如果上天能再給我一次機(jī)會(huì)我會(huì)選擇看懂麥克斯韋方程組

1、花了好長(zhǎng)好長(zhǎng)時(shí)間寫的，請(qǐng)不要轉(zhuǎn)載。（知乎日?qǐng)?bào)已獲授權(quán)）提問(wèn)簡(jiǎn)直坑爹。不講微積分怎么講麥克斯韋方程組？麥克斯韋方程組里面每個(gè)方程都是一個(gè)積分或者微分。既然這樣，我只能躲躲閃閃，不細(xì)談任何具體的推導(dǎo)和數(shù)學(xué)關(guān)系，純粹揮揮手扯扯淡地說(shuō)一說(shuō)電磁學(xué)里的概念和思想。（知乎日?qǐng)?bào)注：雖然作者已經(jīng)很努力地用通俗的語(yǔ)言講解，下文仍含大量方程和公式，請(qǐng)理性選擇，按需閱讀 ）1. 力、能、場(chǎng)、勢(shì)經(jīng)典物理研究的一個(gè)重要對(duì)象就是力 force。比如牛頓力學(xué)的核心就是 F=ma 這個(gè)公式，剩下的什么平拋圓周簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)都可以用這貨加上微積分推出來(lái)。但是力有一點(diǎn)不好，它是個(gè)向量 vector（既有大小又有方向）

2、，所以即便是簡(jiǎn)單的受力分析，想解出運(yùn)動(dòng)方程卻難得要死。很多時(shí)候，從能量的角度出發(fā)反而問(wèn)題會(huì)變得簡(jiǎn)單很多。能量 energy 說(shuō)到底就是力在空間上的積分（能量=功=力×距離），所以和力是有緊密聯(lián)系的，而且能量是個(gè)標(biāo)量 scalar，加減乘除十分方便。分析力學(xué)中的拉格朗日力學(xué)和哈密頓力學(xué)就繞開了力，從能量出發(fā)，算運(yùn)動(dòng)方程比牛頓力學(xué)要簡(jiǎn)便得多。在電磁學(xué)里，我們通過(guò)力定義出了場(chǎng) field 的概念。我們注意到洛侖茲力總有著 F=q(E+v×B) 的形式，具體不談，單看這個(gè)公式就會(huì)發(fā)現(xiàn)力和電荷（或電荷×速度）程正比。那么我們便可以刨去電荷（或電

3、荷×速度）的部分，僅僅看剩下的這個(gè)“系數(shù)”有著怎樣的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。也就是說(shuō)，場(chǎng)是某種遍布在空間中的東西，當(dāng)電荷置于場(chǎng)中時(shí)便會(huì)受力。具體到兩個(gè)電荷間的庫(kù)侖力的例子，就可以理解為一個(gè)電荷制造了電場(chǎng)，而另一個(gè)電荷在這個(gè)電場(chǎng)中受到了力，反之亦然。類似地我們也可以對(duì)能量做相同的事情，刨去能量中的電荷（或電荷×速度），剩下的部分便是勢(shì) potential。一張圖表明關(guān)系：積分力能場(chǎng)勢(shì)微分具體需要指出，這里的電場(chǎng)（標(biāo)為 E）和磁場(chǎng)（標(biāo)為 B）都是向量場(chǎng)，也就是說(shuō)空間中每一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)向量。如果我們把 xyz 三個(gè)分量分開來(lái)看的話，這就是三個(gè)標(biāo)量場(chǎng)。而能量和勢(shì)是標(biāo)量（

4、電磁學(xué)中的勢(shì)其實(shí)并不是標(biāo)量，原因馬上揭曉），放到空間中也就是一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)。在力 / 場(chǎng)和能量 / 勢(shì)之間互相轉(zhuǎn)化的時(shí)候，我們是在 31 個(gè)標(biāo)量場(chǎng)之間轉(zhuǎn)化，必然有一些信息是丟掉了的。怎么辦？一個(gè)顯而易見(jiàn)的答案是“保守力場(chǎng)”conservative force field。在這樣一個(gè)場(chǎng)中，能量（做功）不取決于你選擇什么樣的路徑。打個(gè)比方，你爬一座山，無(wú)論選擇什么路徑，只要起點(diǎn)和終點(diǎn)一樣，那么垂直方向上的差別都是一樣的，做的功也一樣多。在這種情況下，我們對(duì)力場(chǎng)有了諸多限制，也就是說(shuō)，我假如知道了一個(gè)保守力場(chǎng)的 x 一個(gè)分量，那么另兩個(gè)分量 yz 就隨之確定了，我沒(méi)得選（自由度其實(shí)只有一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)）。有了

5、保守力場(chǎng)這樣的額外限制，向量場(chǎng)F（3 個(gè)標(biāo)量場(chǎng)）和（1 個(gè)）標(biāo)量場(chǎng) V 之間的轉(zhuǎn)化便不會(huì)失去信息了。具體而言，二者關(guān)系可以寫作 F=-V。這里不說(shuō)具體細(xì)節(jié)，你只要知道  是一種固定的、把一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)變成三個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的算法就可以了（叫做算符 operator）。那么我們想問(wèn)，電場(chǎng)和磁場(chǎng)是不是保守力場(chǎng)呢？很不幸，不是。在靜電學(xué)中，靜止的電場(chǎng)是保守的，但在電動(dòng)力學(xué)中，只要有變化的電場(chǎng)和磁場(chǎng)，電場(chǎng)就不是一個(gè)保守力場(chǎng)了；而磁場(chǎng)從來(lái)都不是保守力場(chǎng)。這也就是說(shuō)明，在電磁學(xué)中，我們很少涉及能量這個(gè)概念，因?yàn)樗荒芡暾孛枋鲆粋€(gè)電磁場(chǎng)。我們更多時(shí)候只關(guān)注“場(chǎng)”這個(gè)概念，盡管因此我們不得

6、不涉足很多向量微積分，但我們沒(méi)有辦法，這是不讓信息丟掉的唯一辦法。那么，既然勢(shì)也是標(biāo)量，它是否也是一個(gè)沒(méi)什么用的概念呢？恰恰相反，在電動(dòng)力學(xué)中我們定義出了“向量勢(shì)”vector potential，以保留額外的自由度。后面我會(huì)更具體地談到這一點(diǎn)?？偠灾?，我想說(shuō)明一點(diǎn)，那就是電磁學(xué)的主要研究對(duì)象是電場(chǎng)和磁場(chǎng)，而麥克斯韋方程組就是描述電場(chǎng)和磁場(chǎng)的方程。勢(shì)（包括電勢(shì)和磁向量勢(shì)）也是有用的概念，而且不像引力勢(shì)是一個(gè)標(biāo)量，在電磁學(xué)中勢(shì)不得不變成一個(gè)向量。2. 麥克斯韋方程組前邊說(shuō)到，麥克斯韋方程組 Maxwell equations 是描述電場(chǎng)和磁場(chǎng)的方程。前邊也說(shuō)到，因?yàn)殡姶艌?chǎng)不是保守力場(chǎng)，它們有三

7、個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的自由度，所以我們必須用向量微積分來(lái)描述電磁場(chǎng)。因此，麥克斯韋方程組每個(gè)式子都出現(xiàn)了向量微積分，而整個(gè)方程組也有積分形式和微分形式兩種。這兩種形式是完全等價(jià)的，只是兩種不同的寫法。這里我先全部寫出。積分形式：微分形式：這里 E 表示電場(chǎng)，B 表示磁場(chǎng)，0 和0 只是兩個(gè)常數(shù)暫時(shí)可以忽略。積分形式中 Q 是電荷，I 是電流，V 表示一塊體積，V 表示它的表面，而 S 表示一塊曲面，S 表示它的邊緣。微分形式中 是電荷密度（電荷 / 體積），J 是電流密度（電流 / 面積）， · 和  × 是兩個(gè)不同

8、的算符，基本可以理解為對(duì)向量的某種微分。先不說(shuō)任何細(xì)節(jié)，我們可以觀察一下等式的左邊。四個(gè)方程中，兩個(gè)是關(guān)于電場(chǎng) E 的，兩個(gè)是關(guān)于磁場(chǎng) B 的；兩個(gè)是曲面積分 da 或者散度  ·，兩個(gè)是曲線積分 dl 或者旋度  ×。不要管這些術(shù)語(yǔ)都是什么意思，我后面會(huì)講到。但光看等式左邊，我們就能看出四個(gè)式子分別描述電場(chǎng)和磁場(chǎng)的兩個(gè)東西，非常對(duì)稱。3. 電荷 -> 電場(chǎng)，電流 -> 磁場(chǎng)這一部分和下一部分中，我來(lái)簡(jiǎn)單講解四個(gè)式子分別代表什么意思，而不涉及任何定量和具體的計(jì)算。我們從兩個(gè)電荷之間的

9、庫(kù)侖力講起。庫(kù)侖定律 Coulomb's Law 是電學(xué)中大家接觸到的最早的定律，有如下形式：其中 Q 是電荷，r 是電荷之間的距離，r 是表示方向的單位向量。像我之前說(shuō)的，把其中一個(gè)電荷當(dāng)作來(lái)源，然后刨去另一個(gè)電荷，就可以得到電場(chǎng)的表達(dá)式。高中里應(yīng)該還學(xué)過(guò)安培定律 Ampere's Law，也就是電流產(chǎn)生磁場(chǎng)的定律。雖然沒(méi)有學(xué)過(guò)具體表達(dá)式，但我們已經(jīng)能看出它與庫(kù)侖定律之間的區(qū)別。庫(kù)侖定律描述了“兩個(gè)”微小來(lái)源（電荷）之間的“力”，而安培定律是描述了“一個(gè)”來(lái)源（電流）產(chǎn)生的“場(chǎng)”。事實(shí)上，電磁學(xué)中也有磁場(chǎng)版本的庫(kù)侖定律，描述了兩個(gè)微小電流之間的力，叫做畢奧

10、 - 薩伐爾定律 Biot-Savart Law；反之，也有電場(chǎng)版本的安培定律，描述了一個(gè)電荷產(chǎn)生的磁場(chǎng)，叫做高斯定律 Gauss's Law。這四個(gè)定律之間有如下關(guān)系：數(shù)學(xué)上可以證明庫(kù)侖定律（畢奧 - 薩伐爾定律）和高斯定律（安培定律）在靜電學(xué)（靜磁學(xué)）中是完全等價(jià)的，也就是說(shuō)我們可以任意假設(shè)一個(gè)定律，從而推導(dǎo)出另一個(gè)定律。然而如果我們想從靜止的靜電學(xué)和靜磁學(xué)推廣到電動(dòng)力學(xué)，前者是非常不便的而后者很卻容易，所以盡管庫(kù)侖定律在中學(xué)中常常提到，麥克斯韋方程組中卻沒(méi)有它，有的是高斯定律和安培定律。這兩個(gè)定律分別是麥克斯韋方程組里的 (1) 和 (4) 的第一項(xiàng)，即：高斯定律（積分、微分形式

11、）：安培定律（積分、微分形式）：我們繼續(xù)推遲講解數(shù)學(xué)關(guān)系，單看這幾個(gè)式子本身，就能看到等式的左邊有電場(chǎng) E（磁場(chǎng) B），而右邊有電荷 Q（電流 I）或電荷密度（電流密度 J）。看，電荷產(chǎn)生電場(chǎng)，電流產(chǎn)生磁場(chǎng)！4. 變化磁場(chǎng) -> 電場(chǎng)，變化磁場(chǎng) -> 電場(chǎng)然而這不是故事的全部，因?yàn)槭聦?shí)上電磁場(chǎng)是可以互相轉(zhuǎn)化的。法拉第發(fā)現(xiàn)了電磁感應(yīng)，也就是說(shuō)變化的磁場(chǎng)是可以產(chǎn)生電場(chǎng)的，這就是法拉第定律 Faraday's Law。類似地，麥克斯韋發(fā)現(xiàn)安培定律的描述并不完善，除了電流以外，變化的電場(chǎng)也可以產(chǎn)生磁場(chǎng)，這被稱為安培 - 麥克斯韋定律 Ampere-Ma

12、xwell Law。這兩個(gè)定律分別是麥克斯韋方程組里的 (2) 和 (4) 的第二項(xiàng)，即：法拉第定律（積分、微分形式）：安培 - 麥克斯韋定律（積分、微分形式）：同樣地，等式的左邊有電場(chǎng) E（磁場(chǎng) B），而右邊有磁場(chǎng) B（電場(chǎng) E）的導(dǎo)數(shù) d/dt 或偏導(dǎo) /t?？?，變化磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)，變化電場(chǎng)產(chǎn)生磁場(chǎng)！需要指出的是，我這樣的說(shuō)法其實(shí)是不準(zhǔn)確的，因?yàn)椴⒉皇钦娴哪骋粋€(gè)場(chǎng)“產(chǎn)生”的另一個(gè)場(chǎng)。這兩個(gè)定律只是描述了電場(chǎng)（磁場(chǎng)）和磁場(chǎng)（電場(chǎng)）的變化率之間的定量關(guān)系，而不是因果關(guān)系。小結(jié)一下，我們已經(jīng)搞清楚了麥克斯韋方程組里每一項(xiàng)的意思，基本就是指出了電磁場(chǎng)的來(lái)源和變

13、化電磁場(chǎng)的定量關(guān)系。下一步便是往我們這些粗淺的理解中加入數(shù)學(xué)，具體看看這些方程到底說(shuō)了什么。在這之前，我們必須花一點(diǎn)時(shí)間了解一下向量微積分的皮毛。5. 向量積分普通的單變量微積分基本可以理解為乘法的一種拓展。我們想計(jì)算一個(gè)矩形的面積，我們用長(zhǎng) x 乘寬 y，即 xy。如果寬不是一個(gè)定值而是根據(jù)長(zhǎng)而變化的（也就是說(shuō)寬是一個(gè)長(zhǎng)的函數(shù)，即寬=y(x)），那么我們就需要積分，記為“y(x)dx”。這樣的想法也很容易推廣到更高的維度，比如在一塊體積 V 內(nèi)，若電荷密度為 ，那么這塊體積內(nèi)的總電荷就是 Q=V；如果 在空間中每一點(diǎn)都不一樣，是個(gè)關(guān)于坐標(biāo)的函數(shù) (x)，那么就要變成積分 Q=(x)dV（這里

14、三個(gè) 表示是一個(gè)三維的積分，很多時(shí)候也可以省略寫為一個(gè) ）。在向量場(chǎng)中，這個(gè)事情比較麻煩。首先兩個(gè)向量的乘積的定義稍顯復(fù)雜，必須使用點(diǎn)乘 dot product，即 u·v，它暗示著兩個(gè)向量之間的角度，也就是有多么平行。如果 u 和 v 完全平行，它們的點(diǎn)乘是一個(gè)正值；如果方向相反，則是一個(gè)負(fù)值；如果垂直，那么為 0。另一方面，我們不一定要像上一個(gè)電荷的例子一樣積上整個(gè)體積 V，我們可以只積一個(gè)曲面 S 或者一條曲線 。這就是所謂的曲面積分和曲線積分的概念。曲面積分 surface integral 有如下形式：其中 S 表

15、示我們需要積的曲面，F(xiàn) 是我們想要積的向量場(chǎng)，· 代表點(diǎn)乘，a 指向垂直于 S 的方向。因此，我們看到，如果 F 和 S 是平行的，那么點(diǎn)乘處處得 0，這個(gè)曲面積分也為 0。換句話說(shuō)，曲面積分表示著向量場(chǎng) F 穿過(guò)曲面 S 的程度，因此也很形象地叫做通量 flux。下圖為兩個(gè)簡(jiǎn)單的例子（虛線 - 表示曲面所在的位置）：曲面積分（通量）為 0： - 曲面積分（通量）不為 0： - 那么曲線積分 line integral 也很類似，只不過(guò)我們不積一個(gè)曲面 S 而是一個(gè)一維的曲線 。它有如下形式：其中表示我們需要積的曲線，

16、83;代表點(diǎn)乘，l指向曲線的方向。不難看出，曲線積分表示著向量場(chǎng) F 沿著曲線 的程度。下圖為兩個(gè)簡(jiǎn)單的例子（虛線 - 表示曲線）：曲線積分不為 0： - 曲線積分為 0： - 特別地，如果曲線是閉合的（首尾相連的），那么我們可以在積分符號(hào) 上畫一個(gè)圈，表示閉合，然后這個(gè)特殊的曲線積分叫做環(huán)量 circulation，因?yàn)槭欠e了一個(gè)環(huán)嘛。很顯然，如果 F 是個(gè)保守力場(chǎng)，那么我隨便找一個(gè)閉合曲線，做的功都一定為 0（這就是保守力場(chǎng)的定義?。?，所以保守力場(chǎng)的任意環(huán)量都為 0。最后一提，“環(huán)量”這個(gè)名字很少使用，一般就直接叫做“閉合曲線的積分”。定義一個(gè)通量所使用的曲面 S 則不

17、一定要是閉合的，任何曲面都可以。如果這個(gè)曲面很特殊恰好是閉合的，我們也可以在積分符號(hào)上畫上一個(gè)圈，代表閉合，但這個(gè)量則沒(méi)有一個(gè)特殊的名字了?？偨Y(jié)如下表：6. 麥克斯韋方程組的積分形式我非常不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)孛枋隽饲娣e分和曲線積分分別是什么。我們回頭看看麥克斯韋方程組的積分形式，我們應(yīng)該都能看懂了。(1) 高斯定律：電場(chǎng) E 在閉合曲面 V 上的通量，等于該曲面包裹住的體積 V 內(nèi)的電荷（乘上系數(shù) 1/0）；(2) 法拉第定律：電場(chǎng) E 在閉合曲線 S 上的環(huán)量，等于磁場(chǎng) B 在該曲線環(huán)住的曲面 S 上的通量的變化率（乘上系數(shù) -1）；(3)

18、高斯磁定律：磁場(chǎng) B 在閉合曲面 V 上的通量，等于 0；(4) 安培麥克斯韋定律：磁場(chǎng) B 在閉合曲線 S 上的環(huán)量，等于該曲線環(huán)住的曲面 S 里的電流（乘上系數(shù) 0），加上電場(chǎng) E 在該曲線環(huán)住的曲面 S 上的通量的變化率（乘上系數(shù) 00）。雖然在我看來(lái)，這樣的描述已經(jīng)是非常通俗、沒(méi)有任何數(shù)學(xué)了，但對(duì)于沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)微積分的同學(xué)來(lái)說(shuō)，顯然還是太晦澀了一點(diǎn)。那么我來(lái)舉幾個(gè)例子吧。(1) 高斯定律：例子 1：假設(shè)我們有一個(gè)點(diǎn)電荷 Q，以其為球心作一個(gè)球，把這塊體積稱為 V，那么V 就是這個(gè)球的表面。這個(gè)電荷 Q 產(chǎn)生了一些電場(chǎng)，從中心的

19、Q 向外發(fā)射，顯然電場(chǎng)線都穿過(guò)了球的表面V，所以“閉合曲面V 的通量”是個(gè)正數(shù)，不為 0，而“該曲面包裹住的電荷”為 Q，也不為 0。例子 2：假設(shè)我們把電荷 Q 替換為 -Q，那么所有的電場(chǎng)線方向都反過(guò)來(lái)了，V 的通量（記得通量中的點(diǎn)乘嗎？）也因此獲得了一個(gè)負(fù)號(hào)，所以“閉合曲面 V 的通量”變成了負(fù)數(shù)，而“該曲面包裹住的電荷”為 -Q，也變成了負(fù)數(shù)。等式再一次成立。例子 3：假設(shè)我們把這個(gè)球的半徑擴(kuò)大為原來(lái)的 2 倍，這個(gè)球的表面積就變成了原來(lái)的 4 倍。與此同時(shí)，由于庫(kù)侖力的反比平方定律，由于球表面與球心電荷 Q 的距離變成了原來(lái)的 2 倍，在球表面 V 的電場(chǎng)強(qiáng)度也變成了原來(lái)的 1/4。

20、通量（電場(chǎng)和面積的積分）獲得一個(gè)系數(shù) 4，又獲得一個(gè)系數(shù) 1/4，所以“閉合曲面 V 的通量”沒(méi)有變，而“該曲面包裹住的電荷”顯然仍然為 Q，也沒(méi)有變。例子 4：事實(shí)上，我們隨便怎么改變這一塊表面積的大小、體積，算出來(lái)的通量都不會(huì)變（盡管會(huì)非常難算），因?yàn)榈仁降挠疫叀霸撉姘〉碾姾伞币恢倍紱](méi)有變。例子 5：假設(shè)我們把電荷移到這個(gè)曲面外面，那么電場(chǎng)線會(huì)從這個(gè)球的一面穿透進(jìn)去，然后從另一面出來(lái)，所以當(dāng)我們做積分的時(shí)候，兩個(gè)方向的通量抵消了，整個(gè)“閉合曲面V 的通量”為 0，而此時(shí)我們的曲面沒(méi)有包裹住任何電荷，所以“該曲面包裹住的電荷”也為 0。等式成立。(2) 法拉第定律：例子 6：一圈閉合導(dǎo)

21、線，環(huán)住了一塊曲面 S，則記這個(gè)曲線的位置為 S，那么經(jīng)過(guò) S 的電場(chǎng) E 的環(huán)量其實(shí)就是導(dǎo)線內(nèi)的電勢(shì)（電壓）。垂直于 S 通過(guò)一些磁場(chǎng) B，則通過(guò) S 的磁通量不為 0。然而此時(shí)導(dǎo)線內(nèi)并沒(méi)有電流，也就是說(shuō)，并沒(méi)有電壓，“閉合曲線 S 的環(huán)量”為 0。這是很顯然的，因?yàn)榇磐坎](méi)有變化，沒(méi)有電磁感應(yīng)，換句話說(shuō)，“曲面 S 上的通量的變化率”為 0。例子 7：這個(gè)時(shí)候我突然增加磁場(chǎng)，所以磁通量變大了，“磁通量的變化率”為正，不為 0。因此，等式的左邊“閉合曲線 S 的環(huán)量”也為正，不為 0，也就是說(shuō)，導(dǎo)線內(nèi)產(chǎn)生了一些電壓，繼而產(chǎn)生了一些感應(yīng)電流。這正是大家熟悉的法拉

22、第電磁感應(yīng)。例子 8：如果我不是增加磁場(chǎng)，而是減小磁場(chǎng)，那么磁通量變小了，“磁通量的變化率”為負(fù)。那么等式左邊“閉合曲線 S 的環(huán)量”也獲得了一個(gè)負(fù)號(hào)，換句話說(shuō)，感應(yīng)電流的方向反了過(guò)來(lái)。(3) 高斯磁定律：例子 9：隨便選擇一個(gè)閉合曲面，整個(gè)曲面上的磁通量一定為 0。這和電場(chǎng)的情況迥然不同，因此說(shuō)明，不像有可以產(chǎn)生電場(chǎng)的“電荷”，這個(gè)世界上是沒(méi)有能單獨(dú)產(chǎn)生磁場(chǎng)的“磁荷”（也就是“磁單極子”）的。(4) 安培 - 麥克斯韋定律：例子 10：假設(shè)我們有一個(gè)電流 I，以其為軸作一個(gè)圓，把這個(gè)圓稱為 S，那么 S 就是這個(gè)圓的邊緣。這個(gè)電流 I 產(chǎn)生了一些磁場(chǎng)，（按照右手定則）繞著導(dǎo)線。顯然磁場(chǎng)線和S

23、 都是“繞著導(dǎo)線”，方向一致，所以“閉合曲線 S 的環(huán)量”是個(gè)正數(shù)，不為 0，而“該曲線環(huán)住的電流”為 I，也不為 0。例子 11：假設(shè)我們改變電流方向，即把 I 變成 -I，那么所有的磁場(chǎng)線方向都反過(guò)來(lái)了，S 的環(huán)量也因此獲得了一個(gè)負(fù)號(hào)，所以“閉合曲線 S 的環(huán)量”和“該曲線環(huán)住的電流”均獲得一個(gè)負(fù)號(hào)。等式再一次成立。例子 12：和高斯定律很像，我們隨便怎么改變這一個(gè)環(huán)的大小、面積，只要環(huán)住的電流不變，算出來(lái)的環(huán)量都不會(huì)變（盡管可能會(huì)非常難算）。而若電流在這個(gè)環(huán)外面，盡管仍然有磁場(chǎng)存在，但在計(jì)算環(huán)量時(shí)相互抵消，使得等式兩邊都變成 0。例子 13：“變化的電場(chǎng)產(chǎn)生磁場(chǎng)”（即第二項(xiàng)）的例子非常難

24、找，這也正是安培當(dāng)年沒(méi)有自己發(fā)現(xiàn)、非要等到麥克斯韋幫忙才發(fā)現(xiàn)的原因。我這里不妨不再細(xì)述，讀者只要接受這個(gè)設(shè)定就好。有興趣的讀者可以自己思考一個(gè)這種情況的例子。最后，還記得我們之前說(shuō)過(guò)“保守力場(chǎng)的任意環(huán)量都為 0”嗎？顯然，要想讓磁場(chǎng)的環(huán)量為 0，那就只能既沒(méi)有電流（方程 (4) 中的第一項(xiàng)），也沒(méi)有變化的電通量（第二項(xiàng)），那么磁場(chǎng)只能為 0。換言之，任何磁場(chǎng)都不是保守力場(chǎng)。想讓電場(chǎng)的通量為 0 還比較簡(jiǎn)單，只需要令磁通量不變（方程 (2)）就好了。換言之，只有在靜電學(xué)（電磁場(chǎng)均靜止不變）中，靜電場(chǎng)才是保守力場(chǎng)。7. 向量微分麥克斯韋方程組描述了所有的電磁現(xiàn)象，從每個(gè)方程的名字也可以看出，方程組

25、總結(jié)、整合了前人（庫(kù)侖、高斯、安培、法拉第等）發(fā)現(xiàn)的各種現(xiàn)象和其方程（在麥克斯韋以前這樣的方程可能有數(shù)十個(gè)），而麥克斯韋把它們總結(jié)歸納到了一起，用短短四個(gè)公式涵蓋了所有現(xiàn)象，非常了不起。然而平心而論，積分形式仍然顯得頗為繁瑣，原因有二：1. 積分是很難算的，雖然每一個(gè)方程的左右兩邊都必然相等，但隨便給你一個(gè)場(chǎng)和一個(gè)曲面 / 曲線，想把左側(cè)的積分算出來(lái)極為困難；2. 也正因?yàn)槿绱?，我們盡管有可以描述電磁場(chǎng)的方程，但給定一個(gè)特定的來(lái)源（比如天線中一個(gè)來(lái)回?fù)u擺的電荷），我們想算出具體的 E 和 B 也是極為困難，因?yàn)槲覀冎恢?E 和 B 在某個(gè)特殊曲面 /

26、曲線上的積分。這就是微分形式的好處。首先，計(jì)算一個(gè)給定向量場(chǎng)的微分（散度和旋度）是很簡(jiǎn)單的，只要使用之前提到過(guò)的  · 和  × 算符就好，而這兩個(gè)算符都有一套固定的算法。其次，散度和旋度代表著一個(gè)向量場(chǎng)的兩種不同的自由度，有著非常直接的幾何意義，從這兩個(gè)量中恢復(fù)出向量場(chǎng)也是比較直觀的過(guò)程。當(dāng)然，我們又需要再準(zhǔn)備一些向量微積分的知識(shí)，其中的重點(diǎn)就是散度和旋度。散度 divergence，顧名思義，是指一個(gè)向量場(chǎng)發(fā)散的程度。一個(gè)向量場(chǎng) F 的散度是一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)（向量場(chǎng)的每一點(diǎn)有一個(gè)自己的散度），寫作 

27、83; F（這個(gè)寫法也很直白，因?yàn)辄c(diǎn)乘就是標(biāo)量）。如果一個(gè)點(diǎn)的散度為正，那么在這一點(diǎn)上 F 有向外發(fā)散的趨勢(shì)；如果為負(fù)，那么在這一點(diǎn)上 F 有向內(nèi)收斂的趨勢(shì)。旋度 curl 則指一個(gè)向量場(chǎng)旋轉(zhuǎn)的程度。一個(gè)向量場(chǎng) F 的旋度是一個(gè)向量場(chǎng)（向量場(chǎng)的每一點(diǎn)有一個(gè)自己的旋度，而且是一個(gè)向量；這是因?yàn)樾D(zhuǎn)的方向需要標(biāo)明出來(lái)），寫作  × F（這個(gè)寫法也很直白，因?yàn)椴娉司褪窍蛄浚?。如果一個(gè)點(diǎn)的旋度不為 0，那么在這一點(diǎn)上 F 有漩渦的趨勢(shì)，而這個(gè)旋度的方向表明了旋轉(zhuǎn)的方向。舉些例子，以下是兩個(gè)向量

28、場(chǎng)的例子。其中第一個(gè)向量場(chǎng)往外發(fā)散，但完全沒(méi)有旋轉(zhuǎn)扭曲的趨勢(shì)；第二個(gè)向量場(chǎng)形成了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的漩渦，但沒(méi)有任何箭頭在往外或往里指，沒(méi)有發(fā)散或收斂的趨勢(shì)。（顯然這兩個(gè)圖都是用字符直接畫的；大家湊合著看，有空我再搞張好看點(diǎn)的圖）散度不為 0、但旋度為 0 的向量場(chǎng)： · 旋度不為 0、但散度為 0 的向量場(chǎng)：    ·     因此，如你所見(jiàn)，散度和旋度描述的都是非常直觀的幾何性質(zhì)。只要知道一個(gè)向量場(chǎng)的散度和旋度，我們就可以唯一確定這個(gè)向量場(chǎng)本身（這是亥姆霍茲定理，我要是有興致可以以后簡(jiǎn)單談?wù)劊?。麥克斯韋方程組的微分形式，就是要描述電磁場(chǎng)的散

29、度和旋度。我前邊說(shuō)到，微分形式和積分形式是完全等價(jià)的，我很也可以很輕松地從一個(gè)形式推導(dǎo)出另一個(gè)形式，用的是高斯定理（不要和高斯定律混淆、又叫散度定理）和斯托克斯定理。高斯定理 Gauss's Theorem：一個(gè)向量場(chǎng) F 在閉合曲面 V 上的通量，等于該曲面包裹住的體積 V 里的 F 全部的散度（F 的散度的體積積分）。這是可以想象的，畢竟通量就是在計(jì)算有多少場(chǎng)從這個(gè)閉合曲面里發(fā)散出去了，也就是總共的散度（散度的積分）。斯托克斯定理 Stokes' Theorem：一個(gè)向量場(chǎng) F 在閉合曲線 S 上的環(huán)量，

30、等于該曲線環(huán)住的曲面 S 上的 F 全部的旋度（F 的旋度的曲面積分）。這也是可以想象的，畢竟環(huán)量就是在計(jì)算有多少場(chǎng)和這個(gè)環(huán)方向一樣（有多少場(chǎng)在沿著這個(gè)環(huán)旋轉(zhuǎn)），也就是總共的旋度（旋度的積分）?？偨Y(jié)如下表：8. 麥克斯韋方程組的微分形式了解了散度和旋度的概念之后，我們便可以讀懂麥克斯韋方程組的微分形式了。(1) 高斯定律：電場(chǎng) E 的散度，等于在該點(diǎn)的電荷密度 （乘上系數(shù) 1/0）；(2) 法拉第定律：電場(chǎng) E 的旋度，等于在該點(diǎn)的磁場(chǎng) B 的變化率（乘上系數(shù) -1）；(3) 高斯磁定律：磁場(chǎng) 

31、B 的散度，等于 0；(4) 安培麥克斯韋定律：磁場(chǎng) B 的旋度，等于在該點(diǎn)的電流密度 J（乘上系數(shù) 0），加上在該點(diǎn)的電場(chǎng) E 的變化率（乘上系數(shù) 00）。我們可以看出，電荷和電流對(duì)電場(chǎng)和磁場(chǎng)干的事情是不一樣的：電荷的作用是給電場(chǎng)貢獻(xiàn)一些散度，而電流的作用是給磁場(chǎng)貢獻(xiàn)一些旋度。然而變化的電磁場(chǎng)對(duì)對(duì)方干的事情是一樣的，都是給對(duì)方貢獻(xiàn)一些旋度。想看一些具體例子的同學(xué)要失望了。微分形式的例子比較難舉，因?yàn)槲⒎中问街饕亲層?jì)算更加簡(jiǎn)便，在數(shù)學(xué)上比較有優(yōu)勢(shì)，而應(yīng)用到具體的現(xiàn)象上則不那么顯而易見(jiàn)。不過(guò)，至少靜電磁場(chǎng)的例子還是可以舉的。比如，我們

32、知道電場(chǎng)線總是從正電荷出發(fā)、然后進(jìn)入負(fù)電荷，這正是在說(shuō)電場(chǎng)的散度在正電荷處為正，在負(fù)電荷處為負(fù)。再例如我們知道磁場(chǎng)線總是繞著電流，而不會(huì)進(jìn)入或發(fā)源于電流，這也就是在說(shuō)磁場(chǎng)有旋度而一定沒(méi)有散度。9. 電磁波我剛剛提到，微分形式的主要好處是數(shù)學(xué)上處理起來(lái)很簡(jiǎn)便，我現(xiàn)在就給一個(gè)例子，也就是著名的光速。想象我們?cè)谡婵罩?，周圍什么都沒(méi)有。這個(gè)時(shí)候，顯然電荷密度和電流密度均為 0，所以麥克斯韋方程組的微分形式變成了：這四個(gè)公式簡(jiǎn)直太對(duì)稱了！而且它們的含義也很清晰，基本就是說(shuō)，變化的電場(chǎng)產(chǎn)生磁場(chǎng)，而變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)。這就是電磁波 electromagnetic wave 的方程，電磁波也就是電場(chǎng)和