態(tài)2的概率為0.35。（2）因為馬爾可夫鏈?zhǔn)遣豢杉s的非周期有限狀態(tài)，所以平穩(wěn)分布存在。得如下方程組解上述方程組得平穩(wěn)分布為5、（15分）設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間，轉(zhuǎn)移概率矩陣為：求狀態(tài)的分類、各常返閉集的平穩(wěn)分布及各狀態(tài)的平均返回時間。【解答】此題比較綜合，可參加例4.13題和4.16題畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如下：42153（1）由上圖可知，狀態(tài)分類為

4、（2）由上圖及常返閉集定義可知，常返閉集有兩個，下面分別求其平穩(wěn)分布及各狀態(tài)的平均返回時間。A、對常返閉集而言，解方程組解上述方程組得平穩(wěn)分布為則各狀態(tài)的平均返回時間分別為B、對常返閉集而言，解方程組解上述方程組得平穩(wěn)分布為則各狀態(tài)的平均返回時間分別為6、（15分）設(shè)是參數(shù)為的泊松過程，計算?！窘獯稹?7、（15分）考慮一個從底層啟動上升的電梯。以記在第層進(jìn)入電梯的人數(shù)。假定相互獨立，且是均值為的泊松變量。在第層進(jìn)入的各個人相互獨立地以概率在第層離開電梯，。令在第層離開電梯的人數(shù)。（1）計算（2）的分布是什么（3）與的聯(lián)合分布是什么【解答】此題與本書聯(lián)系不大，據(jù)有關(guān)方面信息，此次考試此題不考。以記在第層乘上電梯，在第層離去的人數(shù)，則是均值為的泊松變量,且全部相互獨立。因此：(1) (2) 由泊松變量的性質(zhì)知，(3) 因，則，為期望。8、（15分）一質(zhì)點在1，2，3點上作隨機游動。若在時刻質(zhì)點位于這三個點之一，則在內(nèi)，它都以概率 分別轉(zhuǎn)移到其它兩點之一。試求質(zhì)點隨機游動的柯爾莫哥洛夫微分方程，轉(zhuǎn)移概率及平穩(wěn)分布?！窘獯稹繀?/p>