壽險(xiǎn)精算習(xí)題及答案

1、習(xí)題第一章人壽保險(xiǎn)一、n年定期壽險(xiǎn)【例4.1】設(shè)有100個(gè)40歲的人投保了1000元5年期定期壽險(xiǎn)，死亡賠付在死亡年年末，利率為3%。I、如果各年預(yù)計(jì)死亡人數(shù)分別為1、2、3、4、5人，計(jì)算賠付支出；II、根據(jù)93男女混合表，計(jì)算賠付支出。解：I表41 死亡賠付現(xiàn)值計(jì)算表年份年內(nèi)死亡人數(shù)賠付支出折現(xiàn)因子賠付支出現(xiàn)值（1）（2）（3）=1000*(2)（4）（5）=(3)*(4)111000970.872220001885.193330002745.434440003553.955550004313.04合計(jì)-15000-13468.48根據(jù)上表可知100張保單未來賠付支出現(xiàn)值為：（元）則每張保

2、單未來賠付的精算現(xiàn)值為134.68元，同時(shí)也是投保人應(yīng)繳的躉繳純保費(fèi)。解：II表42 死亡賠付現(xiàn)值計(jì)算表年份年內(nèi)死亡人數(shù)賠付支出折現(xiàn)因子賠付支出現(xiàn)值（1）（2）（3）=1000*(2)（4）（5）=(3)*(4)11000*=1.65016501601.9421000*=1.80918091705.1631000*=1.98619861817.4741000*=27951000*=2.39123912062.50合計(jì)-10017-9124.86根據(jù)上表可知100張保單未來賠付支出現(xiàn)值為：（元）則每張保單未來賠付的精算現(xiàn)值為91.25元，同時(shí)也是投保人應(yīng)繳的躉繳純保費(fèi)。

3、【例4.2】某人在40歲時(shí)投保了10000元3年期定期壽險(xiǎn)，死亡賠付在死亡年年末，利率為5%。根據(jù)93男女混合表計(jì)算：I、單位躉繳純保費(fèi)；II、單位賠付現(xiàn)值期望的方差；III、（總）躉繳純保費(fèi)；解：I、單位躉繳純保費(fèi)為，（元）。II、單位賠付現(xiàn)值期望的方差為， III、躉繳純保費(fèi)為，（元）【例4.3】某人在50歲時(shí)投保了100000元30年期定期壽險(xiǎn)，利率為8%。假設(shè)，計(jì)算躉繳純保費(fèi)。解：躉繳純保費(fèi)為，其中，故，（元）二、終身壽險(xiǎn)【例4.4】某人在40歲時(shí)投保了10000元終身壽險(xiǎn)，死亡賠付在死亡年年末，利率為5%。根據(jù)93男女混合表計(jì)算：I、單位躉繳純保費(fèi)；II、單位賠付現(xiàn)值期望的方差；II

4、I、（總）躉繳純保費(fèi)；解：I、單位躉繳純保費(fèi)為，（元）。II、單位賠付現(xiàn)值期望的方差為， III、躉繳純保費(fèi)為，（元）三、n年定期生存壽險(xiǎn)【例4.5】某人在40歲時(shí)投保了10000元20年定期生存壽險(xiǎn)，死亡賠付在死亡年年末，利率為5%。根據(jù)93男女混合表計(jì)算：I、單位躉繳純保費(fèi)；II、單位賠付現(xiàn)值期望的方差；III、（總）躉繳純保費(fèi)；解：I、單位躉繳純保費(fèi)為，（元）II、單位賠付現(xiàn)值期望的方差為，III、躉繳純保費(fèi)為，（元）純保費(fèi)+風(fēng)險(xiǎn)附加費(fèi)用=（元）四、n年定期兩全保險(xiǎn)【例4.6】某人在40歲時(shí)投保了10000元20年兩全壽險(xiǎn)，死亡賠付在死亡年年末，利率為5%。根據(jù)93男女混合表計(jì)算：I、單

5、位躉繳純保費(fèi)；II、單位賠付現(xiàn)值期望的方差；III、（總）躉繳純保費(fèi)；解：I、單位躉繳純保費(fèi)為，（元）II、單位賠付現(xiàn)值期望的方差為， III、躉繳純保費(fèi)為，（元）六、延期壽險(xiǎn)【例4.7】某人在40歲時(shí)投保了一份壽險(xiǎn)保單，死亡年年末賠付，如果在40-60歲死亡，賠付50000元；65-75歲死亡，賠付100000元；在75歲后死亡，保險(xiǎn)金為30000元。利用生命表93U、利率6%條件下的轉(zhuǎn)換基數(shù)表計(jì)算該保單躉繳凈保費(fèi)。解、這份保單可以分解為一份50000元的25年定期壽險(xiǎn)、一份100000元延期25年的10年定期壽險(xiǎn)和一份30000元延期35年的終身壽險(xiǎn)的組合，即， （元）這份保單還可以分解為

6、一份30000元終身壽險(xiǎn)、一份200000元的35年定期壽險(xiǎn)和一份50000元延期25年的10年定期壽險(xiǎn)的組合，即，七、變額壽險(xiǎn)【例4.8】利用計(jì)算基數(shù)表求下列保單在被保險(xiǎn)人50歲簽單時(shí)的1單位元躉繳純保費(fèi)和方差，死亡年度末給付，年利率6%，參照生命表（U,93,1000000）:I、終身壽險(xiǎn)；II、20年定期壽險(xiǎn)；III、20年定期兩全保險(xiǎn)；IV、延期10年終身壽險(xiǎn)；V、延期10年的20年定期壽險(xiǎn)；VI、延期10年的20年定期兩全保險(xiǎn)。解、I、終身壽險(xiǎn)：II、20年定期壽險(xiǎn)：III、20年定期兩全保險(xiǎn)：IV、延期10年終身壽險(xiǎn)：V、延期10年的20年定期壽險(xiǎn)：VI、延期10年的20年定期兩全

7、保險(xiǎn)：第三節(jié) 連續(xù)型（死亡即刻賠付）壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)【例4.9】已知被保險(xiǎn)人的壽命分布函數(shù)，假設(shè)，分別求和。解、，當(dāng)，。，；【例4.10】(x)投保終身壽險(xiǎn)，死亡即刻賠付1元。假設(shè)余命服從常數(shù)死亡率分布，利息力。計(jì)算，I、；II、，求；III、假設(shè)有100個(gè)(x)獨(dú)立同分布的個(gè)體購(gòu)買了該保險(xiǎn)，每人世紀(jì)繳納保費(fèi)為。在正態(tài)分布條件下要使保費(fèi)有95%的概率足夠支付死亡賠償，計(jì)算R。解、在常數(shù)死亡力下，則，I、， ，；II、，t（余命）的密度函數(shù)，則， 解得，；III、，根據(jù)題意，二、延期定額壽險(xiǎn)【例4.11】(x)投保延期10年的終身壽險(xiǎn)，保額為1單位元，保險(xiǎn)金在死亡時(shí)即刻給付。已知利息力為，生存函數(shù)

8、，。求賠付現(xiàn)值躉繳凈保費(fèi)、方差和中位數(shù)。解，躉繳凈保費(fèi)：方差：中位數(shù)：當(dāng)事件時(shí)，意味著被保險(xiǎn)人一直處于延期范圍，在這段時(shí)間會(huì)有一個(gè)累積死亡概率，也稱為重點(diǎn)概率。在本例中延期范圍，則，也就是說有32.968%的死亡事件發(fā)生在延期范圍內(nèi)。由于0.32968<0.5，說明中位數(shù)不在重點(diǎn)概率上。則，中位數(shù)=17.33。第五章 生存年金第一節(jié) 離散型年金1、終身生存年金 【例5.1】某人今年45歲，花費(fèi)10000元購(gòu)買了一份期末付終身生存年金產(chǎn)品，利率5%，根據(jù)93U生命表計(jì)算單位元精算現(xiàn)值的期望和方差，并計(jì)算每年可領(lǐng)取的金額。解、 每年可領(lǐng)取金額（元）2、定期生存年金【例5.2】某人在40歲購(gòu)買

9、了一份20年定期生存年金產(chǎn)品，如果存活可在每年年初領(lǐng)取1000元的給付，利率6%，根據(jù)93U生命表計(jì)算精算現(xiàn)值。解、（元）3、延期終身生存年金【例5.3】對(duì)于（30）從60歲起每年年初6000元的終身生存年金，利率為6%，試用93U生命表求躉繳凈保費(fèi)。解、4、延期定期生存年金【例5.4】某人在30歲時(shí)投保養(yǎng)老金保險(xiǎn)，保險(xiǎn)契約規(guī)定，如果被保險(xiǎn)人存活到60歲，則確定給付10年年金，如果被保險(xiǎn)人到70歲依然存活，則從70歲起獲得生存年金。如果年金每年年初支付一次，每次支付6000元，利率6%，根據(jù)93U生命表計(jì)算躉繳凈保費(fèi)。解、躉繳凈保費(fèi) 或者，躉繳凈保費(fèi)三、年付一次變額生存年金1、一般變額生存年金

10、【例5.5】某人30歲購(gòu)買從60歲起支付的生存年金，契約規(guī)定：被保險(xiǎn)人60-69歲每年付給6000元，70-79歲每年付給7000元，80歲后每年付給8000元。在預(yù)定利率6%條件下，根據(jù)93U表計(jì)算躉繳凈保費(fèi)。解、保費(fèi) （元）2、等額遞增生存年金【例5.6】某人在50歲時(shí)購(gòu)買了一份終身生存年金，給付從51歲開始每年一次，給付額第一年為5000元、第二年5500元、第三年6000元。計(jì)算這筆年金的精算現(xiàn)值。解、可以理解為一個(gè)每年支付4500元的3年期等額生存年金加上一個(gè)每年遞增500元的3年期等額遞增生存年金，則，精算現(xiàn)值（元）五、年付多次生存年金1、年付r次終身生存年金【例5.7】在例5.3

11、中，若年金每月支付一次，求躉繳凈保費(fèi)。解、凈保費(fèi)簡(jiǎn)算法：（元）凈保費(fèi)簡(jiǎn)算法：（元）【例5.8】某保單提供從60歲起每月500元的生存年金，如果被保險(xiǎn)人在60歲前死亡，則在死亡年年末獲賠10000元。如果利率6%，根據(jù)93U表計(jì)算精算現(xiàn)值。解、這張保單由定期壽險(xiǎn)和延期終身生存年金構(gòu)成，精算現(xiàn)值為，（元）第六章 均衡凈保費(fèi)第一節(jié) 離散型均衡凈保費(fèi)一、全期繳納的均衡凈保費(fèi)【例6.1】某人60歲購(gòu)買了一份1000元的終身人壽保險(xiǎn)，每年初繳付保費(fèi)，終身繳付。已知利率6%，按93U表計(jì)算死亡年年末賠付的年繳均衡凈保費(fèi)。解、（元）2、定期壽險(xiǎn)：，【例6.2】某人40歲購(gòu)買了3年期1000元定期壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金在

12、死亡年年末賠付，保險(xiǎn)費(fèi)每年初繳付保費(fèi)，已知利率6%，按93U表分別計(jì)算2和3年內(nèi)的繳均衡凈保費(fèi)。解、【例6.3】張某今年30歲購(gòu)買了生存年金，從60歲起每年年初獲6000元生存年金，利率6%，如果保費(fèi)在30和10年內(nèi)均衡繳付，根據(jù)93U表分別計(jì)算年均衡凈保費(fèi)。解、張某30歲購(gòu)買的是一份延期30年的終身生存年金，如果30內(nèi)均衡繳付，則有，如果10內(nèi)均衡繳付，則有，【例6.4】某人在45歲時(shí)購(gòu)買壽險(xiǎn)，契約規(guī)定若在第一年內(nèi)死亡，給付保險(xiǎn)金8000元，以后多存活一年后死亡，保險(xiǎn)金減少500元，保險(xiǎn)金額減少到零時(shí)，合同終止。若保險(xiǎn)金額在死亡年末付，保費(fèi)5年內(nèi)繳清。利率為4%，根據(jù)03M表計(jì)算年繳凈保費(fèi)。

13、解、該人購(gòu)買的是定期16年遞減壽險(xiǎn)，每年遞減額為500元。均衡方程式為，第二節(jié) 連續(xù)型均衡凈保費(fèi)【例6.5】設(shè)生存函數(shù)，試求40歲的人投保終身壽險(xiǎn)的連續(xù)型均衡凈保費(fèi)。解、，當(dāng)時(shí)，則有，所以，第四節(jié) 一年多次繳的均衡凈保費(fèi)【例6.6】(25)投保35年期的定期壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為10000元，保費(fèi)在每月月初繳納，保險(xiǎn)金在死亡年末付給，利率4%，根據(jù)93U表計(jì)算I、全期繳納月保費(fèi)；II、10年限期繳納的月保費(fèi)。解、I、年繳12次的年凈保費(fèi)：月保費(fèi)為，【例6.7】對(duì)于（40）的20年定期壽險(xiǎn)，如果被保險(xiǎn)人在保險(xiǎn)期內(nèi)死亡，除了賠付100000元外，還退還過去已繳凈保費(fèi)的累積。假設(shè)利率5%，保險(xiǎn)賠付在死亡年

14、末，保險(xiǎn)費(fèi)每年初繳付一次、20年付清，根據(jù)93U表計(jì)算以下幾種情況的年繳均衡凈保費(fèi)。I、退換保費(fèi)部分不計(jì)利息；II、退換保費(fèi)部分按3%計(jì)復(fù)利；解、設(shè)年繳均衡凈保費(fèi)為P，則，I、不計(jì)利息；已繳凈保費(fèi)的累積雖然不計(jì)息，但給付以保險(xiǎn)人在保險(xiǎn)期內(nèi)死亡為條件，這就構(gòu)成定期遞增的壽險(xiǎn)，其收支平衡式為，解得，如果不退還還過去已繳凈保費(fèi)，II、按3%計(jì)復(fù)利：如果退還保費(fèi)以利息率j計(jì)息，退還保費(fèi)部分的給付是一個(gè)隨被保險(xiǎn)人死亡時(shí)間變動(dòng)的年金終值，即，其現(xiàn)值變量為，精算現(xiàn)值為，令收支平衡式為，解得，第二章 責(zé)任準(zhǔn)備金第一節(jié) 離散型責(zé)任準(zhǔn)備金一、將來法全期繳費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金【例7.1】設(shè)有1000個(gè)40歲的人同時(shí)投保10

15、00元5年定期壽險(xiǎn)，保費(fèi)在5年內(nèi)均衡繳付。當(dāng)利率為6%，根據(jù)93U生命表分析未來5年預(yù)期凈保費(fèi)收入和預(yù)期賠付支出。解、每人年繳凈保費(fèi)為，1、終身壽險(xiǎn)【例7.2】（35）投保1單位元終身壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金在死亡年末給付，保費(fèi)在每年年初繳納。在利率6%條件下，運(yùn)用93U表計(jì)算、。解、【例7.3】某人40歲投保1000元死亡年末付終身壽險(xiǎn)，保費(fèi)在每年初均衡繳付，利率為6%，試用93U表采用將來法計(jì)算未來各年責(zé)任準(zhǔn)備金。解、，2、定期壽險(xiǎn)【例7.4】某人在40歲投保了20年死亡年末付定期壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為1000元。若保險(xiǎn)費(fèi)每年初繳付一次，20年繳清，預(yù)定利率6%，根據(jù)93U表計(jì)算投保第10年末的責(zé)任準(zhǔn)備金。解、二、將來法限期繳費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金1、終身壽險(xiǎn)【例7.5】某人40歲投保1000元死亡年末付終身壽險(xiǎn)，保費(fèi)在5年內(nèi)每年初均衡繳付，利率為6%，試用93U表采用將來法計(jì)算未來各年責(zé)任準(zhǔn)備金。解、，表7