電工與電子技術(shù)第二章-電路的暫態(tài)分析

1、1電工與電子技術(shù)曹現(xiàn)剛西安科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 2004.9第二章 電路的暫態(tài)分析 電路在一定條件下可以處于穩(wěn)定狀態(tài)，但條件發(fā)生變化時電路的狀態(tài)就會發(fā)生變化。并且，任何穩(wěn)定狀態(tài)都是由其它狀態(tài)轉(zhuǎn)換來的。 在實(shí)際情況下，狀態(tài)的轉(zhuǎn)變往往不是突變的，而需要一個過程即過渡過程。電路中也有過渡過程，如電路中的電容或電感等儲能元件的存在，則在電源接通后電容通過充電而升高電壓，這一過程是漸變的；電感則由于電磁感應(yīng)作用而使電流不能立即達(dá)到穩(wěn)定值，也是漸變過程。電容的放電過程也是漸變的，如圖：電容放電形成電流，電阻兩端的電壓等于電容的電壓，電流的存在使電容繼續(xù)放電。 本章就是討論某些處于過渡過程的電路問題，也就是

2、電路的暫態(tài)過程。可見只要 uC 0，則放電過程就不能停止，但電阻的存在又不能使電流過大，直至電容電壓 uC = 0 為止。iuCR研究暫態(tài)電路的方法：研究暫態(tài)電路的方法：一般可以說，數(shù)學(xué)分析和實(shí)驗(yàn)分析是分析暫態(tài)電路的兩種方法。本章內(nèi)容介紹最基本的數(shù)學(xué)分析方法，其理論依據(jù)是歐姆定律及克希荷夫定律。實(shí)驗(yàn)分析方法，將在實(shí)驗(yàn)課程中應(yīng)用示波器等儀器觀測暫態(tài)過程中各量隨時間變化的規(guī)律。研究暫態(tài)過程，是要認(rèn)識和掌握這種現(xiàn)象的規(guī)律。本章主要分析RC及RL一階線性電路的暫態(tài)過程，電路的激勵僅限于階躍電壓或矩形脈沖電壓。重點(diǎn)討論的問題是：（1）暫態(tài)過程隨時間變化的規(guī)律；（2）影響暫態(tài)過程快慢程度的時間常數(shù)。2-1

3、. 換路定則 u 與 i 初始值的確定 換路換路指電路因接通、斷開、短路以及電壓或電路參數(shù)的改變。都不能突變。2/LiW2LL不論電路的狀態(tài)如何發(fā)生改變，電路中所具有的能量是不能突變的。如電感的磁能及電容的電能分別為2/CuW2CC和換路定則換路定則 設(shè)t=0為換路瞬間，則 t=0 和t=0+分別是換路前后的極限時刻。從 t=0 到 t=0+ 瞬間，電感元件中的電流和電容元件兩端的電壓不能突變?？杀硎緸?0(i)0(iLL)0(u)0(uCC暫態(tài)過程的初始值暫態(tài)過程的初始值 由于換路，電路的狀態(tài)要發(fā)生變化。在t=0+時電路中電壓電流的瞬態(tài)值稱為暫態(tài)電路的初始值初始值。初始值的確定初始值的確定，

4、要依據(jù)換路定則及電路性質(zhì)來分析，也受電路約束方程的制約。換路前的瞬間，將電路視為穩(wěn)態(tài)電容開路、電感短路。換路后的瞬間，將電容用定值電壓 uC(0) 或電感用 i L(0) 定值電流代替。若電路無儲能，則視電容C為短路，電感L為開路。根據(jù)克希荷夫定律計算出其它電壓及電流各量。例 試確定如圖電路在開關(guān)S 斷開后的初始值。6ViCi1i2uC42C+S0t 0t在 t = 0 時刻V4uC,0iC,A1ii21在 t = 0 + 時刻,V4uC0i2,A1iiC16ViCi1i2uC42C+S0t 解解2-2. RC電路的響應(yīng)電路的響應(yīng)對暫態(tài)電路用經(jīng)典的分析方法，就是根據(jù)激勵計算電壓和電流響應(yīng)的時間

5、函數(shù)，這是一種時域分析法。本節(jié)討論一階本節(jié)討論一階RC電路電路一、RC電路的零輸入響應(yīng)所謂RC電路的零輸入，是指無電源激勵，輸入信號為零。在電容元件的初始狀態(tài)作用下所產(chǎn)生的響應(yīng)。實(shí)際上也就是分析在電容元件放電過程中所產(chǎn)生響應(yīng)的規(guī)律。URiuRuCC+S0t 21RC電路的一階響應(yīng)而0uuCR此式是關(guān)于uC 的一階線性微分方程?？芍渫ń鉃閠RC1CAeu在開關(guān)S由2 擲向1 時，RC回路電壓方程為iURuRuCC+S0t 21dtduRCiRuCR0udtduRCCC其中A為積分常數(shù)(與初始值有關(guān)) 對于一階線性齊次方程，可根據(jù)公式法求解，也可應(yīng)用分離變量法求解。RC電路的一階響應(yīng)得0udtd

6、uRCCCCCuRC1dtduRCdtuduCCkRCtulnCRCtkRCtkRCtCkeeeeu時間常數(shù) = RC 的意義 在前面討論中，知暫態(tài)過程的變化與RC乘積有關(guān)?？紤]初始條件后電容的端電壓可表示為U0為電容換路瞬時的端電壓，RC乘積具有時間的量綱，稱為電路的時間常數(shù)。當(dāng) t = RC 時uC 隨時間的變化關(guān)系曲線如右圖RC電路的一階響應(yīng)tRC10CeUu010CU%8 .36eUuU0ut0U0 eRC電路的一階響應(yīng)1e 2e4e3e6e5e 2 3 4 6 5050. 0018. 0135. 0368. 0007. 0002. 0 很顯然，從理論上講，電路只有經(jīng)過很顯然，從理論上

7、講，電路只有經(jīng)過的時的時間才能達(dá)到穩(wěn)定。通過計算可以看出：當(dāng)經(jīng)間才能達(dá)到穩(wěn)定。通過計算可以看出：當(dāng)經(jīng)過（過（35）時，就足可以認(rèn)為達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。時，就足可以認(rèn)為達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。RC電路的一階響應(yīng)的幾何意義：次切線的截距的幾何意義：次切線的截距U0ut0U0 et0t0CCeU1eUdt) t (du) t (utgABBC的計算：從的計算：從C C兩端看進(jìn)兩端看進(jìn)去的戴維南等效電阻。去的戴維南等效電阻。的實(shí)驗(yàn)求法：的實(shí)驗(yàn)求法：從題中可以看出，同一電路只有一個時間常數(shù)。從題中可以看出，同一電路只有一個時間常數(shù)。 所謂RC電路的零狀態(tài)，是指換路前電容元件未儲有能量，uC(0)=0。在此條件下，由電源

8、激勵所產(chǎn)生的電路的響應(yīng)，稱為零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)。三、RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)電路的零狀態(tài)響應(yīng)電路電路 (見右圖見右圖 )iURuRuCC+S0t 初始值初始值電路的激勵電路的激勵u =0U(t 0)ut0U階 躍 激 勵階 躍 激 勵0)0()0(CCuu電路方程電路方程其中iURuRuCC+S0t 應(yīng)用分離變量法可得在在 t 0 時，回路的電壓方程為時，回路的電壓方程為CCCudtduRCuRiUdtduCiC)(1UuRCdtduCCRCdtUuduCC將上式積分，得整理后，有iURuRuCC+S0t 考慮初始條件得則電容的暫態(tài)電壓為RCdtUuduCCkRCtUuC)ln(RCtCekUu

9、0)0(CuUk)1 (RCtCeUuRC = 仍為電路的時間常數(shù)，當(dāng) t = 時)718. 211 ()1 (1UeUuCiURuRuCC+S0t UU%2 .63)368. 01 (ut0U電容中的電流為)1(RCtCeUuRCtCeRUdtduCi三、RC電路的全響應(yīng)電路的全響應(yīng) 全響應(yīng) 是指電源的激勵和電容元件的初始狀態(tài)uC(0+)均不為零時的電路響應(yīng)。根據(jù)疊加原理，可認(rèn)為是零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的疊加。以如圖電路為例，說明電路的響應(yīng)規(guī)律。+-U1+-U2R2R1Ci2uCiCi1S12t =0初始值初始值的確定：在在t=0時，)0()0(CCuu1212URRR電路的方程方程在 t0

10、時，+-U1+-U2R2R1Ci2uCiCi1S12t =0或或整理后得整理后得或或021Ciii0212dtduCRuRuUCCC2211)1 (UuRRdtduCRCCCCuCRRRRdtdu2121211UCR用分離變量法求所得方程分離變量后，有或或積分后即得到通解2211)1 (UuRRdtduCRCCCCuCRRRRdtdu2121211UCR21222121RRURCRRRR0)(22122121URRRuCRRRRdtduCCdtCRdtCRRRRUuduCC12121kCRtUuClnCRtCekUu確定積分常數(shù)得即CRtCRtCekURRRekUu22121212)0(,0U

11、RRRutC時當(dāng))(2121222121212UURRRURRRURRRk)1 (22121212CRtCRtCeURRReURRRu上式右邊分別為零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)。+-U1+-U2R2R1Ci2uCiCi1S12t =0時間常數(shù)它等于電路在響應(yīng)過程中，電容與其并聯(lián)等效電阻之積。如圖與電容并聯(lián)的等效電阻為R1與R2并聯(lián)。)1 (22121212CRtCRtCeURRReURRRuCRRCRRRRCR)(212121綜上所述，計算線性電路暫態(tài)過程的步驟可歸納如下： 對換路后的電路列微分方程； 求解微分方程的通解，可用分離變量法或應(yīng)用一階線性微分方程的公式法進(jìn)行求解； 根

12、據(jù)換路定則確定暫態(tài)過程的初始值； 確定方程解的積分常數(shù)， 根據(jù)電路理論進(jìn)一步計算其它待求量。QPydtdy)exp()exp(CdtPdtQPdty2-3. 一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法 只含有一個儲能元件或可等效為一個儲能元件的電性電路，其電路方程都是一階線性常系數(shù)微分方程。 這種電路都是一階線性電路。 根據(jù)前面討論，一階RC線性電路的響應(yīng)都可以看作是由穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量相加而得 (t) 可以是電壓或電流； () 是穩(wěn)態(tài)分量； Ae-t/ 是暫態(tài)分量。/)()()()(tAeftftftf 暫態(tài)穩(wěn)態(tài)如討論RC電路全響應(yīng)時得到：其中)e1 (URRReURRRu

13、CRt2212CRt1212C1212CURRR)0(u2212CURRR)(u及2121RRCRRCR 為時間常數(shù)則上式可改寫為)e1)(ue )0(uu/ t/ tC / tCe)(u)0(u)(uu2-4. RL電路的響應(yīng)電路的響應(yīng) 電感也是儲能元件。由RL構(gòu)成的線性電路也是一階線性電路，也具有暫態(tài)過程。與RC暫態(tài)電路一樣，RL 電路也具有零狀態(tài)響零狀態(tài)響應(yīng)、零輸入響應(yīng)應(yīng)、零輸入響應(yīng)及全響應(yīng)全響應(yīng)。RL 電路的響應(yīng)響應(yīng)規(guī)律計算與RC電路響應(yīng)一樣，可用解析法求解微分方程或用三要素法進(jìn)行分析。用三要素法進(jìn)行分析時，需對欲求量的初值及穩(wěn)態(tài)值的計算；要注意對時間常數(shù)的求解。以下根據(jù)例題說明RL 一階線性電路的分析過程。例例計算如圖換路后的電流i L。+U1+U2R1i2i1St =012VR2iL9V631HL解解在t0 時，S閉合21iiiL2211RuURuULLLuRRRRRURU21212211考慮dtLdiuLL/有)(122112121RURUiRRRRLdtdiLL令時間常數(shù) 用分離變量法解方程+U1+U2R1i2i1St =012VR2iL9V631HLdtIIidiSSLL1)(21RLRRRRL2121得/21tSSLK