定積分及其應(yīng)用習(xí)題課_第1頁(yè)
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1、定積分及其應(yīng)用習(xí)題課1求極限:;2設(shè)為上的非負(fù)單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù),又是它的反函數(shù),試用定積分的幾何意義證明:。3設(shè)為上的單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù),又 是它的反函數(shù),試用定積分的幾何意義說(shuō)明:對(duì)任意的,總有 ,并進(jìn)一步說(shuō)明等號(hào)成立的條件。4設(shè)在恒正,將下列積分值按大小順序排列: ,。5計(jì)算。 6計(jì)算 。 7設(shè),求。8設(shè),求。9設(shè)及其反函數(shù)都可微且有關(guān)系式 ,求。10求多項(xiàng)式 f (x) 使它滿足方程。11設(shè),其中,求。 廣義積分中值定理:設(shè)在 連續(xù),在可積并且不變號(hào),則在上至少存在一點(diǎn),使得:。12證明下面極限: (1); (2)。 13設(shè)在上連續(xù),且,求證:14證明恒等式:。15. 設(shè)在上連續(xù),且單

2、調(diào)增加,試證明對(duì)任何,皆有。16設(shè)在連續(xù),證明 ,其中 。17設(shè)在連續(xù),在可導(dǎo),且,證明:在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使。18設(shè)在可微,且滿足,證明:在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使。19設(shè)在可微,且滿足,證明:在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使。20設(shè)在連續(xù),在可微,且滿足,證明:在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使。21設(shè)在上連續(xù),且,試證:至少存在一點(diǎn),使得22設(shè)函數(shù) f (x) 在a, b 上連續(xù),在(a, b) 內(nèi)可導(dǎo), 且 ,若存在,證明:(1)在(a, b) 內(nèi) f (x) 0 ; (2) 在(a, b) 內(nèi)存在點(diǎn), 使 ;(3)在(a, b) 內(nèi)存在與相異的點(diǎn),使 。23設(shè)在上連續(xù),證明:是周期為的函數(shù)的充分必要條件為:積分值與

3、無(wú)關(guān)。24試確定常數(shù)的值,使反常積分收斂,并求出積分值。25. 在區(qū)間上求一點(diǎn),使曲線與,及所圍圖形面積最小。26設(shè)在上連續(xù),且嚴(yán)格增加,證明在內(nèi)存在一點(diǎn),使曲線 與兩直線所圍圖形的面積是曲線與兩直線所圍圖形的面積的三倍。27設(shè)平面圖形由與 所確定,求圖形繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。28證明曲邊扇形繞極軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為29半徑為 R , 密度為的球沉入深為 H ( H 2 R ) 的水池底, 水的密度,現(xiàn)將其從水池中取出, 需做多少功 ? 30為清除井底污泥, 用纜繩將抓斗放入井底, 抓起污泥后提出井口,已知井深30 m ,抓斗自重400N ,纜繩每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度為3m /s,在提升過(guò)程中污泥以20N /s 的速度從抓斗縫隙中漏掉,現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升到井口, 問(wèn)克服重力需作多

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