定積分及其應(yīng)用

1、第五章 定積分及其應(yīng)用一、內(nèi)容分析與教學(xué)建議（一） 定積分與不定積分構(gòu)成積分學(xué)的全貌，為了進(jìn)一步運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的方法解決實(shí)際問題，定積分的思想、概念、理論和計算方法是不可缺少的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。本章的基本知識結(jié)構(gòu)是從實(shí)際問題引入定積分概念，然后建立一整套理論和微積分基本公式，從而完成各種計算方法的建立，最后給出微小元素的思想及步驟。（二） 定積分概念、牛頓萊不尼茲公式關(guān)于定積分的概念，可通過幾個實(shí)例引入特定和式的極限，從中抽象出定積分定義，抓住定義中的本質(zhì)內(nèi)容，分割、近似、求和、取極限來進(jìn)行闡述，并能解釋定義和有關(guān)性質(zhì)的幾何意義，幫助加深和理解。定積分的性質(zhì)和牛頓萊不尼茲公式是構(gòu)成本章的基本理論。各性質(zhì)

2、都是在連續(xù)條件下導(dǎo)出的，講授時，應(yīng)使學(xué)生正確理解它們的形成和作用。對于變上限的定積分的重要性質(zhì)必須分析透徹，從而才能使學(xué)生理解定積分與不定積分的聯(lián)系、區(qū)別，達(dá)到熟練掌握微積分基本公式。（三） 換元積分法、分部積分法換元積分法和分部積分法構(gòu)成本章的基本方法，應(yīng)強(qiáng)調(diào)換元積分與不定積分的換元積分之區(qū)別，教學(xué)中以正反兩方面的具體例子講清“換元要換限”，讓學(xué)生熟練掌握這些基本方法。（四） 廣義積分廣義積分作為定積分的擴(kuò)充，應(yīng)強(qiáng)調(diào)它實(shí)際上是普通定積分的極限，應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生對廣義積分尤其是無界函數(shù)廣義積分的識別能力。（五） 微元法（定積分應(yīng)用）定積分應(yīng)用應(yīng)著重講透處理問題的思想方法 微元法，關(guān)于積分法，可通過回

3、顧定積分定義，介紹什么是微元法，以及微元法所滿足的條件。對微元法的取法，上下限的確定，應(yīng)通過足夠例子熟練運(yùn)用定積分表示一些幾何、物理量。二、補(bǔ)充例題例1. 設(shè)連續(xù)，且，求.解： 記，則兩端積分得： ， 例2. 證明不等式證： ，故即 上式左端為2的二次三項(xiàng)式，故其判別式不大于0，即 得： .例3. 設(shè)在連續(xù)且遞減，證明：當(dāng)時，.證： ，又證，作 ，則只需證：， 又，故當(dāng)， 例4設(shè)在上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明：證： 由積分中值定理，即， 例5. 設(shè)在上連續(xù)，證明：. 證： 由在上連續(xù)，故有最大值，分別在區(qū)間，上應(yīng)用拉格朗日中值定理，有：， ， 從而 例6. 設(shè)，在上連續(xù)，證明至少存在一個使證： 作，

4、由于，在上連續(xù)，所以在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，并有 由羅爾定理，存在，使，即 例7. 設(shè)連續(xù)，證明：證： 令，則 （對第二個積分，令） 例8. 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)且單調(diào)增加，證明在內(nèi)存在點(diǎn)，使曲線與兩直線，所圍平面圖形面積是曲線與兩直線，所圍圖形面積的三倍。證：設(shè)是上任一點(diǎn)，與分別表示圖中兩塊曲邊三角形面積，由于是 的連續(xù)函數(shù)，只要證明該函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)即可。構(gòu)造函數(shù) 由于連續(xù)，因此2在上連續(xù)，又 由連續(xù)函數(shù)介值定理知，使 故 即 例9. 設(shè)平面圖形A由與所確定，求圖形A繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積解： 因與直線的交點(diǎn)為和，選為積分變量，相應(yīng)平面圖形繞旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積微元為其中，故得： 積分得： 第一個積分中，令，得例10. 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間，在開區(qū)間內(nèi)大于零，并滿足（ 常數(shù)），又曲線與，所圍圖形的面積值為，求函數(shù)，問為何值時，圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積最??？解： 由題設(shè)知，當(dāng)時，即，由在連續(xù)性得 ， 又由已知條件得： 從而，因此由于旋轉(zhuǎn)體的體積為 令，所以當(dāng)時，該旋轉(zhuǎn)體體積為最小。 三、補(bǔ)充練習(xí)1. 求 . （0）2. 求 （ ）3設(shè)，求. 4 函數(shù)在上連續(xù)，證明：，并由此計算 5求 6設(shè)函數(shù)在上，且，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得7設(shè)，求 8. 若曲線與軸，軸所圍成的面積被曲線和三等分，試確定，之值