相似三角形培優(yōu)專(zhuān)題講義

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上相似三角形培優(yōu)專(zhuān)題講義知識(shí)點(diǎn)一：比例線段有關(guān)概念及性質(zhì)（1）有關(guān)概念1、兩條線段的比：選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線段量得AB、CD的長(zhǎng)度分別是m、n，那么就說(shuō)這兩條線段的比是AB:CDm：n例：已知線段AB=2.5m,線段CD=400cm，求線段AB與CD的比。2.比例線段：四條線段a、b、c、d中，如果a與b的比等于c與d的比，即（或a：b=c：d），那么，這四條線段a、b、c、d叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱(chēng)比例線段。（注意：在求線段比時(shí)，線段單位要統(tǒng)一，單位不統(tǒng)一應(yīng)先化成同一單位，還要注意順序。）例：b,a,d,c是成比例線段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求線段

2、d的長(zhǎng)度。（2）比例性質(zhì)1.基本性質(zhì): （兩外項(xiàng)的積等于兩內(nèi)項(xiàng)積）2.反比性質(zhì)： (把比的前項(xiàng)、后項(xiàng)交換)3.更比性質(zhì)(交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng))：4.等比性質(zhì)：（分子分母分別相加，比值不變.） 如果，那么注意：(1)此性質(zhì)的證明運(yùn)用了“設(shè)法” ，這種方法是有關(guān)比例計(jì)算，變形中一種常用方法 (2)應(yīng)用等比性質(zhì)時(shí)，要考慮到分母是否為零 (3)可利用分式性質(zhì)將連等式的每一個(gè)比的前項(xiàng)與后項(xiàng)同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)，再利用等比性質(zhì)也成立例：已知5.合比性質(zhì)：（分子加（減）分母,分母不變）知識(shí)點(diǎn)二：平行線分線段成比例定理1.平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。用符號(hào)語(yǔ)言表示：AD/

3、BE/CF,ABBC=DEEF,BCAC=EFDF,ABAC=DEDF 2.推論:平行于三角形一邊的直線與其它兩邊相交，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例。 （1） 是“A”字型（2） 是“8”字型 經(jīng)常考，關(guān)鍵在于找?guī)缀握Z(yǔ)言：由DEBC可得：.此推論較原定理應(yīng)用更加廣泛,條件是平行.例：如圖，在四邊形ABCD中，AD/BC,EF/BC,AGGC=23，則DFDC=_。知識(shí)點(diǎn)三：相似形多邊形1.定義：各角分別相等、各邊成比列的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形。2.相似多邊形的性質(zhì)：如果兩個(gè)多邊形是相似形，那么這兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例。3.判定：如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比列，對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)多邊形

4、相似。（注意：判斷兩個(gè)多邊形相似時(shí)，一要看各個(gè)角是否對(duì)應(yīng)相等，二要看各條邊是否對(duì)應(yīng)成比列，這兩個(gè)條件缺一不可。）4.任意兩個(gè)等邊三角形相似，任意兩個(gè)正方形相似，任意兩個(gè)正n邊形相似。例1：下列判斷正確的是（ ）A.兩個(gè)矩形一定相似 。 B.兩個(gè)平行四邊形一定相似。C.兩個(gè)正方形一定相似。 D.兩個(gè)菱形一定相似。例2：小明將一張報(bào)紙對(duì)折，發(fā)現(xiàn)對(duì)折后的半張報(bào)紙與整張報(bào)紙相似，你能算出報(bào)紙的長(zhǎng)與寬的比嗎？知識(shí)點(diǎn)四：黃金分割(1) 定義：在線段AB上，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果，即AC2=AB×BC，那么稱(chēng)線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫

5、做黃金比。所以：0.618。 例：已知線段AB=10cm,點(diǎn)C是AB的 黃金分割點(diǎn)，且ACBC ，求AC和BC的長(zhǎng)。(2）黃金分割的幾何作圖：已知：線段AB.求作：點(diǎn)C使C是線段AB的黃金分割點(diǎn).作法：過(guò)點(diǎn)B作BDAB，使BD=12AB；連結(jié)AD，在DA上截取DE=DB；在AB上截取AC=AE，則點(diǎn)C就是所求作的線段AB的黃金分割點(diǎn).黃金分割的比值為：.（3）黃金矩形：在矩形中，如果寬與長(zhǎng)的比是黃金比，那么這個(gè)矩形叫做黃金矩形。（4）黃金三角形：頂角為36。的等腰三角形叫做黃金三角形，因?yàn)樵撊切蔚牡走叡壬涎L(zhǎng)等于5-12例：如圖，ABC中，A=36°，AB=AC，BD是角平分線(1

6、)求證：AD2=CD·AC；(2)若AC=a，求AD 知識(shí)點(diǎn)五：相似三角形1、 相似三角形（1）定義：三角對(duì)應(yīng)相等，三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似。幾種特殊三角形的相似關(guān)系：兩個(gè)全等三角形一定相似（相似比為1）。兩個(gè)等腰直角三角形一定相似。兩個(gè)等邊三角形一定相似。兩個(gè)直角三角形和兩個(gè)等腰三角形不一定相似。（2）性質(zhì)：兩個(gè)相似三角形中，對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例。（3）相似比：兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比，叫做這兩個(gè)三角形的相似比。 如ABC與DEF相似，記作ABC DEF。相似比為k。（4）判定：定義法：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似。三角形相似的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直

7、線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。 2.三角形相似的判定定理：判定定理1：兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似。(此定理用的最多)幾何語(yǔ)言：在ABC和DEF中如果<A=<D,<B=<E，那么ABCDEF判定定理2：兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似。幾何語(yǔ)言：（如上圖）在ABC和DEF F中如果<A=<D,且ABDE=ACDF，那么ABCDEF判定定理3：三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似。幾何語(yǔ)言：（如上圖）在ABC和DEF中如果ABDE=ACDF=BCEF，那么ABCDEF例1：如圖，（1）若_,則ABCAEF；（2）若E_，則ABCAEF。直角三角

8、形相似判定定理:.有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似。.斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩直角三角形相似。 3.補(bǔ)充：直角三角形中的相似問(wèn)題：斜邊的高分直角三角形所成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似.射影定理：CD²=AD·BD， AC²=AD·AB，BC²=BD·BA（在直角三角形的計(jì)算和證明中有廣泛的應(yīng)用）.例：如圖，在RtABC中，ACB=90°，CDAB于D，(1)求證：AC2=AD·AB；BC2=BD·BA；(2)求證：CD2=AD·AD；(3)求證：AC·BC=AB·

9、;CD4.相似圖形中常見(jiàn)的基本圖形：5.相似三角形的性質(zhì) 相似三角形對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例. 相似三角形對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)中線、周長(zhǎng)的比都等于相似比(對(duì)應(yīng)邊的比). 相似三角形對(duì)應(yīng)面積的比等于相似比的平方.兩個(gè)相似三角形的相似比等于面積比的算術(shù)平方根任意兩個(gè)相似多邊形的周長(zhǎng)比都等于相似比，面積比都等于相似比的平方。例1：已知ABCDEF，BD和EG是它們的對(duì)應(yīng)中線，ACDF=35，EG=10cm，求BD的長(zhǎng)。例2：如果兩個(gè)相似三角形的面積比為16:25，那么這兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比是_。例3：如圖，在ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB和AC上的點(diǎn)，DE/BC,AD=3BD,SABC=48

10、 求SADE相似的應(yīng)用：位似（1）定義：如果兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱(chēng)為位似比。需注意：位似是一種具有位置關(guān)系的相似，所以?xún)蓚€(gè)圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形。兩個(gè)位似圖形的位似中心只有一個(gè)。兩個(gè)位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè)。位似比就是相似比。（2）性質(zhì)：位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比（相似比）。位似圖形上任意位似對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一條直線上。位似圖形上的對(duì)應(yīng)線段平行或在同一條直線上。位似圖形是特殊的相似圖形，所以它具有相似

11、圖形的一切性質(zhì)。畫(huà)位似圖形的一般步驟： （1）確定位似中心（位似中心可能在圖形內(nèi)部也可能在圖形外部也可能在圖形 上）（2）確定原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)（通常是多邊形的頂點(diǎn)）（3）確定位似比 （4）根據(jù)位似比，找出新圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，最后將各點(diǎn)順次連接。坐標(biāo)變換與圖形的關(guān)系：在直角坐標(biāo)系中，將一個(gè)多邊形每個(gè)頂點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都乘以同一個(gè)數(shù)k（k0），所對(duì)應(yīng)的圖形與原圖形位似，位似中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，他們的相似比為k。例1：下列說(shuō)法中正確的有（ ）（1）位似多邊形一定是相似多邊形。（2）相似多邊形一定是位似多邊形（3）兩個(gè)位似多邊形每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比為23，則兩個(gè)多邊形的面積之比為49。（4）兩個(gè)位似多

12、邊形的對(duì)應(yīng)邊互相平行或在同一直線上。例2：若ABC與DEF關(guān)于點(diǎn)O位似，其位似比是1:2，AO=5，則對(duì)應(yīng)點(diǎn)A、之間的距離是 。例3：在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(6，3)、B(6，0)兩點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心，相似比為13，把線段AB縮短后得到線段A1B1，則A1B1，的長(zhǎng)度等于 。歷年中考試題練習(xí)一、選擇題1、如圖1,已知AD與BC相交于點(diǎn)O,AB/CD,如果B=40°,D=30°,則AOC的大小為（ ）A.60° B.70° C.80° D.120°BACDEABCDO圖12、如圖，已知D、E分別是的AB、 AC邊上的點(diǎn)，且

13、那么等于（ ） A1 : 9 B1 : 3 C1 : 8 D1 : 3、如圖，是由經(jīng)過(guò)位似變換得到的，點(diǎn)是位似中心，分別是的中點(diǎn)，則與的面積比是（ ） ABCD 第3題圖 第4題圖4、如上圖，直角梯形ABCD中，BCD90°，ADBC，BCCD，E為梯形內(nèi)一點(diǎn)，且BEC90°，將BEC繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°使BC與DC重合，得到DCF，連EF交CD于M已知BC5，CF3，則DM:MC的值為 （）A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:45、如圖，在中，、分別是、邊的中點(diǎn)，若，則等于（ ） A5 B4 第5題 A B C D E AC3 D26、已知，相似比為3，且的

14、周長(zhǎng)為18，則的周長(zhǎng)為（ ）A2B3C6D547、如圖,RtABC中,ABAC,AB=3,AC=4,P是BC邊上一點(diǎn),作PEAB于E,PDAC于D,設(shè)BP=x,則PD+PE=（ ）A. B. C. D. 8、 如圖，在RtABC內(nèi)有邊長(zhǎng)分別為的三個(gè)正方形，則滿足的關(guān)系式是（ ）A、 B、 C、 D、EHFGCBA9、如圖，ABC是等邊三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，則圖中陰影部分的面積是ABC的面積的 （ ） 10、下列四個(gè)三角形，與左圖中的三角形相似的是（ ）（第10題）ABCD二、填空題1、如圖，兩點(diǎn)分別在的邊上，與不平行，當(dāng)滿足 條件（寫(xiě)出一個(gè)即可）時(shí)， 第3題圖2、

15、如果兩個(gè)相似三角形的相似比是，那么這兩個(gè)三角形面積的比是 3、如圖，在RtABC中，C為直角，CDAB于點(diǎn)D,BC=3,AB=5,寫(xiě)出其中的一對(duì)相似三角形是 和 ；并寫(xiě)出它的面積比 . 4、兩個(gè)相似三角形的面積比S1:S2與它們對(duì)應(yīng)高之比h1:h2之間的關(guān)系為 5、如圖4，已知ABBD，EDBD，C是線段BD的中點(diǎn)，且ACCE，ED=1，BD=4，那么AB= 第9題圖圖9、如圖，要測(cè)量A、B兩點(diǎn)間距離，在O點(diǎn)打樁，取OA的中點(diǎn) C，OB的中點(diǎn)D，測(cè)得CD=30米，則AB=_米 11、在同一時(shí)刻，身高1.6米的小強(qiáng)在陽(yáng)光下的影長(zhǎng)為0.8米，一棵大樹(shù)的影長(zhǎng)為4.8米，則樹(shù)的高度為_(kāi) _米 三、解答題1、如圖，在ABC中，BC>AC， 點(diǎn)D在BC上，且DCAC,ACB的平分線CF交AD于F，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連結(jié)EF.（1）求證：EFBC.（2）若四邊形BDFE的面積為6，求ABD的面積. 2、如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG,AE與CG相交于點(diǎn)M，CG與AD相交