離散時(shí)間傅立葉變換

1、離散時(shí)間傅立葉變換基基 本本 內(nèi)內(nèi) 容容1. 離散時(shí)間傅立葉變換；離散時(shí)間傅立葉變換；2. 常用信號(hào)的離散時(shí)間傅立葉變換對(duì)常用信號(hào)的離散時(shí)間傅立葉變換對(duì); ;3. 離散時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉變換；離散時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉變換；4. 傅立葉變換的性質(zhì)；傅立葉變換的性質(zhì)；5. 系統(tǒng)的頻率響應(yīng)與系統(tǒng)的頻域分析方法系統(tǒng)的頻率響應(yīng)與系統(tǒng)的頻域分析方法；v注釋注釋: :CFS ( The Continuous-Time Fourier Series ): 連續(xù)時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)連續(xù)時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)DFS ( The Discrete-Time Fourier Series ): 離散時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)離散時(shí)間傅立葉級(jí)

2、數(shù)CTFT ( The Continuous-Time Fourier Transform ): 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換連續(xù)時(shí)間傅立葉變換 DTFT ( The Discrete-Time Fourier Transform ): 離散時(shí)間傅立葉變換離散時(shí)間傅立葉變換 5.0 引言引言 Introductionv 本章將本章將，來(lái)，來(lái)研究離散時(shí)間非周期信號(hào)的頻域分解問(wèn)題。研究離散時(shí)間非周期信號(hào)的頻域分解問(wèn)題。v DFS與與CFS之間既有許多類似之處，也有一些之間既有許多類似之處，也有一些：主要是：主要是DFS是一個(gè)有限項(xiàng)級(jí)數(shù)，是一個(gè)有限項(xiàng)級(jí)數(shù)， 其系數(shù)其系數(shù) 具有周期性具有周期性。kav 在采用相

3、同方法研究如何在采用相同方法研究如何時(shí)，可以看到，時(shí)，可以看到，DTFT與與CTFT既有許多相類似的地方，也同時(shí)存在一些重要的既有許多相類似的地方，也同時(shí)存在一些重要的區(qū)別區(qū)別。v 抓住它們之間的相似之處并關(guān)注其差別，對(duì)于掌握抓住它們之間的相似之處并關(guān)注其差別，對(duì)于掌握和加深對(duì)頻域分析方法的理解具有重要意義。和加深對(duì)頻域分析方法的理解具有重要意義。1 非周期信號(hào)的表示非周期信號(hào)的表示Representation of Aperiodic Signals: The Discrete-time Fourier Thransform一一. 從從DFS到到DTFT:在討論離散時(shí)間周期性矩形脈沖信號(hào)的頻

4、譜時(shí)在討論離散時(shí)間周期性矩形脈沖信號(hào)的頻譜時(shí), ,我們我們看到：看到：當(dāng)信號(hào)周期當(dāng)信號(hào)周期N增大時(shí)，頻譜的包絡(luò)形狀不變，幅度增大時(shí)，頻譜的包絡(luò)形狀不變，幅度減小，而頻譜的譜線變密。減小，而頻譜的譜線變密。kkk1220NN1240NN1210NNkNa 因此，可以預(yù)見(jiàn)，對(duì)一個(gè)非周期信號(hào)，它的頻譜應(yīng)因此，可以預(yù)見(jiàn)，對(duì)一個(gè)非周期信號(hào)，它的頻譜應(yīng)該是一個(gè)連續(xù)的頻譜。該是一個(gè)連續(xù)的頻譜。 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有 ，將導(dǎo)致，將導(dǎo)致信號(hào)的頻譜無(wú)限密集，最終成為連續(xù)頻譜。信號(hào)的頻譜無(wú)限密集，最終成為連續(xù)頻譜。N 0(2/)0N 從時(shí)域看，從時(shí)域看，當(dāng)周期信號(hào)的周期當(dāng)周期信號(hào)的周期 時(shí)，時(shí)，周周期序列期序列就變成

5、了一個(gè)非周期的序列。就變成了一個(gè)非周期的序列。N 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) 令令2limjkNNkNaX eN，（）221( ),( )jknjknNNkkkNnNx na eax n eN 對(duì)周期信號(hào)對(duì)周期信號(hào) 由由DFS有有( )x n2/2/2)(1NNnknNjkenxNa即即jX e （）說(shuō)明說(shuō)明: :顯然顯然對(duì)對(duì)是以是以2為周期的。為周期的。DTFT( )jj nnX ex n e（）有有: :kNjkeXNa2)(1 當(dāng)當(dāng) 在一個(gè)周期范圍內(nèi)變化時(shí)，在一個(gè)周期范圍內(nèi)變化時(shí)， 在在 范圍范圍變化，所以積分區(qū)間是變化，所以積分區(qū)間是 。k0k22ka將其與將其與 表達(dá)式比較有表達(dá)式比較有00( )(

6、 ),Nx nx nkd ，當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)于是于是: :00000012( )(),1()2jkjknkNjkjknkNx nX eeNNX ee 表明表明: :離散時(shí)間序列可以分解為頻率在離散時(shí)間序列可以分解為頻率在2區(qū)間上區(qū)間上分布的、幅度為分布的、幅度為 的復(fù)指數(shù)分量的的復(fù)指數(shù)分量的線性組合。線性組合。 deXj)(21deeXnxnjj2)(21)(deeXnxnjj2)(21)(njjenxeX)()(結(jié)論：結(jié)論：01()1jnj njnX ea eae 二二. .常用信號(hào)的離散時(shí)間傅立葉變換常用信號(hào)的離散時(shí)間傅立葉變換21()12 cosjX eaa通常通常 是復(fù)函數(shù)，用它的模和相位表示

7、是復(fù)函數(shù)，用它的模和相位表示: :()jX e1sin()tg1cosjaX ea 1.( )( ),1nx na u na01a10a )() 1()(nuanuanxnncos211111)(220101aaaaeaeaeeaeaeaeaeXjjjnnjnnnjnnnjnnnjnj由圖可以得到由圖可以得到: :時(shí)，高通特性時(shí)，高通特性, ,擺動(dòng)指數(shù)衰減擺動(dòng)指數(shù)衰減10a x n（ ）時(shí)，低通特性時(shí)，低通特性, ,單調(diào)指數(shù)衰減單調(diào)指數(shù)衰減01ax n（ ）( ),1nx naa2.可以得出結(jié)論可以得出結(jié)論: :實(shí)偶序列實(shí)偶序列實(shí)偶函數(shù)實(shí)偶函數(shù)111sin(21)2()sin2Njj nnNN

8、X ee1,( )0,x n11NnNn3.矩形脈沖矩形脈沖: :當(dāng)當(dāng)12N 時(shí)，可得到時(shí)，可得到: :有同樣的結(jié)論有同樣的結(jié)論: :實(shí)偶信號(hào)實(shí)偶信號(hào)實(shí)偶函數(shù)實(shí)偶函數(shù)1sin(21)1,sinkkNNaNkN兩點(diǎn)比較兩點(diǎn)比較:1.1.與對(duì)應(yīng)的周期信號(hào)比較與對(duì)應(yīng)的周期信號(hào)比較21()jkkNaXeN顯然有顯然有關(guān)系成立關(guān)系成立1sin(21)2()sin2jNX e2 2. .與對(duì)應(yīng)的連續(xù)時(shí)間信號(hào)比較與對(duì)應(yīng)的連續(xù)時(shí)間信號(hào)比較, 0, 1)(tx11TtTt111sin2)(TTTjX如圖所示如圖所示: :1)()(njnjenxeX)(n0n1)(jeX10如圖所示如圖所示: :( )( )x

9、nn4.三三. DTFT的收斂問(wèn)題的收斂問(wèn)題當(dāng)當(dāng) 是無(wú)限長(zhǎng)序列時(shí)，由于是無(wú)限長(zhǎng)序列時(shí)，由于 的表達(dá)式的表達(dá)式是無(wú)窮項(xiàng)級(jí)數(shù)，當(dāng)然會(huì)存在收斂問(wèn)題。是無(wú)窮項(xiàng)級(jí)數(shù)，當(dāng)然會(huì)存在收斂問(wèn)題。)jX e（( )x n收斂條件有兩組：收斂條件有兩組：( ),nx n)jX e（)jX e（ 則則 存在，且級(jí)數(shù)一致收斂存在，且級(jí)數(shù)一致收斂 于于 。)jX e（2( ),nx n1. 1. 則級(jí)數(shù)以則級(jí)數(shù)以的準(zhǔn)則的準(zhǔn)則 收斂于收斂于 ?？疾炜疾?的收斂過(guò)程，如圖所示：的收斂過(guò)程，如圖所示：( )nv但隨著但隨著 的振蕩頻率變高，起伏的的振蕩頻率變高，起伏的幅度趨小幅度趨小; ;,( )Wx nWv當(dāng)當(dāng) 時(shí)，振蕩與起

10、伏將完全消失，不會(huì)出時(shí)，振蕩與起伏將完全消失，不會(huì)出現(xiàn)吉伯斯現(xiàn)吉伯斯(Gibbs)現(xiàn)象，也不存在收斂問(wèn)題?，F(xiàn)象，也不存在收斂問(wèn)題。由圖可以得到以下結(jié)論由圖可以得到以下結(jié)論: :v當(dāng)以部分復(fù)指數(shù)分量之和近似信號(hào)時(shí)，也會(huì)當(dāng)以部分復(fù)指數(shù)分量之和近似信號(hào)時(shí)，也會(huì) 出出現(xiàn)起伏和振蕩現(xiàn)起伏和振蕩; ;和連續(xù)時(shí)間情況相同，利用把一個(gè)周期信號(hào)的變和連續(xù)時(shí)間情況相同，利用把一個(gè)周期信號(hào)的變換表示成頻域中的沖激串的辦法，就可以把離散時(shí)間換表示成頻域中的沖激串的辦法，就可以把離散時(shí)間周期信號(hào)也歸并到離散時(shí)間傅里葉變換中去。周期信號(hào)也歸并到離散時(shí)間傅里葉變換中去。對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)，對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)， 的傅里葉變換就是的傅

11、里葉變換就是0 0 處的處的沖激。即沖激。即由此推斷，對(duì)離散時(shí)間信號(hào)可以期待有相似的情況由此推斷，對(duì)離散時(shí)間信號(hào)可以期待有相似的情況。但由于。但由于DTFT一定是以一定是以2 2為周期的，因此，頻域的沖為周期的，因此，頻域的沖激應(yīng)該是周期性的沖激串，即激應(yīng)該是周期性的沖激串，即2 周期信號(hào)的周期信號(hào)的DTFT 002,jte （）00()22jtkX ek （）The Fourier Transform for Periodic Signals0jte0022jnkke （）可見(jiàn)可見(jiàn), ,2021( )()21222jj nj nkx nX eedk ed （）對(duì)其做反變換有：對(duì)其做反變換有：

12、00(2)21( )()2jr njnjj nx nX eedee在任何一個(gè)周期內(nèi)，上述積分內(nèi)真正包括的只有一個(gè)在任何一個(gè)周期內(nèi)，上述積分內(nèi)真正包括的只有一個(gè)沖激，假設(shè)所選區(qū)間包括在沖激，假設(shè)所選區(qū)間包括在0 2r處的沖激，則處的沖激，則2()2()jklkX eaN (2 /)( )jkN nkkNx na e 現(xiàn)在考慮一個(gè)周期性信號(hào)，周期為現(xiàn)在考慮一個(gè)周期性信號(hào)，周期為N，其傅立葉級(jí)，其傅立葉級(jí)數(shù)為：數(shù)為：這時(shí)，離散周期性信號(hào)的傅里葉變換就是：這時(shí)，離散周期性信號(hào)的傅里葉變換就是：這樣，一個(gè)周期信號(hào)的傅里葉變換就能直接從它的傅立這樣，一個(gè)周期信號(hào)的傅里葉變換就能直接從它的傅立葉級(jí)數(shù)得到。葉

13、級(jí)數(shù)得到。002( ),jknkkNx na eN證明：由對(duì)離散周期信號(hào)證明：由對(duì)離散周期信號(hào)將將x(n) 用用DTFT表示為表示為 lNkkjlkNaeX)22(2)(NkkNkkNkkkNakNakNa)42(2)22(2)2(2101010)2(22)(22)2(2NkkNkkNkkNkNaNkNakNa（對(duì)（對(duì)L 展開）展開）0( )()2(2)jkkNlx nX eakl 12103122222()2()22()NNkk Nkk NNkNkNakakNNakN kkkNa)2(2比較比較: : 可以看出與連續(xù)時(shí)間傅立葉變換中相應(yīng)的形式可以看出與連續(xù)時(shí)間傅立葉變換中相應(yīng)的形式是完全一致

14、的。是完全一致的。注意到注意到 也以也以 為周期，于是有：為周期，于是有：kaNkjkkeX)2()2()(000001( )cos(),2jnjnx nnee例例1.1.它不一定是它不一定是周期的。周期的。 當(dāng)當(dāng)02kN時(shí)才具有周期性。時(shí)才具有周期性。)(jeX0220200002202( )如圖所示如圖所示: :NenNenxNanjkNnNnnjkk1)(1)(10010kjkNNeX)2(2)(N2N2)(jeXN20N4N4( )()kx nnkN例例2.2.比較比較: :與連續(xù)時(shí)間情況下對(duì)應(yīng)的相一致。與連續(xù)時(shí)間情況下對(duì)應(yīng)的相一致。均勻脈沖串均勻脈沖串)(nx1N0NN2N2n3 離

15、散時(shí)間傅立葉變換的性質(zhì)離散時(shí)間傅立葉變換的性質(zhì)DTFT也有很多與也有很多與CTFT類似的性質(zhì)，當(dāng)然也有某些類似的性質(zhì)，當(dāng)然也有某些明顯的差別。明顯的差別。通過(guò)對(duì)通過(guò)對(duì)DTFT性質(zhì)的討論，目的在于揭示信號(hào)時(shí)性質(zhì)的討論，目的在于揭示信號(hào)時(shí)域和頻域特性之間的關(guān)系。域和頻域特性之間的關(guān)系。一、周期性一、周期性 (periodic)：比較：這是與比較：這是與CTFT不同的。不同的。Properties of the Discrete-Time Fourier Transform(2 )()()jjX eX e則則若若jx nX e（ ）（），)()()()(2121jjebXeaXnbxnax二二. 線

16、性線性 (linearity):三三. 時(shí)移與頻移時(shí)移與頻移 (shifiting):00()( )()jnjx n eX e ( )(),jx nX e若若則則00()()j njx nnX ee時(shí)移特性時(shí)移特性頻移特性頻移特性四四. 時(shí)域反轉(zhuǎn)時(shí)域反轉(zhuǎn) (reflaction):()()jxnX e若若則則( )(),jx nX e五五. . 共軛對(duì)稱性共軛對(duì)稱性 (symmetry properties):)()(),()(*jjeXnxeXnx若若則則由此可進(jìn)一步得到以下結(jié)論由此可進(jìn)一步得到以下結(jié)論: :Re()Re()Im()Im()jjjjX eX eX eX e)()(),()(*

17、jjjjeXeXeXeX即即1. 1. 若若)(nx是實(shí)信號(hào)，則是實(shí)信號(hào)，則)()(*nxnx()()()()jjjjX eX eX eX e2. 2. 若若)(nx是實(shí)偶信號(hào)，則是實(shí)偶信號(hào)，則),()(nxnx*( )( )()()jx nx nxnX e()()(),jjjX eX eXe于是有于是有: :即即是實(shí)偶函數(shù)。是實(shí)偶函數(shù)。)(jeX*( )(),( )( )x nxnx nx n 3. 3. 若若是實(shí)奇信號(hào)，是實(shí)奇信號(hào)，)(nx()()(),jjjX eX eXe 于是有于是有: :表明表明是虛奇函數(shù)。是虛奇函數(shù)。)(jeX( )( )( )eox nx nx n，4. 4.

18、若若則有則有: :說(shuō)明說(shuō)明: :這些結(jié)論與連續(xù)時(shí)間情況下完全一致。這些結(jié)論與連續(xù)時(shí)間情況下完全一致。( )Re()jex nX e( )Im()jox njX e0( )(1)(1) ()()( )()(2)1jjjnjjkkx nx neX eX ex kX eke 六六. 差分與求和差分與求和 (Differencing and Accumulation):）je1 (說(shuō)明說(shuō)明: :在在DTFT中中對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于CTFT中的中的 。j1( )(2)1jku nke 例例: :( )( )nku nk( )1n七七. 時(shí)域內(nèi)插時(shí)域內(nèi)插 ( Interplation ):，0),/()(knxn

19、xk定義定義為為的整數(shù)倍的整數(shù)倍其他其他nkn()( )()jj nj rkkkknrXex n ex rk e( )()j rkjkrx r eX e( )()jkkx nX ek1時(shí)，該信號(hào)在時(shí)域上被拉開了（變慢），對(duì)應(yīng)時(shí)，該信號(hào)在時(shí)域上被拉開了（變慢），對(duì)應(yīng)地在頻域就被壓縮。地在頻域就被壓縮。信號(hào)的時(shí)域與頻域特性之間有一種相反的關(guān)系。信號(hào)的時(shí)域與頻域特性之間有一種相反的關(guān)系。dedXjnnxj)()(八八. 頻域微分頻域微分( Differention in Frequency ):222)(21)(deXnxjn九九. . Parseval定理定理: :2)(jeX稱為稱為的的)(nx

20、NkkNnanxN22)(1比較比較: :在在DFS中有中有稱為周期信號(hào)的稱為周期信號(hào)的。2ka4 卷積特性卷積特性( The Convolution Property ) ( )( )* ( ),()()(),jjjy nx nh nY eX eH e若若則則說(shuō)明：該特性提供了對(duì)說(shuō)明：該特性提供了對(duì)LTI系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析的理論基礎(chǔ)。的理論基礎(chǔ)。即是系統(tǒng)的頻率特性。即是系統(tǒng)的頻率特性。()jH e)()()(jjnkeUeXkxkjjkeeX)2(11)(kjjjkeXeeX)2()(1)(0例例: :求和特性的證明求和特性的證明)(*)()(nunxkxnk5 相乘性質(zhì)相乘性

21、質(zhì)（The Multiplication Property)()(21)()(21)(),()()(212)(2121jjjjjeXeXdeXeXeYnxnxny如果如果則則由于由于 和和 都是以都是以 為周期的，為周期的，1()jX e因此上述卷積稱為周期卷積。因此上述卷積稱為周期卷積。22()jXe)()()(ncnxny)(nc)(nx,) 1()(nnc()2(2)jkC ek ()22()01() ()2() ()()jjjjX eC edX edX e 例例: :( )( 1)nj nc ne 1()()()2jjjY eX eC e22)(jeC0)(jeXMM015.6 傅立葉

22、變換的性質(zhì)及基本變換對(duì)列表傅立葉變換的性質(zhì)及基本變換對(duì)列表（自學(xué)）（自學(xué)）)(jeY10MM7 對(duì)偶性對(duì)偶性（Duality）NnnNjkkNknNjkkenxNaeanx22)(1,)(由于由于ak本身也是以本身也是以N為周期的序列，當(dāng)然也可以將其展為周期的序列，當(dāng)然也可以將其展開成開成傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)形式。令形式。令-nk，kn，此時(shí)上面右式即，此時(shí)上面右式即ak的傅立葉級(jí)數(shù)展開的傅立葉級(jí)數(shù)展開一一. .DFS的對(duì)偶的對(duì)偶離散時(shí)間的傅立葉變換不存在如連續(xù)時(shí)間傅立葉離散時(shí)間的傅立葉變換不存在如連續(xù)時(shí)間傅立葉變換那樣的對(duì)偶性，但變換那樣的對(duì)偶性，但。( )1()DFSkDFSnx naax

23、kN 即即: :利用對(duì)偶性可以很方便的將離散傅立葉級(jí)數(shù)在時(shí)域利用對(duì)偶性可以很方便的將離散傅立葉級(jí)數(shù)在時(shí)域得到的性質(zhì)，通過(guò)對(duì)偶得到頻域相應(yīng)的性質(zhì)。得到的性質(zhì)，通過(guò)對(duì)偶得到頻域相應(yīng)的性質(zhì)。),(1kxN這表明：序列這表明：序列an 的傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)就是的傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)就是即即: :21()jknNnkNaxk eN)(1)(kxNaanxnk例例1: 1: 從時(shí)移到頻移從時(shí)移到頻移002)(1knNjnnekxNa利用時(shí)移性質(zhì)有利用時(shí)移性質(zhì)有: :由對(duì)偶性有由對(duì)偶性有: :2( )jMnNk Mx n ea 2)(21,)(dteeXaeaeXjktjtkkjktkjt二二. DTFT與與CF

24、S間的對(duì)偶間的對(duì)偶*()( )jj nnX ex n e由由 知知X(ejt)是一個(gè)以是一個(gè)以2為周期的連續(xù)函數(shù)為周期的連續(xù)函數(shù), , 如果在時(shí)域構(gòu)造一個(gè)以如果在時(shí)域構(gòu)造一個(gè)以 2為周期的連續(xù)時(shí)間信號(hào)為周期的連續(xù)時(shí)間信號(hào)X(ejt)，則可以將其表則可以將其表示為示為CFS形式形式:deeXnxnjj2)(21)(由由DTFT有：有： 利用這一對(duì)偶關(guān)系，可以將利用這一對(duì)偶關(guān)系，可以將DTFT的若干特性對(duì)偶到的若干特性對(duì)偶到CFS中去；或者反之。中去；或者反之。()kaxk比較比較x(n)和和ak的表達(dá)式可以看出的表達(dá)式可以看出這表明：這表明：( )()DTFTjx nX e ()()CFSjtX

25、 ex k 若若則則kCFSkaTjtxdtd2)( 2()()()2CFSjtdX ejkxkjkxkTdtT，（）例例: 從從CFS的時(shí)域微分到的時(shí)域微分到DTFT的頻域微分的頻域微分CFS的時(shí)域微分特性的時(shí)域微分特性DTFT的頻域微分特性的頻域微分特性()()CFSjtX exk 若若則則( )(),DTFTjx nX e ( )()jdjnx nX ed)()()()()()()()(22112211kxeXkxeXeXnxeXnxCFSjtCFSjtjDTFTjDTFT 1212()()2() (),(2 )CFSjtjtX eX exk xkT)()(21)()()()()()(2

26、21212121jjDTFTjjDTFTeXeXnxnxeXeXnxnx 例例: 從從CFS的卷積特性到的卷積特性到DTFT的相乘特性的相乘特性再由對(duì)偶性：再由對(duì)偶性：由由CFS的卷積特性的卷積特性12( )*( )kkx tx tTa bDTFT的相乘特性的相乘特性可以將對(duì)偶關(guān)系歸納為如下圖表可以將對(duì)偶關(guān)系歸納為如下圖表: :連續(xù)時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)katx)(離散連續(xù)、周期、非周期連連續(xù)、非周期續(xù)、非周期連續(xù)時(shí)間傅立葉變換)(2)()()(xjtXjXtx離散時(shí)間傅立葉變換)()(jeXnx離散連、非周期續(xù)、周期)2(1kTjXTak)(12kNjkeXNa)()(jDTFTeXnx )()(k

27、xeXCFSjt離散時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)( )kx na 離離散、周期散、周期1()nax kN時(shí)域的連續(xù)性時(shí)域的連續(xù)性可以看出：信號(hào)在時(shí)域的特性和在頻域的特可以看出：信號(hào)在時(shí)域的特性和在頻域的特性之間存在以下對(duì)應(yīng)關(guān)系：性之間存在以下對(duì)應(yīng)關(guān)系：時(shí)域的周期性時(shí)域的周期性時(shí)域的離散性時(shí)域的離散性時(shí)域的非周期性時(shí)域的非周期性頻域的離散性頻域的離散性頻域的連續(xù)性頻域的連續(xù)性頻域的周期性頻域的周期性頻域的非周期性頻域的非周期性8 由由LCCDE表征的系統(tǒng)表征的系統(tǒng)NkkNkkknxbknya00)()(相當(dāng)廣泛而有用的一類離散時(shí)間相當(dāng)廣泛而有用的一類離散時(shí)間LTI系統(tǒng)可以系統(tǒng)可以由一個(gè)線性常系數(shù)差分方程來(lái)表征

28、由一個(gè)線性常系數(shù)差分方程來(lái)表征: :一一. 由由LCCDE描述的系統(tǒng)的頻率響應(yīng)描述的系統(tǒng)的頻率響應(yīng):),(nh進(jìn)而對(duì)進(jìn)而對(duì) 做變換而求得做變換而求得 。方法一方法一: :可以從求解可以從求解 時(shí)的差分方程得到時(shí)的差分方程得到)()(nnx)(nh)(jeHSystems Characterized by Linear Constant-Coefficient Difference Equations( )jj ny nH ee （方法二方法二: : 可以通過(guò)求出可以通過(guò)求出 時(shí)方程的解而時(shí)方程的解而因?yàn)橐驗(yàn)閚jenx)(),(jeHnje是是LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)系統(tǒng)的特征函數(shù),得到得到此時(shí)的此

29、時(shí)的 。方法三方法三: : 對(duì)方程兩邊進(jìn)行對(duì)方程兩邊進(jìn)行DTFT變換，可得到變換，可得到:00()()NNkkkka y nkb x nk00()()NNjkjjkjkkkka eY eb eX eNkjkkNkjkkjjjeaebeXeYeH00)()()( 可見(jiàn)可見(jiàn) 是一個(gè)有理函數(shù)。當(dāng)需要得到是一個(gè)有理函數(shù)。當(dāng)需要得到時(shí)時(shí), , 往往是先從方程得到往往是先從方程得到 進(jìn)而通過(guò)反變進(jìn)而通過(guò)反變換得到換得到 。)(jeH)(nh),(jeH)(nh二二. .系統(tǒng)的頻率響應(yīng)系統(tǒng)的頻率響應(yīng): : 刻畫了刻畫了LTI系統(tǒng)的頻域特征，它是系系統(tǒng)的頻域特征，它是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的傅立葉變換。統(tǒng)單位脈沖響

30、應(yīng)的傅立葉變換。)(jeH三三. .由方框圖描述的系統(tǒng)由方框圖描述的系統(tǒng): :這說(shuō)明這說(shuō)明: :穩(wěn)定系統(tǒng)可以由其頻率響應(yīng)來(lái)描述。穩(wěn)定系統(tǒng)可以由其頻率響應(yīng)來(lái)描述。)(jeH 由由 所表征的系統(tǒng)應(yīng)該是穩(wěn)定系統(tǒng)。所表征的系統(tǒng)應(yīng)該是穩(wěn)定系統(tǒng)。 3/4D DD D( )x n( )y n212()jW e如果如果 ，則，則 存在。存在。| ( )|nh n )(jeH但并非所有的但并非所有的LTI系統(tǒng)都一定存在頻率響應(yīng)。系統(tǒng)都一定存在頻率響應(yīng)。2()jjW ee()jjW ee22227124()133121244jjjjjjjjeeeH eeeee 通過(guò)對(duì)圖中兩個(gè)加法器的輸出列方程可得到通過(guò)對(duì)圖中兩個(gè)加法器的輸出列方程可得到:23()()2()()4jjjjjjW eX eW eeW ee2()()2()()jjjjjjY eX eW eeW ee23()(12)()4jjjjX eeeW e由上式可得：由上式可得：27()(1)()4jjjY eeW e后一節(jié)點(diǎn)后一節(jié)點(diǎn)前一節(jié)點(diǎn)前一節(jié)點(diǎn)四四. LTI系統(tǒng)的頻域分析方法系統(tǒng)的頻域分析方法:2. 2. 根據(jù)系統(tǒng)的描述，求得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)根據(jù)系統(tǒng)的描述，求得系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 。()jH e