無限沖激響應(yīng)濾波器的頻率變換設(shè)計法

1、無限沖激響應(yīng)濾波器的頻率變換設(shè)計法無限沖激響應(yīng)濾波器的頻率變換設(shè)計法1 1、方法、方法 對于模擬濾波器對于模擬濾波器, ,已經(jīng)形成了許多成熟的設(shè)計方案，如巴特沃什濾波器已經(jīng)形成了許多成熟的設(shè)計方案，如巴特沃什濾波器, ,切比雪切比雪夫濾波器夫濾波器, ,橢圓濾波器橢圓濾波器, ,每種濾波器都有自己的一套準(zhǔn)確的計算公式，同時，也已制每種濾波器都有自己的一套準(zhǔn)確的計算公式，同時，也已制備了大量歸一化的設(shè)計表格和曲線，為濾波器的設(shè)計和計算提供了許多方便，因此備了大量歸一化的設(shè)計表格和曲線，為濾波器的設(shè)計和計算提供了許多方便，因此在模擬濾波器的設(shè)計中，只要掌握原型變換，就可以通過歸一化低通原型的參數(shù)，

2、在模擬濾波器的設(shè)計中，只要掌握原型變換，就可以通過歸一化低通原型的參數(shù)，去設(shè)計各種實際的低通、高通、帶通或帶阻濾波器。這一套成熟、有效的設(shè)計方法去設(shè)計各種實際的低通、高通、帶通或帶阻濾波器。這一套成熟、有效的設(shè)計方法，也可通過前面所討論的各種變換應(yīng)用于數(shù)字濾波器的設(shè)計，具體過程如下：，也可通過前面所討論的各種變換應(yīng)用于數(shù)字濾波器的設(shè)計，具體過程如下： 原型變換原型變換 映射變換映射變換 原型變換原型變換 在設(shè)計在設(shè)計HPHP和和BSBS時，不能用脈沖響應(yīng)不變法。時，不能用脈沖響應(yīng)不變法。模擬原型模擬低通、高通帶通、帶阻數(shù)字低通、高通帶通、帶阻模擬原型數(shù)字低通數(shù)字低通、高通帶通、帶阻也可把前兩步

3、合并成一步，直接從模擬低通歸一化原型通過一定的頻率變換也可把前兩步合并成一步，直接從模擬低通歸一化原型通過一定的頻率變換關(guān)系，完成各類數(shù)字濾波器的設(shè)計關(guān)系，完成各類數(shù)字濾波器的設(shè)計、數(shù)字頻率變換、數(shù)字頻率變換 為便于區(qū)分變換前后兩個不同的為便于區(qū)分變換前后兩個不同的Z Z平面，我們把平面，我們把變換前的變換前的 Z Z平面定義為平面定義為u u平面，并將這一映射關(guān)系用平面，并將這一映射關(guān)系用一個函數(shù)一個函數(shù)g g表示：表示：)(11zgu平面平面zuZHzHzgup)()()(11于是，于是，DFDF的原型變換可表為：的原型變換可表為：)(11)()(zgupuHzH)(1zg)(1zg1z)

4、(1zgjjee 和2 2）希望變換以后的傳遞函數(shù)保持穩(wěn)定性不變，因此要求）希望變換以后的傳遞函數(shù)保持穩(wěn)定性不變，因此要求 u u的單位圓內(nèi)部必須對應(yīng)于的單位圓內(nèi)部必須對應(yīng)于z z的單位圓內(nèi)部。的單位圓內(nèi)部。3 3） 必須是全通函數(shù)。必須是全通函數(shù)。 為使兩個函數(shù)的頻響滿足一定的變換要求，為使兩個函數(shù)的頻響滿足一定的變換要求，Z Z的單位的單位圓應(yīng)映射到圓應(yīng)映射到u u的單位圓上，若以的單位圓上，若以 分別表示分別表示u u平面平面和和Z Z平面的單位圓，則平面的單位圓，則函數(shù)函數(shù) 的特性：的特性：1) 1) 是是 的有理函數(shù)。的有理函數(shù)。)(jjjjeegege )(jeg1jeg 且必有且

5、必有 ，其中，其中 是是 的相位函數(shù)，的相位函數(shù)， 即函數(shù)在單位圓上的幅度必須恒為即函數(shù)在單位圓上的幅度必須恒為1 1，稱為全通函數(shù)。，稱為全通函數(shù)。全通函數(shù)的基本特性：全通函數(shù)的基本特性：Niiizzzg11*111)(任何全通函數(shù)都可以表示為：任何全通函數(shù)都可以表示為：為了使系統(tǒng)穩(wěn)定，式中為了使系統(tǒng)穩(wěn)定，式中|a|ai i|1| HP 。)( zH b. 高通變換高通變換）（21jjjeee或或, 00LP-HP變換把變換把cc如圖如圖2（a），）， 在上述在上述LP-LP 變換中，將變換中，將 Z代以代以Z , 得得 LP - HP變換關(guān)系：變換關(guān)系：）（11111111zzzzu 原型

6、低通的截止頻率原型低通的截止頻率 對應(yīng)于高通的邊界頻率對應(yīng)于高通的邊界頻率 ，欲將，欲將 變換到變換到 ，由（，由（2）式，）式， 有：有： （2） 式的式的 頻率關(guān)系，如圖頻率關(guān)系，如圖2(b)2(b)中的曲線中的曲線（實線）（實線） cccccccccccjjjjjjeeeeee1,12cos2coscccc:確定 LP - Hp變換變換圖圖2 (a) LP Hp變換變換cc00 LP-BP LP-BP變換把帶通的中心頻率變換把帶通的中心頻率 故故 N=2。 由以上分析得變換關(guān)系：由以上分析得變換關(guān)系： 或或 00c2c1) 1 (1)(1122211211zrzrrzrzzgu) 2(1

7、122212jjjjjererreree00000,0時，如圖3(a), 1)1(,0g，時全通函數(shù)取負(fù)號。LP-BP變換變換圖圖3 (a) LP-BP變換變換102cc00 1122221111122212122212jjjjjjjjjjererrereeererrereecc把變換關(guān)系把變換關(guān)系 代入（代入（2 2）式得）式得 ：消去消去 r1，得：，得：令令cc21,)()()()(1212121222111122)()(2jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjeeeeeeeeeeeeeeeeeeeercccccc2)2(12ctgtgk確定確定r1, r2 ：可證明，可證明， 其中其

8、中 r1,r2代入（代入（2）式，則可確定頻率變換關(guān)系，如圖）式，則可確定頻率變換關(guān)系，如圖3（b）。）。112kkr121kkr)2cos()2cos(1212LP-BP頻率關(guān)系頻率關(guān)系 LPBS 如圖如圖4(a), LPBS變換把帶阻的中心頻率變換把帶阻的中心頻率 的變化范圍為的變化范圍為 ,故故 N=2, 又又 g(1)=1, 所以，全通函數(shù)取正號所以，全通函數(shù)取正號。由以上分析得變換關(guān)系：。由以上分析得變換關(guān)系： （1） 或或 （2）0000000，21)(1122211211zrzrrzrzzgu1122212jjjjjererrereeLP-BS變換變換圖圖4 (a) LP-BS變

9、換變換201cc)(jeH00確定確定r1, r2 ： 把變換關(guān)系把變換關(guān)系 代入（代入（2 2）式得）式得 ： 其中其中 ， r1, r2代入（代入（2）式，得圖）式，得圖4（b）,此頻率變換關(guān)系與前面的分析相吻合。此頻率變換關(guān)系與前面的分析相吻合。2212ctgtgk121krkkr1122cos2cos1212cc21,LP-B S頻率變換關(guān)系頻率變換關(guān)系 LP-BS變換的又一種實現(xiàn)方法變換的又一種實現(xiàn)方法: 由低通到帶阻的變換同樣可以通過旋轉(zhuǎn)變換由低通到帶阻的變換同樣可以通過旋轉(zhuǎn)變換來完成來完成,但變換的次序與模擬低通到數(shù)字帶阻的次但變換的次序與模擬低通到數(shù)字帶阻的次序不同序不同,是先由低通到高通是先由低通到高通(低阻低阻),再利用再利用3.4.3的方的方式由低阻到帶阻式由低阻到帶阻,即即 其中其中 的求取可利用低通到高通公式的求