阿依提拉汗哈力克數(shù)學(xué)073班1

1、 2012屆本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 題目：傅里葉級(jí)數(shù)的討論學(xué) 院：數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 專業(yè)班級(jí)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)07-3班學(xué)生姓名：阿依提拉汗.哈力克指導(dǎo)教師：馬哈提老師 答辯日期：2012年5月3日 目 錄引言31 傅里葉級(jí)數(shù)的來源32 傅里葉級(jí)數(shù)32.1 三角級(jí)數(shù)，正交函數(shù)32.2 以為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)42.3 以為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)42.4 偶函數(shù)與奇函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)43 基本理論43.1 收斂性定理43.2 黎曼引理53.3 傅里葉級(jí)數(shù)部分和的積分表達(dá)式54 求函數(shù)的傅里葉展開式的一般方法54.1 設(shè)為（或上按段光滑的函數(shù)54.2 設(shè)為（-或上按段光滑的函數(shù)54.3 求偶函數(shù)、奇函數(shù)（

2、或把定義在半個(gè)周期上的函數(shù)）展開成余弦級(jí)數(shù)、正弦級(jí)數(shù)的方法64.4 利用已知函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式求某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和數(shù)的方法65 傅里葉級(jí)數(shù)的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)65.1 傅里葉級(jí)數(shù)的優(yōu)點(diǎn)65.2 傅里葉級(jí)數(shù)的缺點(diǎn)66 在傅里葉級(jí)數(shù)中“平方均值偏差”的意義77 總結(jié)7參考文獻(xiàn)：8致謝9傅里葉級(jí)數(shù)的討論摘要：本篇文章主要講的是怎樣的函數(shù)可以展開成傅里葉級(jí)數(shù)、怎樣對(duì)函數(shù)進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開、傅里葉級(jí)數(shù)的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)、傅里葉級(jí)數(shù)的應(yīng)用。還有講傅里葉級(jí)數(shù)與別的級(jí)數(shù)的區(qū)別、若干個(gè)基本定理。本文證明了傅里葉級(jí)數(shù)展開式按正弦、余弦組合后在相加合法的合理性。還有周期函數(shù)在任何一個(gè)周期長度的區(qū)間上計(jì)算所得的傅里葉級(jí)數(shù)相同，因

3、此在應(yīng)用時(shí)，為了簡化計(jì)算我們應(yīng)選擇合適的積分區(qū)間。通過這篇論文，要掌握利用傅里葉級(jí)數(shù)討論函數(shù)的性質(zhì)，要掌握傅里葉級(jí)數(shù)與別的級(jí)數(shù)的區(qū)別和共同特點(diǎn)，還好掌握傅里葉級(jí)數(shù)的應(yīng)用.關(guān)鍵詞：傅里葉級(jí)數(shù)；展開式；三角級(jí)數(shù)；正交函數(shù)系；收斂引言有限區(qū)間函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開在數(shù)學(xué)課程中比較重要,對(duì)它掌握得好壞影響的對(duì)本征函數(shù)(傅里葉級(jí)數(shù))展開法求解定解問題的掌握和理解。通常教材對(duì)此間題并未作詳細(xì)的論述,但實(shí)際上教學(xué)效果表明,詳細(xì)討論此問題是有意義的。有限區(qū)間函數(shù)的延拓 一般而言,周期函數(shù)只要滿足狄利稀萊條件就可以展開為傅里葉級(jí)數(shù)。傅里葉級(jí)數(shù)正是研究這類函數(shù)的有力工具，它彌補(bǔ)了冪級(jí)數(shù)的局限性.1傅里葉級(jí)數(shù)的來源法

4、國數(shù)學(xué)家傅里葉發(fā)現(xiàn)，任何周期函數(shù)都可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)構(gòu)成的無窮級(jí)數(shù)來表示（選擇正弦函數(shù)與余弦函數(shù)作為基函數(shù)是因?yàn)樗麄兪钦坏模?，后時(shí)稱為傅里葉級(jí)數(shù)，一種特殊的三角級(jí)數(shù)。法國數(shù)學(xué)家傅里葉在研究偏微分方程邊值問題的提出，極大地推動(dòng)了偏微分方程理論的發(fā)展。在中國，程民德最早系統(tǒng)研究多元三角級(jí)數(shù)與多元傅里葉級(jí)數(shù)。傅里葉1807年向巴黎科學(xué)院呈交熱的傳播論文， 推導(dǎo)出著名的熱傳導(dǎo)方程 ，并在求解該方程時(shí)發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函數(shù)構(gòu)成的級(jí)數(shù)形式表示，從而提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無窮級(jí)數(shù)。傅立葉級(jí)數(shù)（即三角級(jí)數(shù)）、傅立葉分析等理論均由此創(chuàng)傅里葉變換的基本思想首先由傅里葉提出，所以以其名字來命名以

5、示紀(jì)念。2傅里葉級(jí)數(shù)2.1三角級(jí)數(shù)，正交函數(shù)系記則級(jí)數(shù)，它是由三角函數(shù)列 所產(chǎn)生的一般形式的三角級(jí)數(shù).若三角級(jí)數(shù)（1）收斂，則它的和一定是一個(gè)以為周期的函數(shù). 若在區(qū)間上可積，且，則稱函數(shù).具有正交性的函數(shù)系稱為正交函數(shù)系. 在上正交，稱為三角函數(shù)正交系.而由三角函數(shù)系所產(chǎn)生的形如 的級(jí)數(shù)稱為三角級(jí)數(shù).若級(jí)數(shù)收斂，則三角級(jí)數(shù)在整個(gè)數(shù)軸上絕對(duì)收斂且一致收斂.2.2以為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)是周期為的可積函數(shù)，計(jì)算積分稱其為函數(shù)關(guān)于三角函數(shù)系的傅里葉系數(shù).級(jí)數(shù)稱為函數(shù)關(guān)于三角函數(shù)系的傅里葉級(jí)數(shù)，記為 2.3以為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)是周期為的可積函數(shù).級(jí)數(shù) 其中 （ （稱為函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)，稱

6、為傅里葉系數(shù).2.4偶函數(shù)與奇函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)若是周期為的可積偶函數(shù)，可展開成為余弦級(jí)數(shù) 其中， （.若是周期為的可積奇函數(shù)，可展開成為正弦級(jí)數(shù) 其中 （3 基本理論3.1收斂性定理 若以為周期的函數(shù)在上按段光滑，則在每一點(diǎn)，的傅里葉級(jí)數(shù)收斂于在點(diǎn)的左、右極限的算術(shù)平均值，即 其中為在上的傅里葉系數(shù).3.2黎曼引理若函數(shù)在可積，則特別地：若函數(shù)可積，則 若函數(shù)可積，則例題：設(shè)將展開成以為周期的傅里葉級(jí)數(shù).解：依常規(guī)方法計(jì)算傅里葉級(jí)數(shù).故 3.3傅里葉級(jí)數(shù)部分和的積分表達(dá)式若函數(shù)是以為周期函數(shù)且在上可積，則它的傅里葉級(jí)數(shù) 分和可表示為 .當(dāng)時(shí)，被積函數(shù)中的不定式由極限來確定.4求函數(shù)的傅里葉展開

7、式的一般方法4.1設(shè)為（或上按段光滑的函數(shù)（1）把函數(shù)延拓成R上以為周期的函數(shù)；（2）求（3）寫出的傅里葉級(jí)數(shù)及其在一個(gè)周期上的和函數(shù)（注意在的不連續(xù)點(diǎn)處及端點(diǎn)處的和函數(shù)值）.4.2設(shè)為（-或上按段光滑的函數(shù)（1）把函數(shù)延拓成R上以為周期的函數(shù)；（2）求出相應(yīng)的（3）寫出的傅里葉級(jí)數(shù)及其在一周上和函數(shù)（注意在的不連續(xù)點(diǎn)處及端點(diǎn)處的和函數(shù)值）.4.3求偶函數(shù)、奇函數(shù)（或把定義在半個(gè)周期上的函數(shù)）展開成余弦級(jí)數(shù)、正弦級(jí)數(shù)的方法（1）先把延拓成上的偶函數(shù)（或奇函數(shù)），再把延拓成R上以為周期的函數(shù)且仍為偶函數(shù)（或奇函數(shù)）.（2）求出相應(yīng)的（3）寫出的傅里葉級(jí)數(shù)及其在半個(gè)周期的和函數(shù)（注意在的不連續(xù)點(diǎn)處

8、及端點(diǎn)處和函數(shù)的值）.4.4利用已知函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式求某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和數(shù)的方法（1）取某函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)在某點(diǎn)處的值；（2）利用數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和、差、數(shù)乘運(yùn)算. 5傅里葉級(jí)數(shù)的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)5.1傅里葉級(jí)數(shù)的優(yōu)點(diǎn)（1）對(duì)能展開成傅里葉級(jí)數(shù)的函數(shù)要求比較低.根據(jù)收斂性定理，當(dāng)函數(shù)是以為周期，并在上逐段光滑（包括有有限個(gè)第一類不連續(xù)的函數(shù)）時(shí)，就可以展開成傅里葉級(jí)數(shù)，適用的范圍很廣.對(duì)研究函數(shù)它是比冪級(jí)數(shù)更有力的工具.（2）我們知道，有許多有用的周期函數(shù)是分段函數(shù)，即它在兩個(gè) 相鄰的區(qū)間上有不同的分析表達(dá)式，而它們?cè)赗上卻可用傅里葉級(jí)數(shù)統(tǒng)一表示，對(duì)研究這類函數(shù)的性質(zhì)更為重要.（3）對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)

9、積分要求很低,只須函數(shù)在上逐段連續(xù)即可，甚至它的傅里葉級(jí)數(shù)是否收斂于函數(shù)都可以不管.（4）借助于某些函數(shù)的傅里葉展開式，可求某些重要數(shù)值級(jí)數(shù)的和.（5）在傅里葉級(jí)數(shù)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步得到傅里葉積分和傅里葉變換.它們?cè)谄⒎址匠?、微分方程等課中是不可缺少的工具.5.2傅里葉級(jí)數(shù)的缺點(diǎn)（1）傅里葉級(jí)數(shù)的收斂域比較復(fù)雜.對(duì)比而言，冪級(jí)數(shù)的收斂域比較簡單.（2）將函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)，一般來說，求傅里葉系數(shù)都要進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算，相當(dāng)麻煩.（3）連續(xù)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)在某些點(diǎn)可能發(fā)散.因此，我們將函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)表為 而不寫等號(hào)“=”.為了使其收斂，即將“”改為“=”,僅連續(xù)還不夠，要求它逐段光滑. 6在傅里

10、葉級(jí)數(shù)中“平方均值偏差”的意義如果在區(qū)間上有兩個(gè)有界函數(shù)與.那么這兩個(gè)函數(shù)在的距離是什么意思呢？根據(jù)我們研究問題的不同需要，可用不同的方法定義它們的距離例如，定義 這樣定義的距離，若函數(shù)列在上收斂于函數(shù)，即有 則函數(shù)列在上必是一致收斂于函數(shù).用這種方法定義兩個(gè)函數(shù)的距離，要求很高，對(duì)某些問題的研究并不方便，也不必要.因此，經(jīng)常采用“平方均值偏差”，即 來定義兩個(gè)在上的距離.雖然，這樣定義的距離，兩個(gè)函數(shù)與在某點(diǎn)上的差 不一定很小，甚至可能很大，但是，只要平方均值偏差很小就滿足研究某些問題的精度要求.它在泛函分析與概率論等課程中有著廣泛的應(yīng)用.在傅里葉級(jí)數(shù)中，我們就是用平方均值偏差作為研究函數(shù)的

11、傅里葉級(jí)數(shù)的項(xiàng)的部分和與函數(shù)在上的距離，即或 .7總結(jié)我們知道，冪級(jí)數(shù)很類此于多項(xiàng)式，它是研究函數(shù)很理想的工具.但是，函數(shù)在某點(diǎn)鄰域內(nèi)能展成冪級(jí)數(shù)，要求函數(shù)在該點(diǎn)必須存在任意階導(dǎo)數(shù)，這對(duì)函數(shù)的要求太高了.因此，研究不連續(xù)函數(shù)或不可導(dǎo)函數(shù)，冪級(jí)數(shù)這個(gè)工具就無能為力了，而傅里葉級(jí)數(shù)正是研究這類函數(shù)的有力工具，它彌補(bǔ)了冪級(jí)數(shù)的局限性. 這篇論文主要講的是傅里葉級(jí)數(shù)的來源、關(guān)于傅里葉級(jí)數(shù)的基本理論、基本定理、傅里葉級(jí)數(shù)的應(yīng)用、傅里葉級(jí)數(shù)的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn).通過這篇論文，要掌握利用傅里葉級(jí)數(shù)討論函數(shù)的性質(zhì)，要掌握傅里葉級(jí)數(shù)與別的級(jí)數(shù)的區(qū)別和共同特點(diǎn)，還好掌握傅里葉級(jí)數(shù)的應(yīng)用.參考文獻(xiàn)：1數(shù)學(xué)分析講義學(xué)習(xí)輔導(dǎo)書

12、（第二版）高等教育出版社2數(shù)學(xué)分析內(nèi)容、方法與技巧 華中科技大學(xué)出版社3數(shù)學(xué)分析選講 廈門大學(xué)出版社4數(shù)學(xué)分析（第三版） 高等教育出版社附錄：見數(shù)學(xué)分析選講 2006年6月第一版第 421頁數(shù)學(xué)分析 下冊(cè) 第三版 高等教育出版社 第71頁見數(shù)學(xué)分析選講2006年6月第一版第422頁見數(shù)學(xué)分析選講2006年6月第一版第423頁致謝 大學(xué)五年很快就要結(jié)束了，在這寶貴的五年學(xué)習(xí)過程中，我認(rèn)識(shí)了數(shù)學(xué)系的各級(jí)領(lǐng)導(dǎo)，老師和我親愛的同學(xué)們，得到了他們熱心的幫助和關(guān)心，使我能夠順利的完成學(xué)業(yè)，同時(shí)我的道德修養(yǎng)在身邊優(yōu)秀的老師和同學(xué)的感染下得到了很大的提高，在此向他們表示我最衷心的感謝！感謝我的指導(dǎo)老師，感謝對(duì)我畢業(yè)論文的細(xì)心指