選修22211合情推理與演繹推理13課時教案

1、選修2-2 2.1 合情推理與演繹推理(3課時)第一課時 合情推理（一）教學要求：結合已學過的數(shù)學實例，了解歸納推理的含義，能利用歸納進行簡單的推理，體會并認識歸納推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用.教學重點：能利用歸納進行簡單的推理.教學難點：用歸納進行推理，作出猜想.教學過程：一、新課引入：1. 哥德巴赫猜想：觀察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, , 50=13+37, , 100=3+97，猜測：任一偶數(shù)（除去2，它本身是一素數(shù)）可以表示成兩個素數(shù)之和. 1742年寫信提出，歐拉及以后的數(shù)學

2、家無人能解，成為數(shù)學史上舉世聞名的猜想. 1973年，我國數(shù)學家陳景潤，證明了充分大的偶數(shù)可表示為一個素數(shù)與至多兩個素數(shù)乘積之和，數(shù)學上把它稱為“1+2”. 2. 費馬猜想：法國業(yè)余數(shù)學家之王費馬（1601-1665）在1640年通過對，的觀察，發(fā)現(xiàn)其結果都是素數(shù)，于是提出猜想：對所有的自然數(shù)，任何形如的數(shù)都是素數(shù). 后來瑞士數(shù)學家歐拉，發(fā)現(xiàn)不是素數(shù)，推翻費馬猜想.3. 四色猜想：1852年，畢業(yè)于英國倫敦大學的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家著上不同的顏色.”，四色猜想成了世界數(shù)學界關注的問題.197

3、6年，美國數(shù)學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上，用1200個小時，作了100億邏輯判斷，完成證明.二、講授新課：1. 教學概念： 概念：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理. 簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理. 歸納練習：(i)由銅、鐵、鋁、金、銀能導電，能歸納出什么結論？(ii)由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形內(nèi)角和180度，能歸納出什么結論？(iii)觀察等式：，能得出怎樣的結論？ 討論：(i)統(tǒng)計學中，從總體中抽取樣本，然后用樣本估計總體，是否屬歸納推理

4、？(ii)歸納推理有何作用？ （發(fā)現(xiàn)新事實，獲得新結論，是做出科學發(fā)現(xiàn)的重要手段）(iii)歸納推理的結果是否正確？（不一定）2. 教學例題： 出示例題：已知數(shù)列的第1項，且，試歸納出通項公式.（分析思路：試值n=1，2，3，4 猜想 如何證明：將遞推公式變形，再構造新數(shù)列） 思考：證得某命題在nn時成立；又假設在nk時命題成立，再證明nk1時命題也成立. 由這兩步，可以歸納出什么結論？ （目的：滲透數(shù)學歸納法原理，即基礎、遞推關系） 練習：已知 ，推測的表達式.3. 小結：歸納推理的藥店：由部分到整體、由個別到一般；典型例子：哥德巴赫猜想的提出；數(shù)列通項公式的歸納.三、鞏固練習：1. 練習：

5、教材P87 1、2題. 2. 作業(yè)：教材P93 習題A組 1、2、3題.第二課時 合情推理（二）教學要求：結合已學過的數(shù)學實例，了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，體會并認識合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用.教學重點：了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理.教學難點：用歸納和類比進行推理，作出猜想.教學過程：一、復習準備：1. 練習：已知 ，考察下列式子：；. 我們可以歸納出，對也成立的類似不等式為 .2. 猜想數(shù)列的通項公式是 .3. 導入：魯班由帶齒的草發(fā)明鋸；人類仿照魚類外形及沉浮原理，發(fā)明潛水艇；地球上有生命，火星與地球有許多相似點，如都是繞太陽運行、擾軸自轉

6、的行星，有大氣層，也有季節(jié)變更，溫度也適合生物生存，科學家猜測：火星上有生命存在. 以上都是類比思維，即類比推理.二、講授新課：1. 教學概念： 概念：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理. 簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理. 類比練習：(i)圓有切線，切線與圓只交于一點，切點到圓心的距離等于半徑. 由此結論如何類比到球體？(ii)平面內(nèi)不共線的三點確定一個圓，由此結論如何類比得到空間的結論？(iii)由圓的一些特征，類比得到球體的相應特征. （教材P81 探究 填表） 小結：平面空間，圓球，線面. 討論：以平面向量為基礎學習空間向量，

7、試舉例其中的一些類比思維.2. 教學例題： 出示例1：類比實數(shù)的加法和乘法，列出它們相似的運算性質(zhì). （得到如下表格）類比角度實數(shù)的加法實數(shù)的乘法運算結果若則若則運算律逆運算加法的逆運算是減法，使得方程有唯一解乘法的逆運算是除法，使得方程有唯一解單位元 出示例2：類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想. 思維：直角三角形中，3條邊的長度，2條直角邊和1條斜邊；3個面兩兩垂直的四面體中，4個面的面積和3個“直角面”和1個“斜面”. 拓展：三角形到四面體的類比.3. 小結：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，

8、統(tǒng)稱為合情推理. 三、鞏固練習：1. 練習：教材P87 3題. 2. 探究：教材P84 例4 3.作業(yè)：P93 4、5題.第三課時 演繹推理教學要求：結合已學過的數(shù)學實例和生活中的實例，體會演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本方法，并能運用它們進行一些簡單的推理。.教學重點：了解演繹推理的含義，能利用“三段論”進行簡單的推理.教學難點：分析證明過程中包含的“三段論”形式.教學過程：一、復習準備：1. 練習： 對于任意正整數(shù)n，猜想（2n-1）與(n+1)2的大小關系？ 在平面內(nèi)，若，則. 類比到空間，你會得到什么結論？（結論：在空間中，若，則；或在空間中，若.2. 討論：以上推理屬于什么推理，

9、結論正確嗎？合情推理的結論不一定正確，有待進一步證明，有什么能使結論正確的推理形式呢？3. 導入： 所有的金屬都能夠?qū)щ?，銅是金屬，所以 ； 太陽系的大行星都以橢圓形軌道繞太陽運行，冥王星是太陽系的大行星，因此 ； 奇數(shù)都不能被2整除，2007是奇數(shù)，所以 . （填空討論：上述例子的推理形式與我們學過的合情推理一樣嗎？課題：演繹推理）二、講授新課：1. 教學概念： 概念：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結論，我們把這種推理稱為演繹推理。 要點：由一般到特殊的推理。 討論：演繹推理與合情推理有什么區(qū)別？合情推理；演繹推理：由一般到特殊. 提問：觀察教材P88引例，它們都由幾部分組成，各部

10、分有什么特點？所有的金屬都導電 銅是金屬 銅能導電已知的一般原理 特殊情況 根據(jù)原理，對特殊情況做出的判斷大前提 小前提 結論“三段論”是演繹推理的一般模式：第一段：大前提已知的一般原理；第二段：小前提所研究的特殊情況；第三段：結論根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷. 舉例：舉出一些用“三段論”推理的例子.2. 教學例題： 出示例1：證明函數(shù)在上是增函數(shù). 板演：證明方法（定義法、導數(shù)法） 指出：大前題、小前題、結論. 出示例2：在銳角三角形ABC中，D，E是垂足. 求證：AB的中點M到D，E的距離相等. 分析：證明思路 板演：證明過程 指出：大前題、小前題、結論. 討論：因為指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，是指數(shù)函數(shù)，則結論是什么？（結論指出：大前提、小前提 討論：結論是否正確，為什么？） 討論：演