數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)課件chap

1、第六章第六章樹和二叉樹樹和二叉樹6.1 樹的類型定義樹的類型定義6.2 6.2 二叉樹的類型定義二叉樹的類型定義6.3 二叉樹的存儲結(jié)構(gòu)二叉樹的存儲結(jié)構(gòu)6.4 二叉樹的遍歷二叉樹的遍歷6.5 線索二叉樹線索二叉樹6.6 樹和森林的表示方法樹和森林的表示方法6.7 樹和森林的遍歷樹和森林的遍歷6.8 哈夫曼樹與哈夫曼編碼哈夫曼樹與哈夫曼編碼6.1 樹的類型定義樹的類型定義數(shù)據(jù)對象數(shù)據(jù)對象 D：D是具有相同特性的數(shù)據(jù)元素的集合。是具有相同特性的數(shù)據(jù)元素的集合。 若若D為空集，則稱為空樹為空集，則稱為空樹 。 否則否則: (1) 在在D中存在唯一的稱為根的數(shù)據(jù)元素中存在唯一的稱為根的數(shù)據(jù)元素root

2、； (2) 當(dāng)當(dāng)n1時，其余結(jié)點(diǎn)可分為時，其余結(jié)點(diǎn)可分為m (m0)個互個互 不相交的有限集不相交的有限集T1, T2, , Tm，其中每一，其中每一 棵子集本身又是一棵符合本定義的樹，棵子集本身又是一棵符合本定義的樹， 稱為根稱為根root的子樹。的子樹。 數(shù)據(jù)關(guān)系數(shù)據(jù)關(guān)系 R： 基本操作：基本操作：查查 找找 類類 插插 入入 類類刪刪 除除 類類 Root(T) / 求樹的根結(jié)點(diǎn)求樹的根結(jié)點(diǎn) 查找類：查找類：Value(T, cur_e) / 求當(dāng)前結(jié)點(diǎn)的元素值求當(dāng)前結(jié)點(diǎn)的元素值 Parent(T, cur_e) / 求當(dāng)前結(jié)點(diǎn)的雙親結(jié)點(diǎn)求當(dāng)前結(jié)點(diǎn)的雙親結(jié)點(diǎn)LeftChild(T, cu

3、r_e) / 求當(dāng)前結(jié)點(diǎn)的最左孩子求當(dāng)前結(jié)點(diǎn)的最左孩子 RightSibling(T, cur_e) / 求當(dāng)前結(jié)點(diǎn)的右兄弟求當(dāng)前結(jié)點(diǎn)的右兄弟TreeEmpty(T) / 判定樹是否為空樹判定樹是否為空樹 TreeDepth(T) / 求樹的深度求樹的深度TraverseTree( T, Visit() ) / 遍歷遍歷InitTree(&T) / 初始化置空樹初始化置空樹 插入類：插入類：CreateTree(&T, definition) / 按定義構(gòu)造樹按定義構(gòu)造樹Assign(T, cur_e, value) / 給當(dāng)前結(jié)點(diǎn)賦值給當(dāng)前結(jié)點(diǎn)賦值InsertChild(&T, &p, i,

4、 c) / 將以將以c為根的樹插入為結(jié)點(diǎn)為根的樹插入為結(jié)點(diǎn)p的第的第i棵子樹棵子樹 ClearTree(&T) / 將樹清空將樹清空 刪除類：刪除類：DestroyTree(&T) / 銷毀樹的結(jié)構(gòu)銷毀樹的結(jié)構(gòu)DeleteChild(&T, &p, i) / 刪除結(jié)點(diǎn)刪除結(jié)點(diǎn)p的第的第i棵子樹棵子樹ABCDEFGHIJMKLA( B(E, F(K, L), C(G), D(H, I, J(M) )T1T3T2樹根例如例如: :() 有確定的根；() 樹根和子樹根之間為有向關(guān)系。有向樹：有向樹：有序樹：有序樹：子樹之間存在確定的次序關(guān)系。無序樹：無序樹：子樹之間不存在確定的次序關(guān)系。對比對比樹型

5、結(jié)構(gòu)樹型結(jié)構(gòu)和和線性結(jié)構(gòu)線性結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)線性結(jié)構(gòu)線性結(jié)構(gòu)樹型結(jié)構(gòu)樹型結(jié)構(gòu)第一個數(shù)據(jù)元素第一個數(shù)據(jù)元素 ( (無前驅(qū)無前驅(qū)) ) 根結(jié)點(diǎn)根結(jié)點(diǎn) ( (無前驅(qū)無前驅(qū)) )最后一個數(shù)據(jù)元素最后一個數(shù)據(jù)元素 (無后繼無后繼)多個葉子結(jié)點(diǎn)多個葉子結(jié)點(diǎn) ( (無后繼無后繼) )其它數(shù)據(jù)元素其它數(shù)據(jù)元素( (一個前驅(qū)、一個前驅(qū)、 一個后繼一個后繼) )其它數(shù)據(jù)元素其它數(shù)據(jù)元素( (一個前驅(qū)、一個前驅(qū)、 多個后繼多個后繼) )基基 本本 術(shù)術(shù) 語語結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn): :結(jié)點(diǎn)的度結(jié)點(diǎn)的度: :樹的度樹的度: :葉子結(jié)點(diǎn)葉子結(jié)點(diǎn): :分支結(jié)點(diǎn)分支結(jié)點(diǎn): :數(shù)據(jù)元素+ +若干指向子樹的分支分支的個數(shù)樹中所有結(jié)點(diǎn)

6、的度的最大值度為零的結(jié)點(diǎn)度大于零的結(jié)點(diǎn)DHIJM(從根到結(jié)點(diǎn)的)路徑路徑：孩子孩子結(jié)點(diǎn)、雙親雙親結(jié)點(diǎn)兄弟兄弟結(jié)點(diǎn)、堂兄弟祖先祖先結(jié)點(diǎn)、子孫子孫結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)的層次結(jié)點(diǎn)的層次: :樹的深度：樹的深度： 由從根根到該結(jié)點(diǎn)所經(jīng)分支和結(jié)點(diǎn)構(gòu)成ABCDEFGHIJMKL假設(shè)根結(jié)點(diǎn)的層次為1，第l 層的結(jié)點(diǎn)的子樹根結(jié)點(diǎn)的層次為l+1樹中葉子結(jié)點(diǎn)所在的最大層次任何一棵非空樹是一個二元組 Tree = （root，F(xiàn)）其中：root 被稱為根結(jié)點(diǎn) F 被稱為子樹森林森林：森林：是m（m0）棵互不相交的樹的集合ArootBCDEFGHIJMKLF6.2 二叉樹的類型定義二叉樹的類型定義 二叉樹或?yàn)榭諛淇諛洌蚴怯梢粋€

7、根結(jié)根結(jié)點(diǎn)點(diǎn)加上兩棵兩棵分別稱為左子樹左子樹和右子樹的、互不交的互不交的二叉樹二叉樹組成。ABCDEFGHK根結(jié)點(diǎn)左子樹右子樹二叉樹的五種基本形態(tài)：二叉樹的五種基本形態(tài)：N空樹空樹只含根結(jié)點(diǎn)只含根結(jié)點(diǎn)NNNLRR右子樹為空樹右子樹為空樹L左子樹為空樹左子樹為空樹左右子左右子樹均不樹均不為空樹為空樹 二叉樹的主要基本操作二叉樹的主要基本操作：查查 找找 類類插插 入入 類類刪刪 除除 類類 Root(T); Value(T, e); Parent(T, e); LeftChild(T, e); RightChild(T, e); LeftSibling(T, e); RightSibling(T

8、, e); BiTreeEmpty(T); BiTreeDepth(T); PreOrderTraverse(T, Visit(); InOrderTraverse(T, Visit(); PostOrderTraverse(T, Visit(); LevelOrderTraverse(T, Visit(); InitBiTree(&T); Assign(T, &e, value); CreateBiTree(&T, definition); InsertChild(T, p, LR, c);ClearBiTree(&T); DestroyBiTree(&T);DeleteChild(T, p

9、, LR);二叉樹二叉樹的重要特性的重要特性 性質(zhì)性質(zhì) 1 ： 在二叉樹的第 i 層上至多有2i-1 個結(jié)點(diǎn)。 (i1)用歸納法證明用歸納法證明： 歸納基歸納基： 歸納假設(shè)：歸納假設(shè)： 歸納證明：歸納證明：i = 1 層時，只有一個根結(jié)點(diǎn)： 2i-1 = 20 = 1；假設(shè)對所有的 j，1 j i，命題成立；二叉樹上每個結(jié)點(diǎn)至多有兩棵子樹，則第 i 層的結(jié)點(diǎn)數(shù) = 2i-2 2 = 2i-1 。性質(zhì)性質(zhì) 2 ： 深度為 k 的二叉樹上至多含 2k-1 個結(jié)點(diǎn)（k1）。證明：證明： 基于上一條性質(zhì)，深度為 k 的二叉樹上的結(jié)點(diǎn)數(shù)至多為 20+21+ +2k-1 = 2k-1 。 性質(zhì)性質(zhì) 3 ：

10、 對任何一棵二叉樹，若它含有n0 個葉子結(jié)點(diǎn)、n2 個度為 2 的結(jié)點(diǎn)，則必存在關(guān)系式：n0 = n2+1。證明：證明：設(shè)設(shè) 二叉樹上結(jié)點(diǎn)總數(shù) n = n0 + n1 + n2又又 二叉樹上分支總數(shù) b = n1+2n2 而 b = n-1 = n0 + n1 + n2 - 1由此，由此， n0 = n2 + 1 。兩類兩類特殊特殊的二叉樹：的二叉樹：滿二叉樹滿二叉樹：指的是深度為k且含有2k-1個結(jié)點(diǎn)的二叉樹。完全二叉樹完全二叉樹：樹中所含的 n 個結(jié)點(diǎn)和滿二叉樹中編號編號為為 1 至至 n 的結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)一一對應(yīng)。123456789 10 11 12 13 14 15abcdefghij 性

11、質(zhì)性質(zhì) 4 ： 具有 n 個結(jié)點(diǎn)的完全二叉樹的深度深度為 log2n +1 。證明：證明：設(shè)設(shè)完全二叉樹的深度為 k 則根據(jù)第二條性質(zhì)得 2k-1 n 2k 即 k-1 log2 n n，則該結(jié)點(diǎn)無左孩子， 否則，編號為 2i 的結(jié)點(diǎn)為其左孩子左孩子結(jié)點(diǎn)；(3) 若 2i+1n，則該結(jié)點(diǎn)無右孩子結(jié)點(diǎn)， 否則，編號為2i+1 的結(jié)點(diǎn)為其右孩子右孩子結(jié)點(diǎn)。6.3 二叉樹的存儲結(jié)構(gòu)二叉樹的存儲結(jié)構(gòu)二、二叉樹的鏈?zhǔn)蕉⒍鏄涞逆準(zhǔn)?存儲表示存儲表示一、一、 二叉樹的順序二叉樹的順序 存儲表示存儲表示#define MAX_TREE_SIZE 100 / 二叉樹的最大結(jié)點(diǎn)數(shù)typedef TElemTy

12、pe SqBiTreeMAX_ TREE_SIZE; / 0號單元存儲根結(jié)點(diǎn)SqBiTree bt;一、一、 二叉樹的順序存儲表示二叉樹的順序存儲表示例如例如:ABCDEF A B D C E F 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131401326二、二叉樹的鏈?zhǔn)酱鎯Ρ硎径?、二叉樹的鏈?zhǔn)酱鎯Ρ硎?. 1. 二叉鏈表二叉鏈表2三叉鏈表三叉鏈表3 3雙親鏈表雙親鏈表4線索鏈表線索鏈表ADEBCF rootlchild data rchild結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu):1. 1. 二叉鏈表二叉鏈表typedef struct BiTNode / 結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu) TElemType

13、data; struct BiTNode *lchild, *rchild; / 左右孩子指針 BiTNode, *BiTree;lchild data rchild結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu):C 語言的類型描述如下語言的類型描述如下: :ADEBCF root 2三叉鏈表三叉鏈表parent lchild data rchild結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu): typedef struct TriTNode / 結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu) TElemType data; struct TriTNode *lchild, *rchild; / 左右孩子指針 struct TriTNode *parent; /雙親指針 TriT

14、Node, *TriTree;parent lchild data rchild結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu):C 語言的類型描述如下語言的類型描述如下: :0123456B2C0A -1D2E3F4 data parent結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu):3 3雙親鏈表雙親鏈表LRTagLRRRL typedef struct BPTNode / 結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu) TElemType data; int *parent; / 指向雙親的指針 char LRTag; / 左、右孩子標(biāo)志域 BPTNode typedef struct BPTree / 樹結(jié)構(gòu)樹結(jié)構(gòu) BPTNode nodesMAX_TREE_SIZE; i

15、nt num_node; / 結(jié)點(diǎn)數(shù)目 int root; / 根結(jié)點(diǎn)的位置 BPTree6.4二叉樹的遍歷二叉樹的遍歷一、問題的提出一、問題的提出二、先左后右的遍歷算法二、先左后右的遍歷算法三、算法的遞歸描述三、算法的遞歸描述四、中序遍歷算法的非遞歸描述四、中序遍歷算法的非遞歸描述五五、遍歷算法的應(yīng)用舉例遍歷算法的應(yīng)用舉例 順著某一條搜索路徑巡訪巡訪二叉樹中的結(jié)點(diǎn)，使得每個結(jié)點(diǎn)均被訪問一均被訪問一次次，而且僅被訪問一次僅被訪問一次。一、問題的提出一、問題的提出“訪問訪問”的含義可以很廣，如：輸出結(jié)點(diǎn)的信息等。 “遍歷遍歷”是任何類型均有的操作，對線性結(jié)構(gòu)而言，只有一條搜索路徑(因?yàn)槊總€結(jié)點(diǎn)均

16、只有一個后繼)，故不需要另加討論。而二叉樹是非線性結(jié)構(gòu)， 每個結(jié)點(diǎn)有兩個后繼每個結(jié)點(diǎn)有兩個后繼，則存在如何遍歷存在如何遍歷即按什么樣的搜索搜索路徑路徑遍歷的問題。 對對“二叉樹二叉樹”而言，可以有而言，可以有三條搜索路徑：三條搜索路徑： 1先上后下先上后下的按層次遍歷； 2先左先左（子樹）后右后右（子樹）的遍歷； 3先右先右（子樹）后左后左（子樹）的遍歷。二、先左后右的遍歷算法二、先左后右的遍歷算法先先（根）序的遍歷算法中中（根）序的遍歷算法后后（根）序的遍歷算法 若二叉樹為空樹，則空操作；否則，（1）訪問根結(jié)點(diǎn)；（2）先序遍歷左子樹；（3）先序遍歷右子樹。先（根）序的遍歷算法：先（根）序的遍

17、歷算法： 若二叉樹為空樹，則空操作；否則，（1）中序遍歷左子樹；（2）訪問根結(jié)點(diǎn)；（3）中序遍歷右子樹。中（根）序的遍歷算法：中（根）序的遍歷算法： 若二叉樹為空樹，則空操作；否則，（1）后序遍歷左子樹；（2）后序遍歷右子樹；（3）訪問根結(jié)點(diǎn)。后（根）序的遍歷算法：后（根）序的遍歷算法：三、算法的遞歸描述三、算法的遞歸描述void Preorder (BiTree T, void( *visit)(TElemType& e) / 先序遍歷二叉樹 if (T) visit(T-data); / 訪問結(jié)點(diǎn) Preorder(T-lchild, visit); / 遍歷左子樹 Preorder(T-

18、rchild, visit);/ 遍歷右子樹 四、中序遍歷算法的非遞歸描述四、中序遍歷算法的非遞歸描述BiTNode *GoFarLeft(BiTree T, Stack *S) if (!T ) return NULL; while (T-lchild ) Push(S, T); T = T-lchild; return T; void Inorder_I(BiTree T, void (*visit) (TelemType& e) Stack *S; t = GoFarLeft(T, S); / 找到最左下的結(jié)點(diǎn) while(t) visit(t-data); if (t-rchild)

19、t = GoFarLeft(t-rchild, S); else if ( !StackEmpty(S ) / 棧不空時退棧 t = Pop(S); else t = NULL; / ?？毡砻鞅闅v結(jié)束 / while/ Inorder_I 五五、遍歷算法的應(yīng)用舉例遍歷算法的應(yīng)用舉例1、統(tǒng)計(jì)二叉樹中葉子結(jié)點(diǎn)的個數(shù)、統(tǒng)計(jì)二叉樹中葉子結(jié)點(diǎn)的個數(shù) (先序遍歷先序遍歷)2、求二叉樹的深度、求二叉樹的深度(后序遍歷后序遍歷)3、復(fù)制二叉樹、復(fù)制二叉樹(后序遍歷后序遍歷)4 4、建立二叉樹的存儲結(jié)構(gòu)、建立二叉樹的存儲結(jié)構(gòu)1、統(tǒng)計(jì)二叉樹中葉子結(jié)點(diǎn)的個數(shù)、統(tǒng)計(jì)二叉樹中葉子結(jié)點(diǎn)的個數(shù)算法基本思想算法基本思想: :

20、 先序(或中序或后序)遍歷二叉樹，在遍歷過程中查找葉子結(jié)點(diǎn)，并計(jì)數(shù)。由此，需在遍歷算法中增添一個需在遍歷算法中增添一個“計(jì)數(shù)計(jì)數(shù)”的參數(shù)，的參數(shù)，并將算法中“訪問結(jié)點(diǎn)”的操作改為：若是葉子，則計(jì)數(shù)器增若是葉子，則計(jì)數(shù)器增1 1。void CountLeaf (BiTree T, int& count) if ( T ) if (!T-lchild)& (!T-rchild) count+; / 對葉子結(jié)點(diǎn)計(jì)數(shù) CountLeaf( T-lchild, count); CountLeaf( T-rchild, count); / if / CountLeaf2、求二叉樹的深度、求二叉樹的深度(后

21、序遍歷后序遍歷)算法基本思想算法基本思想: : 從二叉樹深度的定義可知，二叉樹的二叉樹的深度應(yīng)為其左、右子樹深度的最大值加深度應(yīng)為其左、右子樹深度的最大值加1 1。由此，需先分別求得左、右子樹的深度，需先分別求得左、右子樹的深度，算法中“訪問結(jié)點(diǎn)”的操作為：求得左、求得左、右子樹深度的最大值，然后加右子樹深度的最大值，然后加 1 1 。 首先分析二叉樹的深度二叉樹的深度和它的左左、右子右子樹深度樹深度之間的關(guān)系。int Depth (BiTree T ) / 返回二叉樹的深度 if ( !T ) depthval = 0; else depthLeft = Depth( T-lchild );

22、 depthRight= Depth( T-rchild ); depthval = 1 + (depthLeft depthRight ? depthLeft : depthRight); return depthval;3、復(fù)制二叉樹、復(fù)制二叉樹其基本操作為：生成一個結(jié)點(diǎn)。其基本操作為：生成一個結(jié)點(diǎn)。根元素根元素T左子樹左子樹右子樹右子樹根元素根元素NEWT左子樹左子樹右子樹右子樹左子樹左子樹右子樹右子樹(后序遍歷后序遍歷)BiTNode *GetTreeNode(TElemType item, BiTNode *lptr , BiTNode *rptr ) if (!(T = (BiTN

23、ode*)malloc(sizeof(BiTNode) exit(1); T- data = item; T- lchild = lptr; T- rchild = rptr; return T; 生成一個二叉樹的結(jié)點(diǎn)生成一個二叉樹的結(jié)點(diǎn)(其數(shù)據(jù)域?yàn)槠鋽?shù)據(jù)域?yàn)閕tem,左指針域?yàn)樽笾羔樣驗(yàn)閘ptr,右指針域?yàn)橛抑羔樣驗(yàn)閞ptr)BiTNode *CopyTree(BiTNode *T) if (!T ) return NULL; if (T-lchild ) newlptr = CopyTree(T-lchild);/復(fù)制左子樹 else newlptr = NULL; if (T-rchil

24、d ) newrptr = CopyTree(T-rchild);/復(fù)制右子樹 else newrptr = NULL; newT = GetTreeNode(T-data, newlptr, newrptr); return newT; / CopyTreeABCDEFGHK D C B H K G F E A例如：下列二叉樹例如：下列二叉樹的復(fù)制過程如下：的復(fù)制過程如下：newT4 4、建立二叉樹的存儲、建立二叉樹的存儲結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)不同的定義方法相應(yīng)有不同的不同的定義方法相應(yīng)有不同的存儲結(jié)構(gòu)的建立算法存儲結(jié)構(gòu)的建立算法 以字符串的形式以字符串的形式 根根 左子樹左子樹 右子樹右子樹定義一棵二叉

25、樹定義一棵二叉樹例如:ABCD以空白字符“ ”表示A(B( ,C( , ),D( , )空樹空樹只含一個根結(jié)點(diǎn)只含一個根結(jié)點(diǎn)的二叉樹的二叉樹A以字符串“A ”表示以下列字符串表示Status CreateBiTree(BiTree &T) scanf(&ch); if (ch= ) T = NULL; else if (!(T = (BiTNode *)malloc(sizeof(BiTNode) exit(OVERFLOW); T-data = ch; / 生成根結(jié)點(diǎn) CreateBiTree(T-lchild); / 構(gòu)造左子樹 CreateBiTree(T-rchild); / 構(gòu)造右子

26、樹 return OK; / CreateBiTreeA B C D A BCD上頁算法執(zhí)行過程舉例如下：ATBCD 按給定的表達(dá)式建相應(yīng)二叉樹按給定的表達(dá)式建相應(yīng)二叉樹 由先綴表示式建樹由先綴表示式建樹例如：已知表達(dá)式的先綴表示式 - -+ + a b c / d e 由原表達(dá)式建樹由原表達(dá)式建樹例如：已知表達(dá)式 (a+b)c d/e d/e對應(yīng)先綴表達(dá)式 - -+ + a b c / d e的二叉樹的二叉樹abcde- -+/特點(diǎn)特點(diǎn)： 操作數(shù)為葉子葉子結(jié)點(diǎn) 運(yùn)算符為分支分支結(jié)點(diǎn)scanf(&ch);if ( In(ch, 字母集 ) 建葉子結(jié)點(diǎn);else 建根結(jié)點(diǎn); 遞歸建左子樹; 遞歸

27、建右子樹;由先綴表示式建樹的算法的基本操作：由先綴表示式建樹的算法的基本操作：a+b(a+b)c d/e d/ea+bc 分析表達(dá)式和二叉樹的關(guān)系分析表達(dá)式和二叉樹的關(guān)系:ab+abc+abc+(a+b)cabcde- -+/基本操作基本操作:scanf(&ch);if (In(ch, 字母集 ) 建葉子結(jié)點(diǎn); 暫存; else if (In(ch, 運(yùn)算符集) 和前一個運(yùn)算符比較優(yōu)先數(shù); 若當(dāng)前的優(yōu)先數(shù)“高”，則暫存; 否則建子樹; void CrtExptree(BiTree &T, char exp ) InitStack(S); Push(S, #); InitStack(PTR);

28、p = exp; ch = *p; while (!(GetTop(S)=# & ch=#) if (!IN(ch, OP) CrtNode( t, ch ); / 建葉子結(jié)點(diǎn)并入棧 else if ( ch!= # ) p+; ch = *p; / while Pop(PTR, T); / CrtExptree switch (ch) case ( : Push(S, ch); break; case ) : Pop(S, c); while (c!= ( ) CrtSubtree( t, c); / 建二叉樹并入棧建二叉樹并入棧 Pop(S, c) break; defult : / sw

29、itch while(!Gettop(S, c) & ( precede(c,ch) CrtSubtree( t, c); Pop(S, c);if ( ch!= # ) Push( S, ch); break;建葉子結(jié)點(diǎn)的算法為：void CrtNode(BiTree& T,char ch) T=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode); T-data = char; T-lchild = T-rchild = NULL; Push( PTR, T );建子樹的算法為：void CrtSubtree (Bitree& T, char c) T=(BiTNode*)ma

30、lloc(sizeof(BiTNode); T-data = c; Pop(PTR, rc); T-rchild = rc; Pop(PTR, lc); T-lchild = lc; Push(PTR, T); 僅知二叉樹的先序序列“abcdefg” 不能唯一確定一棵二叉樹，由二叉樹的先序和中序序列建樹由二叉樹的先序和中序序列建樹 如果同時已知二叉樹的中序序列“cbdaegf”，則會如何？ 二叉樹的先序序列二叉樹的中序序列左子樹左子樹左子樹左子樹 右子樹右子樹右子樹右子樹根根根根a b c d e f gc b d a e g f例如例如: :aab bccddeeffggabcdefg先序序

31、列中序序列void CrtBT(BiTree& T, char pre, char ino, int ps, int is, int n ) / 已知preps.ps+n-1為二叉樹的先序序列， / inois.is+n-1為二叉樹的中序序列，本算 / 法由此兩個序列構(gòu)造二叉鏈表 if (n=0) T=NULL; else k=Search(ino, preps); / 在中序序列中查詢 if (k= -1) T=NULL; else / / CrtBT T=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode);T-data = preps;if (k=is) T-Lchild =

32、 NULL;else CrtBT(T-Lchild, pre, ino, ps+1, is, k-is );if (k=is+n-1) T-Rchild = NULL;else CrtBT(T-Rchild, pre, ino, ps+1+(k-is), k+1, n-(k-is)-1 );6.5線索二叉樹線索二叉樹 何謂線索二叉樹？何謂線索二叉樹？ 線索鏈表的遍歷算法線索鏈表的遍歷算法 如何建立線索鏈表？如何建立線索鏈表？一、一、何謂線索二叉樹？何謂線索二叉樹？遍歷二叉樹的結(jié)果是， 求得結(jié)點(diǎn)的一個線性序列。ABCDEFGHK例如:先序先序序列: A B C D E F G H K中序中序序列

33、: B D C A H G K F E后序后序序列: D C B H K G F E A指向該線性序列中的“前驅(qū)”和 “后繼” 的指針指針，稱作“線線索索”與其相應(yīng)的二叉樹，稱作 “線索二叉樹線索二叉樹”包含 “線索” 的存儲結(jié)構(gòu)，稱作 “線索鏈線索鏈表表”A B C D E F G H K D C B E 對對線索鏈表線索鏈表中結(jié)點(diǎn)的約定：中結(jié)點(diǎn)的約定： 在二叉鏈表的結(jié)點(diǎn)中增加兩個標(biāo)志域增加兩個標(biāo)志域，并作如下規(guī)定：若該結(jié)點(diǎn)的左子樹不空，若該結(jié)點(diǎn)的左子樹不空，則Lchild域的指針指向其左子樹， 且左標(biāo)志域的值為“指針 Link”； 否則，Lchild域的指針指向其“前驅(qū)”， 且左標(biāo)志的值為

34、“線索 Thread” 。若該結(jié)點(diǎn)的右子樹不空，若該結(jié)點(diǎn)的右子樹不空，則rchild域的指針指向其右子樹， 且右標(biāo)志域的值為 “指針 Link”；否則，rchild域的指針指向其“后繼”， 且右標(biāo)志的值為“線索 Thread”。 如此定義的二叉樹的存儲結(jié)構(gòu)稱作如此定義的二叉樹的存儲結(jié)構(gòu)稱作“線索鏈表線索鏈表”。typedef struct BiThrNod TElemType data; struct BiThrNode *lchild, *rchild; / 左右指針 PointerThr LTag, RTag; / 左右標(biāo)志 BiThrNode, *BiThrTree;線索鏈表的類型描述：

35、 typedef enum Link, Thread PointerThr; / Link=0:指針，Thread=1:線索二、線索鏈表的遍歷算法二、線索鏈表的遍歷算法: for ( p = firstNode(T); p; p = Succ(p) ) Visit (p);由于在線索鏈表中添加了遍歷中得到的“前驅(qū)”和“后繼”的信息，從而簡化了遍歷的算法。例如例如: 對中序線索化鏈表的遍歷算法對中序線索化鏈表的遍歷算法 中序遍歷的第一個結(jié)點(diǎn)中序遍歷的第一個結(jié)點(diǎn) ？ 在中序線索化鏈表中結(jié)點(diǎn)的后繼在中序線索化鏈表中結(jié)點(diǎn)的后繼 ？左子樹上處于“最左下最左下”（沒有左子樹）的結(jié)點(diǎn)。若若無右子樹，則為則為

36、后繼線索后繼線索所指結(jié)點(diǎn)；否則為否則為對其右子樹右子樹進(jìn)行中序遍歷遍歷時訪問的第一個結(jié)點(diǎn)。第一個結(jié)點(diǎn)。void InOrderTraverse_Thr(BiThrTree T, void (*Visit)(TElemType e) p = T-lchild; / p指向根結(jié)點(diǎn) while (p != T) / 空樹或遍歷結(jié)束時，p=T while (p-LTag=Link) p = p-lchild; / 第一個結(jié)點(diǎn) while (p-RTag=Thread & p-rchild!=T) p = p-rchild; Visit(p-data); / 訪問后繼結(jié)點(diǎn) p = p-rchild; /

37、 p進(jìn)至其右子樹根 / InOrderTraverse_Thr 在中序遍歷過程中修改結(jié)點(diǎn)的在中序遍歷過程中修改結(jié)點(diǎn)的左、右指針域，以保存當(dāng)前訪問結(jié)左、右指針域，以保存當(dāng)前訪問結(jié)點(diǎn)的點(diǎn)的“前驅(qū)前驅(qū)”和和“后繼后繼”信息。遍歷過信息。遍歷過程中，附設(shè)指針程中，附設(shè)指針pre, 并始終保持指并始終保持指針針pre指向當(dāng)前訪問的、指針指向當(dāng)前訪問的、指針p所指所指結(jié)點(diǎn)的前驅(qū)。結(jié)點(diǎn)的前驅(qū)。三、如何建立線索鏈表？三、如何建立線索鏈表？void InThreading(BiThrTree p) if (p) / 對以p為根的非空二叉樹進(jìn)行線索化 InThreading(p-lchild); / 左子樹線索化

38、 if (!p-lchild) / 建前驅(qū)線索 p-LTag = Thread; p-lchild = pre; if (!pre-rchild) / 建后繼線索 pre-RTag = Thread; pre-rchild = p; pre = p; / 保持 pre 指向 p 的前驅(qū) InThreading(p-rchild); / 右子樹線索化 / if / InThreadingStatus InOrderThreading(BiThrTree &Thrt, BiThrTree T) / 構(gòu)建中序線索鏈表 if (!(Thrt = (BiThrTree)malloc( sizeof( B

39、iThrNode) exit (OVERFLOW); Thrt-LTag = Link; Thrt-RTag =Thread; Thrt-rchild = Thrt; / 添加頭結(jié)點(diǎn) return OK; / InOrderThreading if (!T) Thrt-lchild = Thrt; else Thrt-lchild = T; pre = Thrt; InThreading(T); pre-rchild = Thrt; / 處理最后一個結(jié)點(diǎn) pre-RTag = Thread; Thrt-rchild = pre; 6.6 樹和森林樹和森林 的表示方法的表示方法樹的三種存儲結(jié)構(gòu)樹

40、的三種存儲結(jié)構(gòu)一、一、雙親表示法雙親表示法二、二、孩子鏈表表示法孩子鏈表表示法三、三、樹的二叉鏈表樹的二叉鏈表( (孩子孩子- -兄弟）兄弟） 存儲表示法存儲表示法ABCDEFG0 A -11 B 02 C 03 D 04 E 2 5 F 26 G 5r=0n=6data parent一、雙親表示法一、雙親表示法: typedef struct PTNode Elem data; int parent; / 雙親位置域 PTNode; data parent#define MAX_TREE_SIZE 100結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu):C語言的類型描述語言的類型描述: :ABCDEFG0 A -11 B

41、02 C 03 D 04 E 25 F 26 G 5r=0n=6 data firstchild 1 2 34 56二、孩子鏈表表示法二、孩子鏈表表示法:-1000224typedef struct CTNode int child; struct CTNode *next; *ChildPtr;孩子結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)孩子結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu): child nextC語言的類型描述語言的類型描述: : typedef struct Elem data; ChildPtr firstchild; / 孩子鏈的頭指針 CTBox;雙親結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)雙親結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu) data firstchildABCDEFG AB C E D

42、F Groot AB C E D F G 三、樹的二叉鏈表三、樹的二叉鏈表 (孩子孩子-兄弟）存儲表示法兄弟）存儲表示法typedef struct CSNode Elem data; struct CSNode *firstchild, *nextsibling; CSNode, *CSTree;C語言的類型描述語言的類型描述: :結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu): firstchild data nextsibling 森林和二叉樹的對應(yīng)關(guān)系森林和二叉樹的對應(yīng)關(guān)系設(shè)設(shè)森林森林 F = ( T1, T2, , Tn ); T1 = (root，t11, t12, , t1m);二叉樹二叉樹 B =( LBT

43、, Node(root), RBT );由森林轉(zhuǎn)換成二叉樹由森林轉(zhuǎn)換成二叉樹的轉(zhuǎn)換規(guī)則為:若 F = ，則 B = ；否則， 由 ROOT( T1 ) 對應(yīng)得到 Node(root)； 由 (t11, t12, , t1m ) 對應(yīng)得到 LBT； 由 (T2, T3, Tn ) 對應(yīng)得到 RBT。由二叉樹轉(zhuǎn)換為森林由二叉樹轉(zhuǎn)換為森林的轉(zhuǎn)換規(guī)則為：若 B = ， 則 F = ；否則，由 Node(root) 對應(yīng)得到 ROOT( T1 )；由LBT 對應(yīng)得到 ( t11, t12, ，t1m)；由RBT 對應(yīng)得到 (T2, T3, , Tn)。 由此，樹的各種操作均可對應(yīng)二叉樹的操作來完成。 應(yīng)

44、當(dāng)注意的是，應(yīng)當(dāng)注意的是，和樹對應(yīng)的二叉樹，其左、右子樹的概念已改變?yōu)椋?左是孩子，右是兄弟。左是孩子，右是兄弟。6.7樹和森林的遍歷樹和森林的遍歷一、樹的遍歷一、樹的遍歷二、森林的遍歷二、森林的遍歷三、樹的遍歷的應(yīng)用三、樹的遍歷的應(yīng)用樹的遍歷可有三條搜索路徑樹的遍歷可有三條搜索路徑:按層次遍歷按層次遍歷:先根先根(次序次序)遍歷遍歷:后根后根(次序次序)遍歷遍歷: 若樹不空，則先訪問根結(jié)點(diǎn)，然后若樹不空，則先訪問根結(jié)點(diǎn)，然后依次先根遍歷各棵子樹。依次先根遍歷各棵子樹。 若樹不空，則先依次后根遍歷各棵若樹不空，則先依次后根遍歷各棵子樹，然后訪問根結(jié)點(diǎn)。子樹，然后訪問根結(jié)點(diǎn)。 若樹不空，則自上而

45、下自左至右若樹不空，則自上而下自左至右訪問樹中每個結(jié)點(diǎn)。訪問樹中每個結(jié)點(diǎn)。 A B C DE F G H I J K 先根遍歷時頂點(diǎn)先根遍歷時頂點(diǎn)的訪問次序：的訪問次序：A B E F C D G H I J K 后根遍歷時頂點(diǎn)后根遍歷時頂點(diǎn)的訪問次序：的訪問次序：E F B C I J K H G D A 層次遍歷時頂點(diǎn)層次遍歷時頂點(diǎn)的訪問次序：的訪問次序：A B C D E F G H I J K B C DE F G H I J K1森林中第一棵樹的根結(jié)點(diǎn)；2森林中第一棵樹的子樹森林；3森林中其它樹構(gòu)成的森林。森林由三部分構(gòu)成：1. 先序遍歷先序遍歷森林的遍歷森林的遍歷 若森林不空，則訪問訪問森林中第一棵樹的根結(jié)點(diǎn)；先序遍歷先序遍歷森林中第一棵樹的子樹森林；先序遍歷先序遍歷森林中(除第一棵樹之外)其 余樹構(gòu)成的森林。即：依次從左至右依次從左至右對森林中的每一棵樹樹進(jìn)行先根遍歷先根遍歷。中序遍歷中序遍歷 若森林不空，則中序遍歷中序遍歷森林中第一棵樹的子樹森林；訪問訪問森林中第一棵樹的根結(jié)點(diǎn)；中序遍歷中序遍歷森林中(除第一棵樹之外)其 余樹構(gòu)成的森林。即：依次從左至右依次從左至右對森林中的每一棵樹樹進(jìn)行后根遍歷后根遍歷。 樹的遍歷和