離散時間信號及其Z變換

1、第第3131節(jié)節(jié) 離散時間信號離散時間信號一、序列一、序列離散時間信號的定義離散時間信號的定義 信號是指僅在不連續(xù)的離散時刻有確定函數(shù)信號是指僅在不連續(xù)的離散時刻有確定函數(shù)值的信號，簡稱離散信號，也稱離散序列。值的信號，簡稱離散信號，也稱離散序列。 時間上離散的數(shù)據(jù)在時域內(nèi)表示為信號，其時間上離散的數(shù)據(jù)在時域內(nèi)表示為信號，其只在離散時刻才有定義。工程上是從連續(xù)時間信號經(jīng)抽樣只在離散時刻才有定義。工程上是從連續(xù)時間信號經(jīng)抽樣得到的離散時間信號。得到的離散時間信號。)(tfRsT每隔時間間隔 閉合一次St)(tf012344.504.51234n-1-2-34.343.13.83.52.50.7)

2、(nf)(nf 7 . 0,5 . 2,5 . 3,4,5 . 4,3 . 4,8 . 3,1 . 3)(0nnf第第3 3章章 第第1 1節(jié)節(jié) 離散時間信號離散時間信號二、基本序列（離散時間信號）二、基本序列（離散時間信號） 1、單位抽樣（脈沖）序列、單位抽樣（脈沖）序列)(n 0 00 1)(nnn knknkn 0 1)( 第第3 3章章 第第1 1節(jié)節(jié) 離散時間信號離散時間信號二、基本序列（離散時間信號）二、基本序列（離散時間信號） 2、單位階躍序列、單位階躍序列)(nu 0)()(,0 00 1)(mmnnunnnu 也也可可表表示示為為： knknknu 0 1)(第第3 3章章

3、第第1 1節(jié)節(jié) 離散時間信號離散時間信號二、基本序列（離散時間信號）二、基本序列（離散時間信號） 3、矩形序列、矩形序列)(nRN)()()( 010 1)(NnununRnNnnRNN 或或）其其他他R4(n)01231n第第3 3章章 第第1 1節(jié)節(jié) 離散時間信號離散時間信號二、基本序列（離散時間信號）二、基本序列（離散時間信號） 4、單邊指數(shù)序列、單邊指數(shù)序列0123n)(nuan-1110 a0123n)(nuan-111a0123n)(nuan-111a)()(nuanxn 0123n)(nuan-1101a0123n)(nuan-111a-10123n)(nuan-111a-1-1

4、4第第3 3章章 第第1 1節(jié)節(jié) 離散時間信號離散時間信號二、基本序列（離散時間信號）二、基本序列（離散時間信號） 5、斜變序列、斜變序列)()(nunnR 第第3 3章章 第第1 1節(jié)節(jié) 離散時間信號離散時間信號二、基本序列（離散時間信號）二、基本序列（離散時間信號） 6、正弦、余弦序列、正弦、余弦序列數(shù)數(shù)字字角角頻頻率率。余余弦弦：正正弦弦：000cos)(sin)( nnxnnx 第第3 3章章 第第1 1節(jié)節(jié) 離散時間信號離散時間信號二、基本序列（離散時間信號）二、基本序列（離散時間信號） 6、正弦、余弦序列、正弦、余弦序列 周期序列：如果對所有周期序列：如果對所有n n存在一個最小的

5、正整數(shù)存在一個最小的正整數(shù)N N，使下面等，使下面等式成立：式成立： x(n)=x(n+N), -nx(n)=x(n+N), -n 則稱序列則稱序列x(n)x(n)為周期性序列，周期為為周期性序列，周期為N N，注意，注意N N要取整數(shù)。要取整數(shù)。正弦序列的周期性：正弦序列的周期性：必須為整數(shù)或有理數(shù)！必須為整數(shù)或有理數(shù)！條件：條件：正弦序列是周期序列的正弦序列是周期序列的或或即：即：要滿足：要滿足：0000002222)sin(sin mNmNmNNnn 第第3 3章章 第第1 1節(jié)節(jié) 離散時間信號離散時間信號二、基本序列（離散時間信號）二、基本序列（離散時間信號） 6、正弦、余弦序列、正弦

6、、余弦序列。是周期序列（是周期序列（為有理數(shù)為有理數(shù)即：即：例如：例如：)2,11,2112114sin)(0 mNnnx 第第3 3章章 第第1 1節(jié)節(jié) 離散時間信號離散時間信號二、基本序列（離散時間信號）二、基本序列（離散時間信號） 6、正弦、余弦序列、正弦、余弦序列不是周期序列。不是周期序列。為無理數(shù)為無理數(shù)即：即：再例如：再例如：,10251sin)(0 nnx0123nn51sin-1-21456789 10 11 120.20.390.560.840.720.930.9910.970.910.81-0.2-0.390.680.520.330.14-0.06-0.2613 14 15

7、16 17第第3 3章章 第第1 1節(jié)節(jié) 離散時間信號離散時間信號二、基本序列（離散時間信號）二、基本序列（離散時間信號） 7、復(fù)指數(shù)序列、復(fù)指數(shù)序列 202sincos)(000)2(00000 或或的有效取值區(qū)間為：的有效取值區(qū)間為：即即為周期的周期函數(shù)！為周期的周期函數(shù)！在頻域是以在頻域是以由此可得：復(fù)指數(shù)序列由此可得：復(fù)指數(shù)序列為正整數(shù)）為正整數(shù)）（取整數(shù)，則有：取整數(shù)，則有：由于由于keennjnenxknjnjnj第第3 3章章 第第1 1節(jié)節(jié) 離散時間信號離散時間信號二、基本序列（離散時間信號）二、基本序列（離散時間信號） 8、用單位脈沖序列、用單位脈沖序列 表示任意的序列表示任

8、意的序列)(n)(nx kknkxknkxnxnxnxnxnxnx)()()()()2()2()1()1( )()0()1()1()2()2()( 0n)(nf123-2-112-1-2-3)2()2()1(3)0(1)1(0)2()1()3(2)( nf例例如如：第第3 3章章 第第1 1節(jié)節(jié) 離散時間信號離散時間信號三、序列的運算三、序列的運算 1、相加、相加 兩個序列同序號（同一時刻）的序列值對應(yīng)相加。兩個序列同序號（同一時刻）的序列值對應(yīng)相加。)()()(nynxnz序列的累加（求和）：序列的累加（求和）：nmmxny)()(。與與過過去去所所有有時時刻刻值值的的和和的的值值當(dāng)當(dāng)前前時

9、時刻刻的的值值是是當(dāng)當(dāng)前前時時刻刻表表示示nnxnny)()(0n)(nf12-11-1230n)(ny12-11233224求和第第3 3章章 第第1 1節(jié)節(jié) 離散時間信號離散時間信號三、序列的運算三、序列的運算 2、相乘、相乘 兩個序列同序號（同一時刻）的序列值對應(yīng)相乘。兩個序列同序號（同一時刻）的序列值對應(yīng)相乘。)()()(nynxnz序列的數(shù)乘：序列的數(shù)乘：)()(nxany第第3 3章章 第第1 1節(jié)節(jié) 離散時間信號離散時間信號三、序列的運算三、序列的運算 3、移位（延時）、移位（延時）)()(mnxnz為為負負時時是是左左移移。右右移移，為為正正時時是是，則則的的移移位位序序列列，

10、若若是是表表示示mmnnxnz0)()(第第3 3章章 第第1 1節(jié)節(jié) 離散時間信號離散時間信號三、序列的運算三、序列的運算 4、反褶（轉(zhuǎn)置）、反褶（轉(zhuǎn)置）)()(nxnz第第3 3章章 第第1 1節(jié)節(jié) 離散時間信號離散時間信號三、序列的運算三、序列的運算 5、尺度變換、尺度變換壓縮和擴展壓縮和擴展 序列的壓縮也稱為序列的抽取，即將序列中的某些值序列的壓縮也稱為序列的抽取，即將序列中的某些值去除后剩下的序列值按次序重新排列，其結(jié)果使序列縮短。去除后剩下的序列值按次序重新排列，其結(jié)果使序列縮短。)()()(為正整數(shù)為正整數(shù)AAnxnz第第3 3章章 第第1 1節(jié)節(jié) 離散時間信號離散時間信號三、序

11、列的運算三、序列的運算 5、尺度變換、尺度變換壓縮和擴展壓縮和擴展 序列的擴展也稱為序列的延伸（補零、內(nèi)插零值），是序列的擴展也稱為序列的延伸（補零、內(nèi)插零值），是在原序列的相鄰序號之間插入零值，重新排列使原序列延長。在原序列的相鄰序號之間插入零值，重新排列使原序列延長。 )(0), 2, 1, 0;()()(AknkAknAnxnz第第3 3章章 第第1 1節(jié)節(jié) 離散時間信號離散時間信號三、序列的運算三、序列的運算 6、差分運算、差分運算 差分是指同一個序列中相鄰序列號的兩個序列值之差，差分是指同一個序列中相鄰序列號的兩個序列值之差，根據(jù)所取序列相鄰次序的不同分為前向差分和后向差分。根據(jù)所取

12、序列相鄰次序的不同分為前向差分和后向差分。)()1()()()1()(nxnxnxnxnxnx 后向差分：后向差分：前向差分：前向差分：)()()()(11nxnxnxnxmmmm 高階差分運算是對序列作連續(xù)多次的差分運算：高階差分運算是對序列作連續(xù)多次的差分運算：)2()1(2)()1()()()(2 nxnxnxnxnxnxnx例如：例如：第第3 3章章 第第1 1節(jié)節(jié) 離散時間信號離散時間信號三、序列的運算三、序列的運算 7、卷積運算、卷積運算圖解示例圖解示例 nkknxkxnxnx02121)()()()(01n)(1nf12220n)(2nf132321101k12220k)(2kf

13、1323211)(1kf0k)(2kf23-2-111、置換、置換 2、反褶反褶第第3 3章章 第第1 1節(jié)節(jié) 離散時間信號離散時間信號三、序列的運算三、序列的運算 7、卷積運算、卷積運算圖解示例圖解示例01k122133)(1kf)3(2kf21201k1222133)(1kf)4(2kf212401k1222133)(1kf)5(2kf224501k1222133)(1kf)(2knf22n2n1n3、移位、移位 4、相乘、相乘 5、求和求和02n)(ny10721113455101n)(1nf12220n)(2nf1323211y(0)=2 y(1)=7 y(2)=11y(3)=10 y

14、(4)=5 y(5)=1*第第3 3章章 第第2 2節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z變換變換一、一、Z Z變換的定義變換的定義 1、由沖激抽樣信號的拉普拉斯變換來定義、由沖激抽樣信號的拉普拉斯變換來定義 nssnsTssnTtnTfnTttfttftfTtf)()()()()()()()( 信信號號為為：的的沖沖激激抽抽樣樣，可可得得抽抽樣樣進進行行間間隔隔為為對對連連續(xù)續(xù)信信號號 -n-nLLssnTsssssenTfnTtnTftfsF)()()()()( ，可得：，可得：對其進行拉普拉斯變換對其進行拉普拉斯變換。因因果果序序列列：變變換換單單邊邊工工程程上上，變變換換雙雙邊邊的的函函數(shù)數(shù)為為：則

15、則可可得得一一個個令令0, 0)(Z)()(Z)()(),()(,0 nnxznxzXznxzXznTxnxeznnsSTsn-n第第3 3章章 第第2 2節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z變換變換一、一、Z Z變換的定義變換的定義 2、直接定義、直接定義連連續(xù)續(xù)的的復(fù)復(fù)變變量量變變換換單單邊邊變變換換雙雙邊邊變變換換定定義義為為：的的序序列列zznxzXznxzXznxnn 0Z)()(Z)()()(n-n第第3 3章章 第第2 2節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z變換變換二、二、Z Z變換的收斂域變換的收斂域 1、收斂條件和收斂域的定義、收斂條件和收斂域的定義 序列的序列的Z Z變換是一個冪級數(shù)，只有收斂時才

16、有意義。根據(jù)變換是一個冪級數(shù)，只有收斂時才有意義。根據(jù)級數(shù)收斂的條件可得，級數(shù)收斂的條件可得，X X( (z z) )收斂的條件是級數(shù)絕對可和。收斂的條件是級數(shù)絕對可和。 |)(| nnznx 收斂域的收斂域的定義：使序列定義：使序列x x( (n n) )的的Z Z變換變換X X( (z z) )收斂的復(fù)平面上所有收斂的復(fù)平面上所有Z Z的集合，可用圖形來表示，稱為該的集合，可用圖形來表示，稱為該Z Z 變換的收斂域。記為變換的收斂域。記為ROCROCRegion of ConvergenceRegion of Convergence0RezImzjImzjRezRezImzja0aaabb

17、0aa第第3 3章章 第第2 2節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z變換變換二、二、Z Z變換的收斂域變換的收斂域 2、收斂性的判定方法、收斂性的判定方法 nnnnznxa)(若有正項級數(shù)：若有正項級數(shù)：（1 1）比值判別法）比值判別法（2 2） 根值判別法根值判別法Raannn 1lim不不定定發(fā)發(fā)散散收收斂斂111RRRRannn lim第第3 3章章 第第2 2節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z變換變換二、二、Z Z變換的收斂域變換的收斂域 2、收斂性的判定方法、收斂性的判定方法)()(nuanxn 例如：已知序列例如：已知序列 010)()(ZnnnnnazzazX變換為：變換為：則其則其或或由由Razaa

18、nnn 11limazazzzazXzXaz ,111)()(1收收斂斂，且且時時，可可得得：Razaznnn 11lim第第3 3章章 第第2 2節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z變換變換二、二、Z Z變換的收斂域變換的收斂域 3、序列特性對收斂域的影響、序列特性對收斂域的影響 （1）有限長序列（有始有終序列）有限長序列（有始有終序列） 在有限區(qū)間內(nèi)，有非零的有限值的序列在有限區(qū)間內(nèi)，有非零的有限值的序列 ，則，則2121)()(nnnznxzXnnnn )(nxRezImzj0有限長序列收斂域：有限長序列收斂域：n10， n20時，時， 0zn10時，時， 00時，時， 0z 第第3 3章章 第第2

19、 2節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z變換變換二、二、Z Z變換的收斂域變換的收斂域 3、序列特性對收斂域的影響、序列特性對收斂域的影響 （2）右邊序列（有始無終序列）右邊序列（有始無終序列） 右邊序列是指序列右邊序列是指序列。時時當(dāng)當(dāng)0)(,),(1 nxnnnx nnznxzXnnn11)()(11)(lim1)(limxxnnnnnRzzRnxznx 收斂半徑收斂半徑Imzj1xRRez圓外為收斂域圓外為收斂域02xRImzjRez第第3 3章章 第第2 2節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z變換變換二、二、Z Z變換的收斂域變換的收斂域 3、序列特性對收斂域的影響、序列特性對收斂域的影響 （3）左邊序列（無

20、始有終序列）左邊序列（無始有終序列） 左邊序列是指序列左邊序列是指序列。時時當(dāng)當(dāng)0)(,),(2 nxnnnx22)()(nnznxzXnnn 2)()(nnnznxzX或或：2)(lim1)(lim1)(lim1xnnnnnnnRnxzznxznx 收斂半徑收斂半徑圓內(nèi)為收斂域，圓內(nèi)為收斂域，若若 則不包括則不包括z=0z=0點點02n0ImzjRez 有環(huán)狀收斂域有環(huán)狀收斂域第第3 3章章 第第2 2節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z變換變換二、二、Z Z變換的收斂域變換的收斂域 3、序列特性對收斂域的影響、序列特性對收斂域的影響 （4）雙邊序列（無始無終序列）雙邊序列（無始無終序列） 雙邊序列雙邊

21、序列變變換換為為：其其Z,),( nnx 10)()()()(nnnnnnznxznxznxzX圓內(nèi)收斂圓內(nèi)收斂圓外收斂圓外收斂2xR1xR12xxRR 沒有收斂域沒有收斂域12xxRR0第第3 3章章 第第2 2節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z變換變換二、二、Z Z變換的收斂域變換的收斂域 3、序列特性對收斂域的影響、序列特性對收斂域的影響例：例：)8()(31)()3( nununxn有限長序列有限長序列)()(11)(31)(31783181318131801 zzzzzzzXnn3131283180)(82 zzezezKjkj 8 8個零點個零點7 7階極點階極點1 1階極點階極點收斂域為除

22、了收斂域為除了 0 0 和和 的整個的整個 平面平面zRezImzj0第第3 3章章 第第2 2節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z變換變換二、二、Z Z變換的收斂域變換的收斂域 3、序列特性對收斂域的影響、序列特性對收斂域的影響例：例：)(31)()1(nunxn 右邊序列31311131)(101 zzzzzXnn311 xR31 z311xR31ImzjRez0第第3 3章章 第第2 2節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z變換變換二、二、Z Z變換的收斂域變換的收斂域 3、序列特性對收斂域的影響、序列特性對收斂域的影響) 1(31)()2( nunxn例：例：左邊序列左邊序列313111)3(13131)(10

23、1111 zzzzzzzXmmmmnmnn001311)3(lim22 znRzzxnnn收斂半徑收斂半徑圓內(nèi)為收斂域，圓內(nèi)為收斂域，若若 則不包括則不包括z=0z=0點點02n2xR31ImzjRez0第第3 3章章 第第2 2節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z變換變換二、二、Z Z變換的收斂域變換的收斂域 3、序列特性對收斂域的影響、序列特性對收斂域的影響例：例：nnx 31)()4(雙邊序列雙邊序列)(3(31133131)(3138101 zzzzzzzzzXnnnnn331 zImzjRez0331第第3 3章章 第第2 2節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z變換變換三、典型序列的三、典型序列的Z Z變換

24、變換 1、單位抽樣（沖激）序列、單位抽樣（沖激）序列1)()( nnznzX 。收收斂斂域域：即即： zn01)( 第第3 3章章 第第2 2節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z變換變換三、典型序列的三、典型序列的Z Z變換變換 2、單位階躍序列、單位階躍序列11)(210 zzzzzzXnn。收收斂斂域域：即即：11)( zzznu第第3 3章章 第第2 2節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z變換變換三、典型序列的三、典型序列的Z Z變換變換 3、矩形序列、矩形序列1)1(210111)( zzzzzzzXNNnn。收收斂斂域域：即即： zzznRNN011)(1第第3 3章章 第第2 2節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z變

25、換變換三、典型序列的三、典型序列的Z Z變換變換 4、斜變序列、斜變序列20)1()()( zznznunZTzXnn。收收斂斂域域：即即：1)1()(2 zzznun第第3 3章章 第第2 2節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z變換變換三、典型序列的三、典型序列的Z Z變換變換 5、單邊指數(shù)序列、單邊指數(shù)序列 00)()(nnnnnnazzzazanuazXZT。收收斂斂域域：即即：azazznuan )(第第3 3章章 第第2 2節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z變換變換三、典型序列的三、典型序列的Z Z變換變換 6、正、余弦序列、正、余弦序列)1(1cos2sin2/ )(2/ )(sin0200000000

26、00 zzzzjezzezzjeeZTnZTezzeZTezzeZTjjnjnjjnjjnj 所以：所以：，因為：因為：)1(1cos2)cos(2/ )(2/ )(cos02000000 zzzzzezzezzeeZTnZTjjnjnj 第第3 3章章 第第2 2節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z變換變換四、四、Z Z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì) 1、線性、線性 yyxxRzRzYnyZTRzRzXnxZT, )()(, )()(若若：* *即滿足均勻性與疊加性；即滿足均勻性與疊加性；* *收斂域為兩者重疊部分。收斂域為兩者重疊部分。),min(),max()()()()( yxyxRRzRRzbYzaXnb

27、ynaxZT收斂域：收斂域：則：則：第第3 3章章 第第2 2節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z變換變換四、四、Z Z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì)平平面面。到到整整個個擴擴大大，收收斂斂域域由由處處的的零零、極極點點相相互互抵抵消消由由線線性性性性質(zhì)質(zhì)可可得得則則解解：設(shè)設(shè)變變換換。的的例例：求求序序列列zazazazaazzzYzXnynxZTnuanuaZTazazazYazazzzXnuanynuanxanuanuannnnnn 1)()()()()1()()()()()()1()(, )()(Z0),1()(第第3 3章章 第第2 2節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z變換變換四、四、Z Z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì) 2

28、、移位性（時移性）、移位性（時移性） 10)()()(;)()(mkkmmxxmzkxzXzmnxZTRzRzXzmnxZT則：則： xxRzRzXnxZT, )()(若若：例：求序列例：求序列x(n)=u(n)-u(n-3)x(n)=u(n)-u(n-3)的的z z變換。變換。1,111)(1,11)3(1,1)(22223 zzzzzzzznxZTzzzzzznuZTzzznuZT解解：第第3 3章章 第第2 2節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z變換變換四、四、Z Z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì) 3、z域微分特性（線性加權(quán)特性）域微分特性（線性加權(quán)特性） xxRzRzXnxZT, )()(若若： xxRzR

29、zXdzdznnxZT, )()(則：則：)()()()()()()()()()()()(,)()(11zXdzdznxnZTdzzdXznnxZTznnxzznnxzdzdnxznxdzddzzdXznxzXkkknnnnnnnnnn ，即即，對對其其兩兩端端求求導(dǎo)導(dǎo)得得證證明明：第第3 3章章 第第2 2節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z變換變換四、四、Z Z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì) 3、z域微分特性（線性加權(quán)特性）域微分特性（線性加權(quán)特性）2)()()()(z)()(z)()(azzaazzdzdzzXdzdznunaZTnunaazzzXnuanxnnn 解解：由由微微分分特特性性可可得得變變換換。

30、的的試試求求序序列列，變變換換的的例例：已已知知序序列列第第3 3章章 第第2 2節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z變換變換四、四、Z Z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì) 4、z域尺度變換特性（序列指數(shù)加權(quán)特性）域尺度變換特性（序列指數(shù)加權(quán)特性） xxnRazRaazXnxaZT;)()(則：則： xxRzRzXnxZT, )()(若若： xxxxnnnnnnRazRaRazRazXaznxznxanxaZ即即證明：證明：;)()()()(第第3 3章章 第第2 2節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z變換變換四、四、Z Z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì) 4、z域尺度變換特性（序列指數(shù)加權(quán)特性）域尺度變換特性（序列指數(shù)加權(quán)特性）00000

31、0)1/()/()()()(1)(z)()()(,)(z)()( jjjjnjnjezzezezezEnyZTzYzzzEnunuanyeazYnueny 則則變變換換為為：的的又又已已知知。則則解解：設(shè)設(shè)。變變換換的的例例：試試求求序序列列第第3 3章章 第第2 2節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z變換變換四、四、Z Z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì) 5、時域卷積特性、時域卷積特性,min,max)()()()()()(, )()(, )()()()()()()( hxhxhhxxmRRzRRzHzXnhnxZTnyZTzYRzRzHnhZTRzRzXnxZTmnhmxnhnxny收斂域：收斂域：則：則：，若：

32、若：卷積：卷積：第第3 3章章 第第2 2節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z變換變換四、四、Z Z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì) 5、時域卷積特性、時域卷積特性)()()()()()(11)()()()(1)1()()()1(1)()(1),1()()(),()(1111nuazYZTnhnxnyazazzazzzzzHzXzYazazzzazzazznuanuaZTzHzzznuZTzXanuanuanhnunxnnnnn 由由時時域域卷卷積積特特性性可可得得又又解解：的的卷卷積積。例例：試試求求兩兩序序列列第第3 3章章 第第3 3節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z反變換反變換 已知序列已知序列x(n)的的Z Z變換變

33、換X(z)及其收斂域及其收斂域ROC，求序列，求序列x(n)稱為稱為Z Z反變換。序列的反變換。序列的Z Z變換及其變換及其Z Z反變換表示如下：反變換表示如下： 求求Z Z反變換的方法：反變換的方法： 1. 1. 圍線積分法圍線積分法 2. 2. 冪級數(shù)展開法冪級數(shù)展開法( (長除法長除法) ) 3. 3. 部分分式展開法部分分式展開法),(,)(21)(,)()(1 xxcnxxnnRRcdzzzXjnxRzRznxzX 第第3 3章章 第第3 3節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z反變換反變換一、圍線積分法（用留數(shù)定理）一、圍線積分法（用留數(shù)定理） 如果如果X X( (z z) )z zn n-1-

34、1在圍線在圍線c c內(nèi)的極點用內(nèi)的極點用z zk k表示，表示， 根據(jù)留數(shù)根據(jù)留數(shù)定理：定理： 式中式中 表示表示被積函數(shù)被積函數(shù)X X( (z z) )z zn n-1-1在極點在極點z=zz=zk k的留的留數(shù)，數(shù)，Z Z反變換則是圍線反變換則是圍線c c內(nèi)所有的內(nèi)所有的極點留數(shù)之和。極點留數(shù)之和。 kkncnzzzXsdzzzXjnx,)(Re)(21)(11 1Re ( ),nks X z zz xxRzR收收斂斂域域：第第3 3章章 第第3 3節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z反變換反變換一、圍線積分法（用留數(shù)定理）一、圍線積分法（用留數(shù)定理） 如果如果z zk k是一階極點，是一階極點， 則

35、根據(jù)留數(shù)定理則根據(jù)留數(shù)定理如果如果z zk k是是N N階極點，階極點， 則根據(jù)留數(shù)定理則根據(jù)留數(shù)定理11111Re ( ), ()( )(1)!kNnNnkkz zNds X z zzz zX z zNdz11Re ( ),()( )knnkkz zs X z zzzzX z z第第3 3章章 第第3 3節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z反變換反變換一、圍線積分法（用留數(shù)定理）一、圍線積分法（用留數(shù)定理） 例例1 1 解：解： ?)(1)5 . 0)(1(12)(23 nxzzzzzzzX求求。，已知已知)(1nxz 必然是因果序列，右邊序列。必然是因果序列，右邊序列。mmzznnnzznzzzzzz

36、szzXsnx 1231)5 .0)(1(12Re)(Re)(0, 5 . 0, 1, 10, 5 . 0, 1, 05 . 0, 1, 23214,32121 zzznzzznzzn第第3 3章章 第第3 3節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z反變換反變換一、圍線積分法（用留數(shù)定理）一、圍線積分法（用留數(shù)定理） nznznzzzzzzzznxn)5 . 0(1381125 . 012)(2) 1 (5 . 02321232 11386)5 . 0(138)5 . 0)(1(12)(0)2(00223 zzzzzznxn5 . 3)5 . 0(1382)5 . 0(138)5 . 0)(1(12)(1)3

37、(1023 zzzzzznxn第第3 3章章 第第3 3節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z反變換反變換二、冪級數(shù)展開法（長除法）二、冪級數(shù)展開法（長除法） 按照按照Z Z變換的定義：變換的定義： 可以用長除法將可以用長除法將X(z)寫成冪級數(shù)形式，級數(shù)的系數(shù)寫成冪級數(shù)形式，級數(shù)的系數(shù)就是序列就是序列x(n)。 注意：在進行長除前，要先根據(jù)給定的收斂域是圓注意：在進行長除前，要先根據(jù)給定的收斂域是圓外域還是圓內(nèi)域，確定外域還是圓內(nèi)域，確定x(n)是右邊序列還是左邊序列。是右邊序列還是左邊序列。如果如果x(n)是右邊序列，級數(shù)應(yīng)是負冪級數(shù)；是右邊序列，級數(shù)應(yīng)是負冪級數(shù)； 如如x(n)是左是左邊序列，級數(shù)則是

38、正冪級數(shù)。邊序列，級數(shù)則是正冪級數(shù)。 xxnnRzRznxzX,)()(第第3 3章章 第第3 3節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z反變換反變換二、冪級數(shù)展開法（長除法）二、冪級數(shù)展開法（長除法）?)()(11)(1 nxazazzX求求。，已知已知 例例2 2 解：解： 用長除法展開：用長除法展開： )(nxaz 必然是因果序列，右邊序列。必然是因果序列，右邊序列。1221112222111aza zazazaza za z 11az第第3 3章章 第第3 3節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z反變換反變換二、冪級數(shù)展開法（長除法）二、冪級數(shù)展開法（長除法）?)(11)(1nxazazzX求求。，已知已知 例例2

39、 2 解：解： 用長除法展開：用長除法展開： )(nxaz必然是因果序列，右邊序列。必然是因果序列，右邊序列。122330( )1( )( )nnnnX zaza za za zx na u n , 1),2(),1(),0()(2aaxxxnx 即即)(nxaz 第第3 3章章 第第3 3節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z反變換反變換二、冪級數(shù)展開法（長除法）二、冪級數(shù)展開法（長除法）az 討論：討論：若將收斂域換為若將收斂域換為 ，則：，則： 用長除法展開：用長除法展開： )(nxaz 是左邊序列。是左邊序列。12233111222211azazazazazazazaz11 az第第3 3章章 第第

40、3 3節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z反變換反變換二、冪級數(shù)展開法（長除法）二、冪級數(shù)展開法（長除法）,),3(),2(),1()(321 aaaxxxnx即即由長除結(jié)果可得：由長除結(jié)果可得： 1122( )( )(1)nnnnX za za za zx na un 第第3 3章章 第第3 3節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z反變換反變換三、部分分式展開法三、部分分式展開法 部分分式展開法是將部分分式展開法是將X(z)展成簡單的部分分式之和，展成簡單的部分分式之和，然后獲得各部分分式的然后獲得各部分分式的z z反變換，最后將它們相加即可得反變換，最后將它們相加即可得序列序列x(n)。kkkkrrrrzazaza

41、azbzbzbbzX 11101110)(000abArkkmmmpzzAAzX10)(00ArkkmmmzpAzX111)( kmmmpzAzzX1)(zzX)(只有一階極點：只有一階極點：，Am 是是 在在pm 處的留數(shù)。處的留數(shù)。第第3 3章章 第第3 3節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z反變換反變換三、部分分式展開法三、部分分式展開法mmpzmpzmpzzzXzzXsA )()()(Re)()()(01nAnupAnxnmkmm )(Rz )(Rz )()1()(01nAnupAnxnmkmm 第第3 3章章 第第3 3節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z反變換反變換三、部分分式展開法三、部分分式展開法 S

42、jjjMmmmzzBpzzAAzX110)( jzsjjsjsjzzXzdzdjsB )()()!(1式中：式中：除了除了M個一階極點外，還有一個個一階極點外，還有一個s階高階極點，則：階高階極點，則：第第3 3章章 第第3 3節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z反變換反變換三、部分分式展開法三、部分分式展開法?)(2)2)(1(485)(223 nxzzzzzzX求求。，已知已知 例例3 3 解：解：6)()2(5)()2()!12(11)()1(Re1)(Re)2(21)(210)2)(1(485)(2222211201221212122321 iizzzzizzXzBzzXzdzdBzzXzsAzz

43、XzsAzBzBzAzAzzXzzzzzzzzzzX對二階極點：對二階極點：對一階極點：對一階極點：，由此可得展開式：，由此可得展開式：還有一個二階極點還有一個二階極點，和和可知其有兩個一階極點可知其有兩個一階極點由由第第3 3章章 第第3 3節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z反變換反變換三、部分分式展開法三、部分分式展開法?)(2)2)(1(485)(223 nxzzzzzzX求求。，已知已知 例例3 3 解：解：)(2)35()1()(26)(25)()()(, 2)2(62511)(12nunnununnununnxzzzzzzzzXnnn 列，由此可得：列，由此可得：序列為右邊（因果）序序列為右

44、邊（因果）序由以上計算結(jié)果可得：由以上計算結(jié)果可得：第第3 3章章 第第3 3節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z反變換反變換用用MATLABMATLAB實現(xiàn)實現(xiàn)Z Z的正、反變換的正、反變換一、一、Z Z變換的命令：變換的命令： 1 1、F=ztrans(f)F=ztrans(f)（常用）（常用） 對連續(xù)時間信號對連續(xù)時間信號f(t)的抽樣值的抽樣值f(nT)進行進行Z Z變換。若信號變換。若信號f的變量是的變量是z z，則得到復(fù)變量的，則得到復(fù)變量的z z變換函數(shù)。變換函數(shù)。 2 2、F=ztrans(f,w)F=ztrans(f,w) 得到復(fù)變量的得到復(fù)變量的Z Z變換函數(shù)。變換函數(shù)。 3 3、F=

45、ztrans(f,k,w)F=ztrans(f,k,w) 對連續(xù)時間信號對連續(xù)時間信號f(t)的抽樣值的抽樣值f(kT)進行進行Z Z變換。變換。第第3 3章章 第第3 3節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z反變換反變換用用MATLABMATLAB實現(xiàn)實現(xiàn)Z Z的正、反變換的正、反變換一、一、Z Z變換的命令：變換的命令：例：例：解：解： syms a z n Tsyms a z n T f=a(n f=a(n* *T)T) F=factor(ztrans(f) % F=factor(ztrans(f) %做因式分解處理做因式分解處理 運行結(jié)果為：運行結(jié)果為： f=a(n f=a(n* *T)T) F=z/(z-exp(log(a) F=z/(z-exp(log(a)* *T)T) 即表示：即表示：變換。變換。的的求求z)(tatf 變換的程序為：變換的程序為：，則，則的采樣值為的采樣值為z)()(nTtanTfatf 。則：則：若若1)(, 1,)(ln zzzFaezzzFaT第第3 3章章 第第3 3節(jié)節(jié) 序列的序列的Z Z反變換反變換用用MATLABMATLAB實現(xiàn)實現(xiàn)Z Z的正、反變換的正、反變換二、二、Z Z反變換的命令：反變換的命令： 1 1、f=iztran